2. Історія фінансової математики

Перш ніж переходити до постановки завдань, що вирішуються в цій роботі, проведемо невеликий екскурс в історію фінансової математики.

На початку свого становлення, в 20-х роках XX століття, теорія фінансів як математичного апарату використовувала лише формулу складних відсотків, а її основний інтерес був пов'язаний з питаннями адміністрування і збільшення фондів. Наступний розвиток теорії йшов в двох напрямах: в припущенні умов повної визначеності і умов невизначеності. Для розвитку першого напряму важливу роль зіграли роботи Ірвінга Фішера, а також роботиФранка МодільяниіМертон Міллера("Скільки коштує фірма"?, "Теорема ММ", 1963), в яких розглядалося питання вибору оптимальних рішень для учасників ринку.

Історично першою роботою в другому напрямі стала дисертація Л. Башелье("Theorie de la speculation", 1900), в якій автор зробив спробу описати зміну вартості акцій на паризькому ринку цінних паперів як випадковий процес. Систематичному узагальненню теорія уперше піддалася в статті А.Н.Колмогорова (1931 р.). Хоча витоки теорії лежали в області економіки, післяЛ.Башельедуже довгий час більшість її методів використовувалися, в основному, при дослідженнях в галузі теоретичної фізики, головним чином, в молекулярній фізиці і радіофізиці.

Лише на початку п'ятдесятих років XX століття стохастична математика знову стала застосовуватися у фінансових обчисленнях. У 1952 році Г. Марковицпублікує статтю з короткою назвою"Вибір портфеля". Ця робота стала початковою точкою нового етапу розвитку фінансової математики. Головна ідея Марковица - рахувати прибутковість операцій купівлі-продажу кожного цінного паперу випадковими величинами. Ці величини заздалегідь невідомі, але передбачається, що для них задані очікувані значення, а також величини, що характеризують відхилення доходностей від очікуваних, - так звані варіації і коваріації. Таким чином, Марковиц змусив говорити фінансовий ринок на мові теорії вірогідності.

Наступним важливим етапом в теорії фінансів стала робота В. Шарпа(1964), в якої ідеїМарковицаотримали втілення в широко відомій моделі, що пояснює поведінку інвесторів на ринку, що знаходиться в рівноважному стані. Далі в 1965 П. Самуэльсон для опису динаміки зміни вартості акції вводить, так званий, геометричний броунівський рух. У 1972 році С. Рос для опису рівноважностістану ринку уперше використовував ідеї арбітражу. Затверджувалося, зокрема, щоринок, що знаходиться в рівноважному стані, не повинен допускати арбітражних ситуацій, тобто можливості витягання прибули без ризику.

У сучасній теорії і практиці торгівлі опціонами знаменну роль зіграв 1973 рік, коли в Чикаго (США) була відкрита біржа по ув'язненню стандартних контрактів з опціонами. У тому ж році були опубліковані дві роботи, що зробили революцію у фінансових розрахунках, пов'язаних з опціонами. Це статтіФ. БлэкаіМ. Шоулса"Розрахунок ціни опціонів і зобов'язання корпорацій" (1973) і Р. Мертона "Теорія розрахунку раціональної ціни опціону" (1973). У цих роботах було показано, що для розрахунку вартості опціону необхідно притягнути теорію випадкових процесів, зокрема, теорію стохастичних диференціальних рівнянь. Ця модель дозволила організувати роботу опційних бірж, проте пізніше багато дослідників відмічали неадекватність цієї моделі історичним ціновим рядам.

Вивчення цієї проблематики в Україні пов'язане з розвитком ринкових стосунків в країні на початку 90-х років XX століття.