ртцис
.pdf21
Здесь p12 (t) , Э12 , P12 - взаимная мгновенная мощность, взаимная энергия и
взаимная средняя мощность, которые описываются очевидными соотношениями:
p12 (t) = s1(t)s2 (t), t2
Э12 = ∫s1(t )s2 (t )dt ,
|
|
|
|
t1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
s (t )s |
|
(t )dt . |
|
P |
= |
|
|
∫ |
2 |
|||
t |
|
− t |
||||||
12 |
|
2 |
1 |
|
||||
|
|
|
1 t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Структурные схемы, соответствующие преобразованиям (1.21) и (1.24), приведены на рисунке 1.9.
s(t) |
p(t) |
∫ |
Э |
|
|
s1(t) |
|
|
|
p∑ (t ) |
|
|
|
|||
∑ |
|
|
∫ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ЭΣ(t) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s2(t) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
Рисунок 1.9 − Реализация преобразований (1.21), (1.24)
Если энергия взаимодействия равна нулю, то сигналы энергетически независимы, т.е. не взаимодействуют друг с другом на интервале времени
(t1 ,t2 ). Такие сигналы называются ортогональными на указанном интервале:
t2 |
(t) s2 |
(t)dt = 0 . |
|
∫s1 |
(1.26) |
||
t1 |
|
|
|
Взаимная энергия двух сигналов является их скалярным произведением
иотносится к фундаментальным характеристикам теории сигналов.
1.3.2Энергетические характеристики комплексных сигналов
Энергетические характеристики комплексного сигнала Z&(t) выража-
ются с учетом теории комплексного переменного следующим образом:
pZ (t) = Z&(t) Z&*(t) =[s(t) + jυ(t)] [s(t) − jυ(t)]= s2 (t) +υ2 (t) . |
(1.27) |
Мгновенная мощность комплексного сигнала равна сумме мгновенных мощностей действительной и мнимой частей:
pZ (t) = ps(t) + pυ(t). |
(1.28) |
Энергия комплексного сигнала определяется интегралом от произведения комплексно-сопряженных сигналов:
22
t2 |
t2 |
t2 |
ЭZ = ∫Z&(t) Z&* (t)dt = ∫s2 (t) + ∫υ2 (t) , |
||
t1 |
t1 |
(1.29) |
t1 |
ЭZ = Эs + Эυ .
Средняя мощность представляет собой сумму средних мощностей действительной и мнимой частей:
|
|
|
1 |
t2 |
|
P |
= |
|
∫ |
Z&(t) |
|
|
|
||||
Z |
|
t2 |
−t1 |
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
t2
Z&*(t)dt = 1 ∫s2 (t) t2 −t1 t1
PZ = Ps + Pυ .
t |
2 |
|
|
+ ∫υ2 (t) , |
(1.30) |
||
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
Таким образом, энергетические характеристики комплексного сигнала равны сумме энергетических характеристик вещественной и мнимой частей. Энергия суммы двух комплексных сигналов равна:
|
t |
|
|
ЭZ = ∫2 (Z&1 (t) + Z&2 (t)) (Z&1* (t) + Z&2* (t))dt = |
|
|
t1 |
|
t2 |
[Z&1(t) Z&1* (t) + Z&2 (t) Z&2* |
(1.31) |
= ∫ |
(t) + Z&1(t) Z&2* (t) + Z&2 (t) Z&1* (t)]dt , |
|
t1 |
|
|
Э∑ = ЭZ |
1 |
+ ЭZ |
2 |
+ 2Эs |
s |
2 |
+ 2Эυ υ |
2 |
± j(Эs υ |
2 |
− Эυ |
1 |
s |
2 |
). |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
Два комплексных сигнала Z& (t) и |
Z& |
2 |
(t) будут ортогональными, если |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
энергия их взаимодействия равна нулю, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
t2 |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫Z&1(t) Z&2*(t)dt = |
∫Z&2 (t) Z&1*(t)dt = 0 . |
|
|
|
(1.32) |
|||||||||||
t1 |
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия взаимодействия сигналов, которые в общем случае могут не совпадать во времени, оценивается с помощью корреляционных характеристик: автокорреляционной и взаимной корреляционной функций.
1.3.3Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
Взаимная энергия вещественного сигнала s(t) и его перемещающейся во времени копии s(t −τ) называется автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала и обозначается B(τ) :
∞ |
|
B(τ) = ∫s(t) s(t −τ)dt . |
(1.33) |
−∞
Энергия сигналаЭs численно равна значению АКФ в точке τ = 0 :
23
∞ |
|
B(0) = Эs = ∫s2 (t)dt . |
(1.34) |
−∞
АКФ является четной функцией времени B(τ) = B(−τ) , т.к.
∞∞
∫s(t) s(t −τ)dt = |
∫s(t) s(t +τ)dt . |
(1.35) |
−∞ |
−∞ |
|
Структурная схема, демонстрирующая процесс получения АКФ согласно преобразованию (1.33), изображена на рисунке 1.10.
s(t) |
s(t − ∆τ) |
|
s(t − 2∆τ) |
∆τ |
∆τ |
∆τ |
∫t |
∫t |
∫t |
B(0) |
B(∆τ) |
B(2∆τ) |
s(t − n∆τ)
∆τ
∫t
B(n∆τ)
Блок записи и хранения
Рисунок 1.10 − Структурная схема для получения АКФ
На выходе схемы (в блоке записи и хранения) имеем АКФ в дискретные моменты времени n∆τ , соответствующие неотрицательным временам задержки τ ≥ 0.
Взаимная энергия двух разных вещественных сигналов s1(t) и s2 (t) ,
один из которых (первый или второй) перемещается во времени, называется взаимной корреляционной функцией (ВКФ) и обозначается
B21(τ) илиB12 (τ) соответственно:
|
∞ |
|
B12 (τ) = |
∫s1(t) s2 (t −τ)dt , |
(1.36) |
|
−∞ |
|
|
∞ |
|
B21(τ) = |
∫s2 (t) s1(t −τ)dt . |
(1.37) |
−∞
24 |
|
ВКФ B21(τ) является зеркальной копией ВКФ B12 (τ) , т.е. |
|
B21(τ) = B12 (−τ) . |
(1.38) |
Примеры получения АКФ и ВКФ показаны на рисунке 1.11.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(t −τ), |
|
|
0 |
|
|
τ1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||
|
|
τ > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(t −τ), |
|
|
0 |
|
τ |
τ +τ |
1 |
|
|
|
t |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
τ ≥τ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
s(t −τ), |
|
|
|
|
|
τ |
|
|
τ + |
τ1 t |
|
||||||||||||
τ < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(t −τ), |
|
τ |
0 |
|
τ |
+τ1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||||
τ ≤ −τ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
B(τ) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 2τ1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−τ1 |
|
|
0 |
|
|
τ1 |
|
|
|
|
|
|
τ |
|
а)
|
|
s1(t) |
|
|
|
s2 (t −τ), |
|
|
0 |
|
τ1 |
|
|
|
|
|
|
τ > 0,τ2 |
>τ1 |
|
|
|
|
s2 (t −τ), |
|
|
0 |
τ |
τ +τ2 |
|
|
|
|
|
|
τ ≥τ1 |
|
|
|
|
|
s2(t −τ), |
|
|
0 |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
(τ1 −τ2) <τ <0 |
|
|
|
||
s2(t−τ), |
|
τ |
0 |
|
τ +τ2 |
|
|
|
|||
−τ2 <τ<(τ1−τ2) |
|
|
|
|
|
|
τ |
|
0 |
τ +τ2 |
|
B12 (τ) |
|
|
|
E 2τ1 |
|
|
|
|
|
|
|
−τ2 |
τ1 −τ2 0 |
|
τ1 |
||
|
|
|
б) |
|
|
Рисунок 1.11 − Построение корреляционных функций: а) АКФ прямоугольного импульса, б) ВКФ двух импульсов разной длительности
В таблице 1.3 приведены графические иллюстрации АКФ и ВКФ различных вещественных сигналов.
Взаимная энергия комплексного сигнала Z&(t) и его перемещающейся во времени сопряженной копии Z&*(t −τ) называется автокорреляционной функцией комплексного сигнала и обозначается BZ (τ) :
∞ |
|
BZ (τ) = ∫Z&(t) Z&*(t −τ)dt . |
(1.39) |
−∞
25
Таблица 1.3- Примеры АКФ и ВКФ некоторых вещественных сигналов
Сигнал sn (t) |
Автокорреляционая |
Взаимная крреляционная |
|
функция (АКФ) Bn (τ) |
функция (ВКФ) Bnm (τ) |
||
|
E s1(t) |
τ2 =1.5τ1 |
|
|
|
B1(τ) |
|
|
B |
21 |
(τ) |
|
|
|
|||
E 2τ1 |
|
|
|
E 2τ1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
τ1 |
t |
|
|
−τ1 |
0 τ1 |
τ |
−τ1 |
0 |
|
τ2 τ |
|
|
||
E |
s2(t) |
|
|
E 2τ2 |
|
B2 (τ) |
|
|
B12 (τ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E τ1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
τ2 t |
|
−τ2 |
0 |
τ2 τ |
−τ2 |
0 τ1 |
τ |
|
|
||||
E s3(t) |
|
|
|
|
|
B3 (τ) |
|
B23 (τ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E 2 |
τ |
1 |
|
|
|
|
|
E 2 |
τ |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
3 |
0 τ1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
0 τ1 |
t |
|
|
−τ1 |
τ |
−τ1 |
|
τ2 τ |
|
|
|||||
s4(t) |
|
Ee −α t , |
|
|
|
|
|
|
E 2 |
|
|
B24 (τ) |
|
|
||
|
|
|
|
B4 (τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
α |
≈ 1 / τ 1 |
E 2 |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
t |
|
|
|
0 |
|
τ |
|
0 |
|
τ2 |
τ |
|
|
s5(t) |
|
|
B5 (τ) |
|
|
B25(τ) =B52(τ) |
|
E |
|
E 2τ 2 |
|
2 τ 2 |
|
|
E 2 τ 2 |
|
|
E |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
0 |
τ2 t |
−τ2 |
τ2 τ |
|
−τ2 |
0 |
τ2 τ |
26
1.4 Обобщенное линейное представление сигналов
Исследуемый сигнал s(t) можно представить взвешенной суммой элементарных функций
∞ |
|
|
& |
& |
(1.40) |
s(t)= ∑Cnϕn (t) , |
n =−∞
где C&n – комплексный (в общем случае) коэффициент пропорциональности; ϕ&n – комплексная (в общем случае) элементарная функция.
Каждая из элементарных составляющих ϕ&n (t) должна быть, с одной стороны, функционально связана с любой другой ϕ&k (t) , а с другой стороны – обладать энергетической независимостью. То есть энергия суммы элементарных колебаний ЭΣ должна равняться сумме энергий отдельных составляющих:
t2 |
∞ |
& |
|
|
|
|
∞ |
&* |
|
* |
|
|
Э = |
|
|
ϕ |
|
(t) |
|
|
(t) dt = |
||||
|
C |
|
|
C |
ϕ |
|
||||||
Σ ∫ |
|
∑ n |
& |
n |
|
∑ |
k |
& |
k |
|||
|
|
|||||||||||
t |
n =−∞ |
|
|
|
k =−∞ |
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
(1.41) |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
& |
&* |
|
|
* |
(t)dt. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= ∑ ∑ CnCk |
∫ϕn (t)ϕk |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
|
|
|
n =−∞k =−∞ |
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
Энергетическая независимость (ортогональность) элементарных колебаний на интервале времени от t1 до t2 определяется следующим образом:
|
2 |
& &* |
|
|
= |
|
ϕn |
|
|
|
2 |
,n =k, |
|
|
|
|
|
||||||||
t |
Эϕn |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
∫ϕn (t)ϕk |
(t)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.42) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
n ≠k. |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В выражении (1.42) использовано обозначение ϕ&n , под которым в ма-
тематическом анализе понимают норму бесконечномерного пространства функций {ϕ&n(t)}. В нашем случае норму определяют как квадратный корень
из энергии.
Учитывая (1.42), преобразуем (1.41) к виду:
∞ |
|
|
|
2 |
t2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
||
ЭΣ = ∑ |
|
& |
|
.∫ |
|
ϕn (t) |
|
2 |
dt = |
∑Эϕn . |
|
& |
|
. |
(1.43) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Cn |
|
|
|
|
|
|
Cn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
Набор ортогональных функций {ϕ&n (t)} называют ортогональным бази-
сом.
Пространство функций (базис) называется метрическим, если введен способ определения нормы.
27
Если энергии элементарных составляющих ортогонального базиса Эϕn не зависят от своего порядкового номера, то их подвергают нормировке, с тем чтобы норма Эϕn равнялась единице. Такой базис называют ортонормированным (или ортонормальным).
Коэффициент пропорциональности C&n в выражении (1.40) учитывает степень взаимодействия исследуемого сигнала s(t) и элементарного колеба-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
умножим левую и |
||||||
ния ϕn (t) . Для получения математического выражения Cn |
|||||||||||||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&* |
и проин- |
правую части (1.40) на комплексно-сопряженную функцию ϕk (t) |
|||||||||||||||||||||||||||
тегрируем в пределах от t1 до t2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
t2 |
|
|
|
|
&* |
|
t2 |
∞ |
|
&* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
(t)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫s(t)ϕk |
(t)dt = ∫ ∑Cnϕn (t)ϕk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.44) |
∞ |
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ∑ |
& |
& |
&* |
|
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Cn |
∫ϕn (t)ϕk (t)dt = Cn Эϕn |
= Cn |
|
|
|
ϕn |
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n =−∞ |
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∫s ( t )ϕ n ( t ) dt |
|
|
||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
∫s ( t )ϕ n ( t ) dt |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C n = |
|
|
|
|
2 |
= |
t2 |
|
|
|
. |
|
(1.45) |
||||||||||||||
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ϕ n ( t )ϕ k dt |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент пропорциональности C&n представляет собой отношение |
|||||||||||||||||||||||||||
взаимной энергии сигнала |
s(t) и элементарного колебания ϕn (t) к собствен- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
ной энергии отдельного элементарного колебания ϕ&n (t) .
Ряд (1.40) называется обобщенным рядом Фурье, если выполняются ус-
ловия (1.42) и (1.45).
Структурная схема, позволяющая получить коэффициент пропорциональности C&n для данного сигнала s(t) и данного базиса {ϕ&n (t)}, является
обобщенным анализатором спектра (рисунок 1.12). Он реализуем физически в случае действительного сигнала и действительного базиса.
28
s(t) |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
1 |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
ϕ1 |
2 |
Б |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
р |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
а |
|
|
|
t |
|
1 |
|
з |
||
|
|
|
∫ |
|
|
C2 |
н |
||
|
|
|
|
|
ϕ 2 |
2 |
а |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
я |
|
|
|
|
|
|
|
C&n |
и |
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
||
ϕ1 (t) ϕ2 (t) |
ϕn (t) |
|
∫ |
|
|
ϕ n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Генератор базисных функций
Рисунок 1.12 − Обобщенный анализатор спектра |
|
|||||||||||
Рассмотрим усеченный ряд Фурье, который называют оценкой |
sN (t) |
|||||||||||
сигнала s(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
& |
& |
|
|
(1.46) |
|||
|
|
|
sN (t) = ∑Cnϕn (t) . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n=−N |
|
|
|
|
|
||
Энергию оценки sN (t) найдем по формуле (1.43) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
2Эϕn . |
|
|
|
||
|
|
|
ЭN = ∑ |
|
C&n |
|
|
|
(1.47) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n=−N |
|
|
|
|
|
||
Разность исследуемого сигнала s(t) и его оценки sN (t) представляет |
||||||||||||
собой мгновенное значение ошибки аппроксимации ε(t) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ε(t) = s(t) − sN (t) . |
|
|
(1.48) |
|||||
Энергия ошибки определится следующим образом: |
|
|
||||||||||
|
2 |
t2 |
|
2 |
t2 |
|
N |
2 |
|
|
||
< ε |
(t) >= ∫ |
ε |
|
|
|
& & |
, |
(1.49) |
||||
|
|
(t)dt = ∫[s(t) − ∑Cnϕn (t)] dt |
||||||||||
|
|
t1 |
|
|
t1 |
|
n=−N |
|
|
|
29
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ε |
2 |
(t) >= ∫s |
2 |
(t)dt |
−2 |
|
∑ |
& |
|
|
|
|
|
|
|
(t)dt + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Cn ∫s(t)ϕn |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−N |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
14243 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭS |
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
+ ∑ ∑ CnCk |
∫ϕn (t)ϕk (t)dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
n=−N k =−N |
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ∫s2 (t)dt −2 ∑ |
|
C&n |
|
2 Эϕn |
+ ∑ |
|
C&n |
|
2 Эϕn =ЭS − ∑ |
|
C&n |
|
2 Эϕn =Эs −ЭN . |
(1.50) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
t1 |
n=−N |
|
|
n=−N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Энергия ошибки согласно (1.50) равна разности энергий сигнала s(t) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и его оценки |
sN (t). Относительное значение энергии ошибки найдем как |
|||||||||||||||||||||||||||||||
отношение энергий ошибки и сигнала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
<ε2 (t) > = |
|
Эs − ЭN |
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
2 Эϕn . |
|
||||||||||||||||||
δ = |
|
|
=1 − |
|
|
∑ |
|
C&n |
|
|
(1.51) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Эs |
|
|
Эs |
|
|
|
|
|
|
Эs |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−N |
|
|
|
|
|
|
Если при N → ∞ относительное значение энергии ошибки стремится к нулю (δ → 0), то набор элементарных ортогональных функций называет-
ся полным базисом.
Реализация преобразования (1.46) показана на рисунке 1.13.
ϕ1 (t)
C1
Генератор |
ϕ2 (t) |
|
|
|
sN (t) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∑ |
|||
базисных |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
функций
CN
ϕN (t)
Блок формирования коэффициентов
Рисунок 1.13 − Блок-схема синтеза сигнала (точнее, оценки) с помощью заданной системы базисных функций
30
1.5 Динамическое представление сигналов
Примером полной ортогональной системы функций является совокупность прямоугольных импульсов единичной амплитуды, изображенная на
рисунке 1.14. Обобщенное представление сигналa s(t) в этом базисе пред-
ставлено на рисунке 1.15.
Элементарные прямоугольные импульсы описываются разностью функций Хевисайда, которую будем обозначать rect(t) (от англ. rectangle – прямоугольник):
rect(t) =σ(t + |
τ ) −σ(t − |
τ ) . |
(1.52) |
|
2 |
2 |
|
Импульсы rect(t −n∆τ) имеют длительность ∆τ и сдвинуты друг от-
носительно друга по времени на интервалах n∆τ , поэтому ортогональность базиса очевидна.
ϕ1(t) |
|
|
|
s(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rect(t) |
|
s(n∆τ)rect(t −n∆τ) |
s(t) |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
t |
|
scm(t) |
|
ϕ2 (t) |
|
rect(t- ∆τ ) |
|
s(0)rect(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ3 (t) 0 |
∆τ |
|
t |
|
|
|
rect(t-2 ∆τ ) |
|
|
|
|
||
0 |
|
2∆τ |
t |
|
|
|
ϕn (t) |
rect(t-n ∆τ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
n∆τ |
t |
0 |
n∆τ |
t |
Рисунок 1.14 − Пример |
|
Рисунок 1.15 − Динамическое |
|
|||
ортогонального базиса |
|
представление сигнала функциями |
|
|||
|
|
|
|
rect(t − n∆τ) |
|
Взвешенное суммирование элементарных функций приводит к возникновению ступенчатой аппроксимации sст(t) аналогового сигнала s(t).
Коэффициент взвешивания |
C&n при этом равен мгновенному значению ана- |
|
логового сигнала s(t)в точке t = n∆τ , т.е. C&n = s(n∆τ) : |
|
|
|
∞ |
|
scm (t) = |
∑s(n∆τ)rect(t − n∆τ) . |
(1.53) |
n=−∞