Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ртцис

.pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 269 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

s(t)

S&(ω) = π δ(ω −ωo )+

π δ(ω+ω )

π δ(ω-ω )

s(t )=σ(t )cosωot

δ(ω +ωo )+

ωo ω

π/2

ω02 −ω

s(t )= cosωot

s(t)

S&(ω) =πδ(ω −ωo )+

πδ(ω+ωo)

πδ(ω-ωo)

+πδ(ω +ωo )

ωo 0

ωo ω

δ(t+to)s(t)

-π/2to

s(t)=

[δ(t +to )+δ(t −to )]

δ(t-to)

=cosω to

π/2to ω

S(ω)

-to 0

0 -π

∞

s(t)

∞

s(t )= ∑δ(t −kT )

δ(t-T)

S&(ω) =ω1 ∑δ(ω −nω1 )

k =−∞

n =−∞

T = 2πω1

ω1 = 2π T

ω1

Пример 3.4 − Расчет спектральных плотностей сигналов, изображенных на рисунке 3.6.

s1(t)

s2 (t)

s3(t)

e−α

s4 (t)

e−α

sign(t)

Рисунок 3.6 − Графические модели интегрируемых и неинтегрируемых сигналов

Применяя прямое преобразование Фурье к интегрируемому сигналу s3(t), получим

∞

−α

− jω t

(α− jω)t

∞

−(α+ jω)t

S3 (ω)=

∫e

dt =

∫e

dt + ∫e

−∞

(α− jω)t

−(α+ jω)t

∞

= e

− e

2α

α −

jω

−∞

α + jω

α − jω

α +

jω

α2 +ω2

Переходя к пределу при α →0 , найдем спектральную плотность неинтегрируемого сигнала s1(t)

S&1	(ω)= lim	2α	0,	ω ≠ 0,
			=
		α2 +ω2		ω = 0.
	α→0		∞,

Функция с такими свойствами относится к дельта−образующим функциям (таблица 1.1). Учитывая условие нормировки, получим

∞

2α

∞

∫

dω = 2arctg

= 2

= 2π ,

−∞

+ω

−∞

		83
S&1	(ω)= lim	2α	0,	ω ≠ 0,
			=
		α2 +ω2
	α→0		2π δ(ω), ω = 0.

Спектральную плотность сигнала s2 (t) определим таким же путем.

Применяя прямое преобразование Фурье к интегрируемому сигналу s4 (t), получим

∞

−α

− jω t

(α− jω)t

∞

−(α+ jω)t

S4 (ω)= ∫e

sign(t)e

dt =

∫− e

dt + ∫e

−∞

(α− jω)t

−(α+ jω)t

∞

= − e

−1

= − j

2ω

α − jω

−∞

− (α + jω)

α − jω

α + jω

α2 +ω2

Переходя к пределу при α →0 , найдем спектральную плотность неинтегрируемого сигнала s2 (t) = sign(t)

S&2	(ω)= lim − j	2ω	= − j	2	=	2	.
		α2 +ω2		ω
	α→0					jω

Пример 3.5 − Расчет спектральной плотности гармонического колебания s5 (t) и радиоимпульса s6 (t), изображенных на рисунке 3.7.

s5 (t)	s6 (t)
t	t

Рисунок 3.7 − Модели радиосигналов s (t)= cosω

(t)= e−α

cosω

(t)= lim s

(t)= lim e−α

cosω

t .

α→0

Применяя прямое преобразование Фурье к сигналу s6 (t), получим

∞

+ e− jωot ) e− jω t dt =

S&6 (ω)= ∫e

−α

cosωot e− jω t dt = 21

∫e−α

(e jωot

−∞

= 21

∞

−ωo )t dt + 21

∞

∫e−α

e− j(ω

∫e−α

− j(ω+ωo )t dt =

−∞

[α− j(ω−ω

)]

−[α+ j(ω−ω

)]

∞

−

2 α − j(ω −ωo )

α + j(ω −ωo )

−∞

[α− j(ω+ω

)]

−[α+ j(ω+ω

)]

∞

−

2 α − j(ω +ωo )

α + j(ω +ωo )

+ (ω −ωo )2

α2 + (ω +ωo )2

−∞

Переходя к пределу при α →0 , получим спектральную плотность гар-

монического колебания s5

(t)= cosωot

S&5 (ω)

= lim

+ lim

=πδ(ω −ωo )+πδ(ω +ωo ).

+(ω −ω

α→0

α2

α→0

α2 +(ω +ω

3.8 Выводы

1.Преобразования Фурье устанавливают взаимно однозначное соответствие между двумя способами описания физического процесса. Один из них отображает исследуемое явление в плоскости “мгновенное значение – время”, а второй – в плоскости “амплитуда – частота”.

2.Переход от временного представления к частотному (спектральной плотности) осуществляется с помощью прямого преобразования Фурье. Если анализируемый сигнал периодический, то его спектр дискретный, если непериодический, то его спектр сплошной.

3.Если сигнал описывается вещественной функцией времени s(t), то

спектральная плотность S&(ω) является комплексной функцией, у которой

действительная часть – четная функция частоты, а мнимая – нечетная функция частоты.

4. Сигнал s(t) может быть четным, нечетным или общего вида. Сигнал общего вида равен сумме четной и нечетной составляющих. Спектральная плотность четного сигнала – вещественная, четная функция частоты. Спектральная плотность нечетного сигнала – мнимая, нечетная функция частоты.

5. Преобразования Фурье применимы к физически реализуемым сигналам, энергия которых конечна, а мгновенное значение затухает с течением времени. Расширение границ применимости преобразований Фурье достигается с помощью обобщенных функций: дельта–функций и ее производных.

4 ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ

4.1 Сложение сигналов

Преобразование Фурье – линейная операция, поэтому взвешенное суммирование сигналов

sΣ(t) = ∑γnsn (t)	(4.1)
n
приводит к взвешенному суммированию спектральных плотностей
S&Σ(ω) = ∑γnS&n (ω),	(4.2)
n

где γn − постоянный коэффициент.

Теорема о сложении – единственная из всех в том смысле, что преобразование сигнала по времени совпадает с преобразованием спектральной плотности по частоте:


Ф+ ∑γnsn (t) = ∑γnΦ+[sn (t)]= ∑γnS&n (ω) ,				(4.3)
n		n	n
Ф− ∑γ n S&n (ω)		= ∑γn Φ−[S&n (ω)]= ∑γ n sn (t) .		(4.4)
n		n	n
Сложение спектральных плотностей происходит по законам комплекс-
ного представления
S&Σ (ω) = ∑γn An (ω) − j∑γn Bn (ω).				(4.5)
	n		n

Суммарный сигнал sΣ (t) имеет спектральные характеристики вида:

&	∑γn An (ω)		2		∑γn Bn (ω)		2
&				+				,
АЧХ = SΣ (ω) =				+				,
	n				n
		∑γn Bn (ω)
		∑γn Bn (ω)
ФЧХ =ϕn (ω) = −arctg			n			.
ФЧХ =ϕn (ω) = −arctg		∑γn An (ω)				.


			n

(4.6)

(4.7)

4.2 Теорема сдвига

Смещение сигнала во времени не изменяет его энергетических характеристик, поэтому амплитудный спектр не меняется (рисунок 4.1). Изменения произойдут только в фазовом спектре.

∞

Φ+[s(t −tз)]= ∫s(t −tз)e− jω t dt =

∫s(t − tз)e− jω

(t −tз )d (t −tз) e

− jω tз = S&(ω)e

− jω tз

−∞

Φ+[s(t ± tз)]= S&(ω)e± jω tз

S&(ω)

e j[ϕ(ω)± jω tз] .

(4.8)

Если сигнал перемещается по закону (t ± tЗ ) , то фазовый спектрϕ(ω)

получает линейное приращение ±ω tз , т.е.

ФЧХ

arg

Φ+

[s(t

tз)]

=ϕ ω

±ω

tз .

(4.9)

( )

Неизменность модуля говорит о том, что амплитудный спектр не зависит от положения сигнала во времени.

а)

S&(ω)

Eτ

−τ

−ω

−

4π

−

2π 2π

4π

ϕ(ω)

б)

−ω

−π

ϕ(ω)

−ω

Рисунок 4.1 − Временное и спектральное представления двух сигналов, один из которых (б) задержан относительно другого на τ 2

4.3 Следствие теорем 4.1, 4.2

Следствием первых двух теорем является возможность сформулировать условия неискаженной передачи сигнала по каналу связи.

Сигнал на выходе канала связи (рисунок 4.2) считают неискаженным, если, начиная с некоторого момента времени (t ± tз) , сигнал на выходе

sвых(t) с точностью до постоянного множителя K совпадает с сигналом на входе:

87
sвых (t) = K s(t ± tз).	(4.10)

Спектральные плотности сигналов на входе и выходе канала связи имеют вид:

Φ+

[s(t)]

(4.11)

S( ) ,

Φ+

[sвых(t)]

= &

)

− jω tз

(4.12)

Sвых(

KS(

Отношение спектральных плотностей позволяет судить о комплексной передаточной функции канала связи K&кc (ω) .

K&кc (ω) =	S&вых(ω)	= Ke− jω tз .	(4.13)
	S&(ω)

s(t)			Kкс(ω)
s(t)	Kкс(ω)	sвых(t)	K
	Kкс(ω)	o	ϕкс(ω)	ω
		o	ϕкс(ω)
		o		ω
			а)

	K (ω)
o	ϕ(ω)	ω
o		ω
	б)

Рисунок 4.2 − Канал связи Рисунок 4.3 − а) АЧХ и ФЧХ идеального канала связи; б) АЧХ и ФЧХ реального канала

связи Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики (АЧХ и ФЧХ)

идеального канала связи изображены на рисунке 4.3а. Реальный канал связи, АЧХ и ФЧХ которого изображены на рисунке 4.4б, не пропускает постоянный ток и “заваливает” низкочастотные составляющие спектра сигнала. В области верхних частот сказывается инерционность элементной базы, и поэтому не проходят высокочастотные составляющие спектра сигнала. Идеальный канал связи все гармонические составляющие спектра задерживает на одинаковое время. Реальный канал связи низкочастотные составляющие “тормозит”, а высокочастотные – “ускоряет”.

4.4 Изменение масштаба времени

Одна из основных практических задач передачи информации на расстояние связана с повышением скорости передачи. Причем, в процессе обработки сигнал s(at) либо сжимается во времени при ( a >1), либо растягивается (при a <1).

Φ+[s(t)]= S&(ω) .

Φ+[s(at)]=	∞s(at)e− jω t dt =	1 S& ω .	(4.14)
	∫	a a
	−∞

Умножение аргумента t на положительное число a приводит к делению аргумента ω на такое же число. Таким образом, ”сжатие” сигнала во времени приводит к ”растяжению” спектра и наоборот (рисунок 4.4).

s1 (t)
			e−α t
0.1
	τ		=ln(10)	t
	τ	1	=ln(10)
s2 (t) = s1(2t)		1	α
s2 (t) = s1(2t)			e−2αt
			e−2αt
0.1
τ		=ln(10)		t
τ	2	=ln(10)
	2		2α

1α
	0.7α
0	ω
∆ω1
12α	0.72α
	0.72α
0	ω
∆ω2

Рисунок 4.4 − Временное и спектральное представления сигнала при изменении масштаба времени

4.5 Инверсия сигнала во времени

На рисунке 4.5 изображены сигналы с инверсией во времени (зеркальные сигналы) и без инверсии во времени.

s1(t)			s2 (t)		s3(t)
0	t		0	τ t	0	τ / 2 t
s1(−t)			s2 (−t)		s3(−t)
0	t	−τ	0	t	−τ / 2 0	τ / 2 t

Рисунок 4.5 − s1(t), s2 (t), s3 (t) – сигналы без инверсии во времени, s1(−t), s2 (−t), s3 (−t) – зеркальные сигналы

Применяя прямое преобразование Фурье к сигналу с инверсией во времени, получим:

∞

−

− j

Φ+[s(−at)]= ∫s(−at)e− jω t dt ={− at = x}=

∫s(x)e

dx =

− a

−∞

* ω

−

	+	[s(−at)]=	1				ω
Φ					S&	−	.	(4.15)
				a

							a

Инверсия сигнала во времени приводит к тому, что спектральная плотность становится комплексно-сопряженной функцией.

Φ+

[s(t)]

= & ω

−

(4.16)

S( )

A( )

jB( ) .

Φ+

−

= &* ω

(4.17)

[s( t)]

S ( )

A( )

jB( ) .

Применяя рассмотренную теорему, определим аналитические выражения для расчета спектральных плотностей четной и нечетной составляющих

сигнала общего вида s(t). Результаты анализа представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 − Аналитическое представление сигнала общего вида и его четной и нечетной составляющих во временной и частотной областях

s(t)= s	(t)+ s	неч	(t)	S&(ω) = A(ω) − jB(ω)
чет		неч

sчет(t)= 12 [s(t)+ s(−t)]

Ф+[sчет(t)]=

[S&(ω) + S&*(ω)]= A(ω)

1 &

−

)]

= −

sнеч(t)=

[s(t)− s(−t)]

Ф [sнеч(t)]

2 [S( )

S (

jB( )

4.6 Дифференцирование сигнала по времени

Дифференцирование сигнала приводит к исчезновению постоянной составляющей (если она была), увеличению скорости изменения мгновенных значений сигнала во времени и расширению полосы частот.

Преобразование сигналов и их спектров при дифференцировании по времени представлено на рисунке 4.6 и в таблице 4.2.

S1(ω)	τ	2
s1(t) 1		2
s1(t) 1

− 4π	τ	4π	τ

S2(ω)

s2 (t)

S3(ω)

δ(t +

τ )

δ(t −

τ )

(t)

4π

−τ

−8

−

−δ(t)

Рисунок 4.6 − Временное и спектральное представления трех функционально связанных сигналов при дифференцировании по времени

Доказательство теоремы о дифференцировании сигнала выполним, применяя интегрирование по частям.

∞		∞	∞


Φ[s' (t)] = ∫s' (t)e− jω t dt = s(t)e− jω t			− (− jω) ∫s(t)e− jω t dt = jωS&(ω) ,
−∞		−∞	−∞

при выполнении условия − lim	s(t) = 0 .
\|t\|→∞
Обобщая на случай многократного дифференцирования, получим
Φ+[s' (t)] = jωS&(ω) ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			(4.18)

Φ+[s(n) (t)] = (jω)n S&(ω) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 269 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015300.03 Кб18РИМСКОЕ ПРАВО КОПЫЛОВ.doc
#
08.09.201935.05 Кб0римское право лекция.docx
#
30.08.2019521.22 Кб0Романова курсач.doc
#
26.11.2019390.66 Кб1Романский и готический стиль.doc
#
21.11.2019126.98 Кб0РП практики преддипломной.doc
#
11.05.20155.51 Mб165ртцис.pdf
#
10.05.201590.11 Кб6РУДН_Свободные зоны.doc
#
11.05.20151.28 Mб118Руководство по решению дискретки.pdf
#
11.05.2015146.3 Кб31СА реферат.docx
#
10.05.2015409.6 Кб88САПР реферат.doc
#
19.11.20193.44 Mб59сб.зад.ант иус свч 1.doc