ртцис
.pdf51
Относительное значение квадрат среднеквадратической погрешности представленияпериодическогосигналаусеченнымрядомФурьеопределитсякак
δ = |
P − PN |
. |
(2.39) |
|
|||
|
P |
|
Анализируя поведение погрешности в зависимости от количества слагаемых ряда Фурье, можно сказать следующее: с ростом N погрешность асимптотически стремится к нулю. Кроме того, погрешность всегда положительна, т.к. мощность бесконечного ряда всегда больше мощности усеченного ряда.
2.9 Практическое приложение к второй главе
2.9.1 Гармонический анализ периодической последовательности униполярных прямоугольных импульсов
Представим периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рисунок 2.11) суммой гармонических колебаний. Определим амплитуды и фазы гармоник.
s(t)
E
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
−T |
− |
τ |
0 |
τ |
2 |
T |
|
2T |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.11 − Периодическая последовательность импульсов
Заданный сигнал является четной функцией времени, т.е. в разложении будут присутствовать только косинусоидальные составляющие с весовыми коэффициентами an :
bn =0, |
|
|
|
|
|
|||||
a |
1 |
τ / 2 |
Eτ |
|
|
|
||||
o |
= |
|
|
|
∫ Edt = |
T |
, |
|
|
|
2 |
T |
|
||||||||
|
|
|
|
|
−τ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
T / 2 |
|
|
4 |
T / 2 |
||
an = |
|
∫s(t) cos nω1tdt = |
∫s(t) cos nω1tdt. |
|||||||
T |
T |
|||||||||
|
|
|
|
|
−T / 2 |
|
|
|
0 |
52
Произведение двух четных функций s(t) и cos nω1t образует четную
функцию времени. Интеграл от четной функции на симметричном интервале равен удвоенному значению интеграла за половину интервала интегрирования. Выполняя преобразования, получим
|
|
4E τ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4E |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
τ |
|
2Eτ |
|
sin nω1 |
τ |
2 |
|
|||||||||||||||||
an |
= |
|
|
|
|
|
∫0 |
E cos nω1tdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin nω1 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
|
nω1 |
T |
nω |
1 |
τ |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C&n = |
|
[an − j0]= |
|
an , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
|
a |
|
|
|
|
2Eτ |
|
|
sin nω1 τ 2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
nω1 |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
an > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ϕn |
= −arctg |
n |
|
|
= −arctg |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
an |
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π, an < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ряд Фурье для заданного периодического сигнала в соответствии с таб- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лицей 2.1 может иметь три формы записи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
sin nω1 |
τ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s(t)= ∑ |
Eτ |
|
|
|
e jnω1t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=∞ T |
|
|
nω |
1 |
|
τ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eτ |
|
|
|
∞ |
|
2Eτ |
|
|
|
sin nω1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
cos nω1t = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
nω |
1 |
τ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eτ |
|
|
|
∞ |
|
2Eτ |
|
|
|
sin nω1 |
|
τ |
2 |
|
cos(nω1t +ϕn ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
nω |
1 |
τ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отношение периода к длительности прямоугольного импульса называют скважностью q
q = Tτ .
Рассмотрим случай, когда период в два раза больше длительности, т.е.
q = T |
= 2 . Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
n = 2m, |
||
|
|
sin nπ |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
(−1) |
m+1 |
|
|
||
|
an = E |
|
|
= |
2E |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
nπ |
2 |
|
|
|
|
2m −1 |
, n = 2m |
−1, |
|
|
|
|
π |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m =1,2,3... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма гармоник, описывающая |
анализируемый |
сигнал для случая |
||||||||
T = 2τ , имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
|
|
s(t )= E + |
2E |
cosω t − |
2E |
cos3ω t + |
2E |
cos5ω t −... |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
π |
1 |
3π |
1 |
5π |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
и графически изображена на рисунке 2.12. |
|
|
|
|
||||||
s1(t) |
|
|
|
|
s5 (t) |
|
|
|||
E |
|
N =1 |
|
|
E |
|
N =5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
0 |
t |
s3(t) |
|
s7 (t) |
|
E |
N =3 |
E |
N = 7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.12 − Временное представление сигнала s(t) и усеченного ряда Фурье sN (t ) ( N =1,3,5,7 )
На рисунке 2.12 показано, как меняется форма суммы гармонических колебаний с ростом количества слагаемых ряда Фурье. Чем больше учтено гармонических колебаний, тем лучше описываются разрывы в исследуемом сигнале. Кроме того, отмечаем равноволновый характер приближения к анализируемому сигналу и уменьшение абсолютного значения погрешности.
2.9.2 Частотное представление периодического сигнала
Наглядность частотного представления обеспечивает построение спектральных диаграмм. На рисунке 2.13 изображена совокупность коэффициентов комплексного ряда Фурье {Cn}, которую называют частотным спектром.
На рисунке 2.14 показаны совокупность амплитуд гармоник {An}, называемая спектром амплитуд, и совокупность начальных фаз {ϕn}, называемая спек-
тром фаз.
Полученные спектры являются дискретными функциями частоты. Комплексные коэффициенты располагаются на всей частотной оси от − ∞ до + ∞. Анализируемый сигнал является четной функцией времени, поэтому
комплексный коэффициент C&n имеет только действительную составляющую.
54
{C |
n |
} |
Co |
|
|
{A } |
A1 |
|
|
|
|
C1 |
|
n |
|
|
|
||
C−1 |
|
|
|
|
ao |
|
A3 |
A5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
−ω ω |
|
|
nω |
|
ω |
3ω 5ω nω |
|||
C−3 |
1 |
1 |
|
C3 |
1 |
{ϕn} |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
−π |
|
nω1 |
Рисунок 2.13 − Частотный |
|
Рисунок 2.14 − Спектр амплитуд { An } |
|||||||
спектр коэффициентов {Cn } |
|
и спектр фаз {ϕn } периодической |
|||||||
|
|
|
|
|
последовательности импульсов |
Спектр амплитуд {An} и спектр фаз {ϕn} располагаются только на по-
ложительных частотах от нуля до бесконечности.
Важно отметить, что абсолютное количество гармоник бесконечно, но амплитуды их падают с увеличением частоты, т.е. ширина спектра сигнала – конечная величина.
Под шириной спектра понимают эффективную область частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала.
2.9.3 Распределение мощности в спектре периодического сигнала
По временному представлению рассчитаем среднюю мощность прямоугольного периодического сигнала
1 |
τ / 2 |
E2τ |
|
E2 |
||
P = |
|
∫E2dt = |
|
= |
|
. |
T |
T |
2 |
||||
|
|
−τ / 2 |
|
|
|
|
По частотному представлению определим среднюю мощность усеченного ряда
|
ao 2 |
|
1 |
N |
2 |
||
PN = |
|
|
|
+ |
|
∑an . |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
Результаты расчетов сведем в таблицу 2.4.
Анализ данных таблицы 2.4 показывает, что для восстановления заданного периодического сигнала по спектру можно ограничиться постоянной составляющей и первой гармоники (рисунок 2.12 а). Относительное значение квадрата среднеквадратической погрешности при этом не превышает 0,1.
55
Таблица 2.4 − Распределение мощности в спектре периодической последовательности импульсов
|
|
|
|
|
|
|
Средняя мощность элементов ряда Фурье |
n = 0,1,2,...,7 |
|||||||||||||||||||||||||
Средняя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n = 0 |
|
n =1 |
n = 2 |
n =3 |
n = 4 |
|
n = 5 |
n = 6 |
|
n = 7 |
|||||||||||||||||||||||
мощность |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сигнала P |
a |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
o |
|
|
|
a1 |
|
|
0 |
|
|
a3 |
|
|
0 |
|
|
a5 |
|
|
|
0 |
|
|
a7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Абс. |
|
E2τ |
|
E 2 |
|
2E2 |
0 |
|
2E2 |
0 |
|
2E 2 |
|
0 |
|
2E2 |
|||||||||||||||||
знач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
9π 2 |
|
25π 2 |
|
|
49π 2 |
||||||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Норм. |
100% |
50% |
40% |
|
0 |
5% |
|
0 |
1,7% |
|
|
0 |
1% |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9.4Анализ связи между длительностью импульса, периодом
ишириной спектра
Рассмотрим изменения, происходящие в спектре периодической последовательности прямоугольных импульсов при изменении длительности импульса и периода. В таблице 2.5 дано временное и частотное представление периодической последовательности прямоугольных импульсов, у которой период не меняется, а длительность импульса изменяется.
Поведение комплексного спектра четырех первых сигналов, представ-
|
Eτ |
|
sin nω |
τ |
2 |
|
|
& |
|
|
1 |
|
|
||
ленных в таблице 2.5, определяется функцией Cn = |
T |
|
nω1 |
τ |
2 |
|
. Все четы- |
|
|
|
|
ре спектра затухают с ростом частоты. Обращаем внимание на пульсирующий характер спектра. Первый переход через ноль частотного спектра однозначно связан с длительностью импульса. Однако, по ширине главного лепе-
стка спектра, заключенного в пределах ± 2πτ , не всегда можно судить о по-
лосе частот, в которой сосредоточена основная часть энергии переменной составляющей периодического сигнала.
Сравнивая спектральный состав первого и третьего сигналов в таблице 2.5, видим, что у этих сигналов значительно отличаются постоянные составляющие и спектры фаз. Спектры амплитуд первого и третьего сигналов равны между собой, так как переменные составляющие этих сигналов отличаются только сдвигом во времени.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.5 − Спектры периодических последовательностей прямоуголь- |
|||||||||||||||
ных импульсов, у которых период неизменен, а длительность изменяется |
||||||||||||||||
N° |
Временное представление |
Спектральное представление сигналов |
||||||||||||||
сигналов sn |
(t) |
|
{Cn} |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
s(t) E |
τ = 0,75T |
|
{Cn} |
|
τ |
E |
|
||||||||
|
|
Co = |
T |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
T |
|
2T |
|
− nω1 |
−ω1 ω1 |
|
|
|
|
|
nω1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
s(t) E |
τ =T 2 |
|
|
{Cn} |
Co = |
τ |
E |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πτ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
T |
|
2T |
|
− nω1 |
−ω1 ω1 |
|
|
|
|
|
nω1 |
|||
|
s(t) E |
τ =T 4 |
|
|
{Cn} |
Co = |
τ |
E |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
τ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
T |
|
2T |
|
t |
− nω1 |
−ω1 ω1 |
|
|
|
|
|
nω1 |
||
|
s(t) E |
τ =T 8 |
|
|
{Cn} |
Co = |
τ |
E |
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
2πτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
T |
|
2T |
|
t |
− nω1 |
−ω1 ω1 |
|
|
|
|
|
nω1 |
||
|
s(t) |
E |
= |
1 |
τ |
, |
τ →0 |
|
{Cn} |
Cn = |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
δ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
T |
|
2T |
|
t |
− nω1 |
−ω1 ω1 |
|
|
|
|
|
nω1 |
||
|
Наиболее узкополосным из пяти представленных сигналов является |
|||||||||||||||
второй сигнал, у которого длительность импульса равна половине периода. |
||||||||||||||||
|
Пятый сигнал представляет собой периодическую последовательность |
|||||||||||||||
δ−функций. Комплексный коэффициент |
C&n разложения бесконечной суммы |
|||||||||||||||
δ−функций в ряд Фурье равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
57
1 |
T / 2 |
1 |
|
||
C&n = |
|
∫ |
δ(t)e jnω1t dt = |
|
= const |
T |
T |
||||
|
|
−T / 2 |
|
Периодическая последовательность δ−функций может быть представлена бесконечной суммой гармонических колебаний кратных частот с одинаковыми амплитудами An = 2 Cn = 2 /T , т.е.
∞ |
δ(t + nT )= |
1 |
∞ |
e jnω1t = |
1 |
+ |
|
2 |
∞ cos nω t |
||
∑ |
T |
∑ |
T |
T |
|||||||
|
|
|
∑ |
1 |
|||||||
n=−∞ |
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
n=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Такимобразом, пятыйсигналхарактеризуетсябесконечнобольшойполосой. В таблице 2.6 дано временное и частотное представление периодической последовательности прямоугольных импульсов, у которой длительность
импульсов не меняется, а период увеличивается.
В таблице 2.7 систематизированы результаты гармонического анализа периодических сигналов с различными видами симметрии.
Таблица 2.6 − Спектры периодических последовательностей прямоугольных импульсов, у которых длительность неизменна, а период увеличивается
N° |
Временное представление |
Спектральное представление сигналов |
|||||||||
сигналов sn (t) |
|
|
|
|
{Cn} |
|
|
||||
|
s1(t ) |
T1 = 2τ |
|
|
|
|
|
Eτ T1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
t |
− 2ω |
−ω |
0 |
|
ω 2ω |
nω |
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
s2 (t) |
T2 = 4τ |
|
|
|
|
|
Eτ T2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
t |
− 4ω2 −ω2 ω2 |
4ω2 |
nω2 |
|||||
|
s3(t) |
T3 =8τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Eτ T3 |
|
|
|
|
T |
|
t |
− ω |
3 |
0 |
ω |
3 |
ω |
ω |
|
|
3 |
|
|
8 |
|
|
|
8 3 |
n 3 |
||
|
s4 (t) |
T4 =16τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Eτ T4 |
|
|
|
|
T4 |
t |
−16ω4 |
0 |
|
|
16ω4 |
nω4 |
58
Таблица 2.7− Периодические сигналы с различными видами симметрии и ряды Фурье
№ Сигнал s(t ) Ряды Фурье
1
|
s1(t) |
E |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s (t ) = 4E |
1 |
|
sin( 2n −1)ω t |
||||||||||
|
0 |
|
|
t |
1 |
π |
|
n∑=12n −1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
s2(t) |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
s |
2 |
(t ) = 4E |
∞ (−1)n+1 cos( 2n −1)ω t |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
t |
|
π |
|
n∑=1 2n |
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
s3(t) |
|
|
T2 |
=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|||||||
|
|
E |
τ |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(t ) = E |
+ E |
∞ sin |
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
cos nω |
2 |
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
2 n∑=1 |
πn |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
T2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
s4(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
s4 (t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= E + 4E ∞ |
1 |
|
|
|
cos(2n −1)ω t |
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
2 π 2 ∑ |
(2n −1)2 |
|
|
|
|
1 |
|||||
|
0 |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
T2 |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
s5(t) |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
2 |
|
|
|||
|
|
E |
|
T2 |
|
|
|
E |
|
E |
∞ sin |
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
s5 |
|
|
|
|
|
|
cos nω2t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(t ) = 4 |
+ 2 |
∑ |
nπ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
τ |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
s6(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2E |
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
s6 (t) = |
∑ |
|
sin nω2t |
||||||
|
|
t |
|
π |
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
s7t) |
|
|
(t ) = 2E 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
s |
+ π cosω |
|
t − |
|||||||
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
E |
7 |
|
π |
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
( |
−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− ∑ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
cos 2nω2t |
|
|
||||||||||||
|
T2 |
|
|
|
n=14n |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
s8t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2E 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
s (t ) = |
−π cos |
ω |
t − |
|
||||||||||||||
|
|
E |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
π |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
( |
−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− ∑ |
|
|
2 |
|
cos 2nω2t |
|
|
|
|||||||||
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
t |
|
|
|
n=1 |
4n |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
s9(t) |
E=Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
s |
|
(t) = |
2E |
|
− 2 |
∞ |
(−1) |
n |
cos nω t |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
∑ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
0 |
T1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=14n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10 |
E=Um(1-cosΘ) |
|
|
s10 (t ) = |
E sin Θ − Θcos Θ |
+ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
1 −cos Θ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
ΘE |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( n −1)Θ − |
|
||||||||||||
|
0 |
|
2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
(n −1)Θ |
|
|||||||
|
|
|
|
π(1 −cos Θ) n=1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
sin( n |
+1)Θ cos nω |
2 |
t |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
T2 |
UmcosΘ |
|
|
|
|
(n +1)Θ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
Анализ спектров, представленных в таблице 2.6 показывает, что комплексный спектр носит тот же пульсирующий характер, так как описание сигнала на периоде не меняется и длительность импульса неизменна. С увеличением периода амплитуда гармонических колебаний уменьшается. Частоты гармонических колебаний уменьшаются. Ширина спектра сигналов остается неизменной, и для ее оценки можно использовать половину ширины
главного лепестка спектра: |
∆ω ≈ |
2π |
при |
τ ≤T |
2 |
. С ростом периода |
|
τ |
|||||||
|
|
|
|
|
происходит перераспределение энергии между постоянной и переменной составляющими сигнала: энергия постоянной составляющей падает, а энергия переменной составляющей растет при неизменной полосе.
2.9.5Пример гармонического анализа периодической последовательности знакочередующихся импульсов треугольной формы
E
−T |
T |
4 |
T |
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
Рисунок 2.15 – Периодический сигнал с двумя видами симметрии
Анализируя временное представление сигнала, изображенного на рисунке 2.15, видим, что заданный сигнал является нечетной функцией времени, поэтому
∞
s(t)= ∑bn sin nω1t .
n=1
Кроме того, сигнал обладает зеркальной симметрией, т.е. повторяется через половину периода с противоположным знаком, следовательно (см. таблицу 2.3)
0, |
|
n = 2,4,6... |
||
|
T 4 |
|||
|
||||
bn = 8 |
∫ |
s(t) sin nω tdt, n =1,3,5... |
||
|
|
|||
T |
||||
1 |
||||
|
|
|||
|
0 |
|