Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ртцис

.pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

111

L	+		′	h(0) = lim	h(t ) .
		[s(t ) h (t )]= pH ( p)S ( p) − h(0)S ( p) , где				(5.29)
				t →+0

Выполнив дифференцирование второго оригинала, найдем
	+		′		s(t ) .
L			[s (t) h(t)]= pH ( p)S( p) − s(0)H ( p) , где s(0) = lim			(5.30)
				t →+0

Обращаем внимание на одинаковые слагаемые				pH ( p)S ( p) в выраже-

ниях (5.29) и (5.30) и, учитывая коммутативность свертки, получим четыре формы записи , называемые формулами Дюамеля:

h(0)s(t ) + ∫s(τ)h′(t −τ)dτ ,

		0
		t
		′
h(0)s(t ) + ∫s(t −τ)h (τ)dτ ,
L−[pH ( p)S( p)]=		0	(5.31)
L−[pH ( p)S( p)]=		t	(5.31)
s(0)h(t ) + ∫s′(τ)h(t −τ)dτ ,
		0
		t
s(0)h(t ) + ∫s′(t −τ)h(τ)dτ .
		0
5.2.12 Предельные соотношения
′	+	′
Если h(t ) и h (t ) −оригиналы, то L		[h (t)]= pH ( p) −h(0) .

Применяя для анализа изображений при p → ∞ свойство (5.14), получим

lim	+	′	[pH ( p) −h(0)]= 0 .		Откуда следует
lim		[h (t)]= lim	[pH ( p) −h(0)]= 0 .		Откуда следует
p→∞		p→∞
		lim	pH ( p) =	lim h(t) ;
		p→∞		t →+0	(5.32)
Переходя к пределу при p → 0				, найдем

				∞		−pt		dt = lim[pH ( p) −h(0)],
	lim			′		−pt
	lim			h (t)e
′	p→0			∫0				p→0
lim L[h (t)]=		∞
p→0		∞	′				−pt	dt = lim[h(t) −h(0)].
			′				−pt
	∫		h (t) lim e
	∫			p	→0			t→∞
		0

Сравнивая правые части выражения (5.33), нетрудно установить

lim pH ( p) = lim h(t ) .

p→0 t →∞

(5.33)

(5.34)

112

5.3 Обратное преобразование Лапласа

В процессе перехода от преобразований Фурье к преобразованиям Лапласа было получено соотношение для обратного преобразования Лапласа.

s(t ) = L−[S ( p)]=	1	c+ j∞
	1	∫S ( p)e pt dp .
	2πj	∫S ( p)e pt dp .
		c− j∞

С помощью этого интеграла решают задачу восстановления оригинала s(t ) по известному изображению S ( p) . На практике при отыскании ориги-

налов обращаются к таблицам, связывающим оригиналы и изображения, например, к таблице 5.3 (стр. 130). Либо моделируют оригинал из имеющихся функций. Для этого стараются преобразовать подынтегральное выражение так, чтобы можно было использовать уже известные интегралы. Самый распространенный путь – это представление изображения S ( p) в виде ряда

∞

S ( p) = ∑S n ( p) ,

n=0

сходящегося в некоторой полуплоскости Re( p) > c0

1) Рассмотрим первый случай − разложение по понижающим степеням p

	a		a		a	n	∞	a	n
S ( p) =	0	+	1	+........ +		n	+........ = ∑		n	.
S ( p) =		+		+........ +			+........ = ∑			.
	p		p2		pn+1		n=0 pn+1

Если формально выполнить переход к оригиналу, то получим ряд

s(t ) = a σ(t ) +

σ(t ) +

σ(t ) +......

an−1

∞

t n−1σ(t ) +

t nσ(t ) +....... = ∑

t nσ(t )

(n −1)!

n=0

(5.35)

(5.36)

Сопоставляя члены рядов (5.35) и (5.36) между собой и используя свойство дифференцирования оригиналов, получим выражение для определения n−го слагаемого ряда (5.36)

∞

L−[S(p)]= ∑

t nσ(t) ,

n=0

− an

d n

lim

(ane

)

σ(t ) .

n! p→0

dpn

2) Рассмотрим второй случай − разложение изображения ные дроби.

(5.37)

(5.38)

S ( p) на част-

					113
Изображение S ( p) представляет						дробно-рациональную				функцию
вида					+ a p2			pm
	A( p)		a	+ a p	+ a p2	+........ + a	m	pm
S ( p) =		=	0	1	2		m		.	(5.39)
S ( p) =	B( p)	=	b0 + b1 p		+ a2 p2 +........ + bn pn				.	(5.39)
	B( p)		b0 + b1 p		+ a2 p2 +........ + bn pn
Причем, степень		полинома			B( p)	больше степени полинома A( p) ,
т.е. n > m .
Полином B( p) имеет корни					p1, p2 ,...., pi как простые, так и кратные

(или можно сказать, что изображение S ( p) имеет полюса простые и крат-

ные). Рассмотрим случай простых корней.

S ( p) =

A( p)

( p

− p )( p − p

).......( p − p

)

(5.40)

An−1

+...... +

p − p2

p − p3

p − pn

p − p1

p − pn−1

где p1, p2	,...., pn - простые корни B( p) ;
A1, A2	,... , An - набор констант, называемых вычетами.
Изображению (5.40) можно поставить в соответствие оригинал
	s(t ) = A1e p1tσ(t ) + A2e p2tσ(t ) +..... + Ane pntσ(t ) .	(5.41)

Из выражения (5.40) можно определить любой из коэффициентов An . Умножая правую и левую части (5.40) на скобку ( p − pn ) и переходя к

пределу при p → pn , получим

lim

[S ( p)( p − p )]=

lim

p − pn

+ A

p − pn

+..... + A

+....

p − p

− p

p→p

2 p

=S ( p)( p − p )

A( p)

( p − p )

(5.42)

p=pn

B( p)

p=pn

Нетрудно показать,

что умножение на скобку ( p − pn ) эквивалентно

дифференцированию знаменателя по p , а именно:

An =	A( p)	.	(5.43)
	′
	B ( p)	p = pn
Сопоставляя члены рядов (5.40) и (5.41) между собой и учитывая (5.42),
получим выражение для определения n−го слагаемого ряда (5.40).

L−		An	=	lim [S ( p)( p − pn )e pt ]σ(t ) .	(5.44)


	p − pn			p→pn

Учитывая (5.43), преобразуем (5.44) к виду

					114
	−	An		A( p)		pt

L			=		e	σ(t )	.	(5.45)
				′
	p − pn		B ( p)				p =pn

3) Рассмотримтретийслучай−разложениеизображенийскратнымикорнями.

S( p) =

H1( p)

( p − p

)k1 ( p − p

)k2

.......( p − p

)kn

(5.46)

A1( p)

A2 ( p)

A3 ( p)

An ( p)

+....... +

( p − p )k1

( p − p

)k2

( p − p

)k3

( p − p

)kn

Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, а так же учитывая, что дифференцирование изображений приводит к увеличению степени знаменателя, получим для любого слагаемого ряда (5.46)

An ( p)

k −1

[S( p)( p − pn )k e pt ]

L−

lim

(5.47)

−

( p − pn )

(k −1)!

p→pn

k 1

Выражение (5.47) является наиболее общим, т.е. включает формулы (5.38)

и (5.44) и (5.45), как частные случаи, и называется вычетом Re s

функции

S ( p)e pt в особой точке p = pn . Для определения оригинала по известному изо-

бражению достаточно найти сумму вычетов во всех особых точках l , количество которых зависит от числа полюсов (кратных и некратных)

s(t) = ∑l	Re si [S( p)e pt ]= ∑l	1	lim	d k −1	[S( p)( p − pl )k e pt ].	(5.48)
		(k −1)!		k −1
i=1	i=1		p→pl	dp

В таблице 5.2 (стр. 118) приведены формулы Дюамеля и формулы разложения изображений.

5.4Применение преобразований Лапласа к обобщенным функциям

Применим прямое преобразование Лапласа к δ − функциям и ее про-

изводным. Используя фильтрующее свойство δ − функций, получим:

∞

L [δ(t )]= ∫δ(t )e−pt dt =1;

∞

L [δ′(t )]= ∫δ′(t )e−pt dt =p ;

L [δ(n) (t )]= ∞∫δ (n)

(t )e−pt dt =pn .

(5.49)

115

Хотелось бы обратить внимание на получение дельта функций и их

производных в результате применения обратного преобразования Лапласа. Пусть некоторая функция F ( p) представляет собой неправильную

дробь. Причем, lim F ( p) =M ( p) (а не нулю), следовательно из F ( p) необ-

p→∞

ходимо выделить целую часть M ( p) путем деления полинома числителя

A( p) на полином знаменателя B( p) .

F ( p) =M ( p) + S ( p) ,

L−[F ( p)]= L−[M ( p)]+ L−[S ( p)].

Если целая часть M ( p) равна постоянной величине M 0 , то:

L−[M0 ]=	1	c+ j∞
	1	∫M0e pt dp = M0δ(t) .	(5.50)
	2πj	∫M0e pt dp = M0δ(t) .	(5.50)
		c− j∞

Если целая часть M ( p) представляет собой полином повышающихся

степеней p , то:
M ( p) =M 0 +M1p +M 2 p2 +.......
L−[M ( p)]= M 0δ(t) + M1δ′(t) + M 2δ′′(t) +......	(5.51)

5.5Анализ связи между преобразованиями Лапласа

ипреобразованиями Фурье

Преобразования Лапласа являются обобщениями преобразований Фу-

рье, следовательно спектральную плотность сигнала s(t ) можно получить из изображения по Лапласу S ( p) .

Если изображение по Лапласу S ( p) не содержит полюсов, равных ну-

лю, или полюсов, реальная часть которых равна нулю, то оригинал является

абсолютно интегрируемой функцией. Его спектральная плотность может

быть найдена из изображений по Лапласу S ( p) путем замены p на jω, т.е. S&(ω) =S ( p = jω) (смотри таблицы 5.4 и 5.5).

Если изображение содержит полюса, лежащие на мнимой оси, можно искусственно сместить их влево заменой параметра p на p +α . Затем перей-

ти к спектральной плотности, полагая p = jω . Далее разделить полученную

спектральную плотность на действительную и мнимую части и перейти к пре-

делу в каждом из них отдельно при α →0 .

Таблица 5.1 – Свойства преобразований Лапласа

Преобразование оригиналов

Преобразование изображений

Прямое преобразование

∞

−pt dt

S(p)

Получение

∫s(t)e

Лапласа

изображения

21πj

c + j∞

Обратное

Получение оригинала

s(t)

∫S(p)e pt dp

преобразование

c − j∞

Лапласа

Сложение оригиналов

as1(t)+bs2 (t)

aS1(p)+bS2 (p)

Сложение изображений

Изменение масштаба

116

Изменение масштаба

комплексной частоты

времени

s′(t)

pS(p)− s(0+)

Дифференцирование

′′

S(p)− p s(0+ )− s′(0+ )

Умножение

s (t)

изображения на p

оригинала

при s(k −1)(0+ )= 0

(n)

(t)

pn S(p)− ∑pn−k s(k −1)(0+ )

k =1

	Интегрирование		t		S(p)	Деление изображения
6	Интегрирование		∫s(τ)dτ		S(p)	Деление изображения
6	оригинала		∫s(τ)dτ		p	на p
	оригинала		0		p	на p
			0

7	Умножение интеграла		−ts(t)		′	Дифференцирование
					′
	на − t				S (p)	изображения
	на − t					изображения

				s(t)	∞	Интегрирование
8	Деление оригинала на t			s(t)	∫S(u)du	Интегрирование
						изображения
				t
				t	p
					p

	Теорема сдвига		s(t −τ)		S(p) e−pτ	Умножение
9	Теорема сдвига					изображения на e−pt
9	оригинала во времени					изображения на e−pt
	оригинала во времени
							117
10	Умножение оригинала		s(t)e−αt		S(p +α)	Замена аргумента р на	117
	Умножение оригинала					Замена аргумента р на
	на e−αt					(p +α)
	на e−αt					(p +α)
		t			S1(p) S2 (p)
		∫s1(τ)s2 (t −τ)dτ			S1(p) S2 (p)
	Свертка двух	∫s1(τ)s2 (t −τ)dτ				Умножение
11	Свертка двух	0				Умножение
11	оригиналов	t	(τ −τ)s2 (t)dτ			изображений
	оригиналов	t			S1(p) S2 (p)	изображений
		∫s1			S1(p) S2 (p)
		0

Таблица 5.2 – Формулы Дюамеля и формулы разложения

+∞

Прямое преобразование Лапласа

H (p)=

∫h(t) e− pt dt

S(p)=

∫s(t) e− pt dt

c+ j∞

c + j∞

Обратное преобразование Лапласа

h(t)=

∫

H (p) e ptdp

s(t)=

∫

S(p) e pt dp

2πj

− j∞

c − j∞

Предельные соотношения

h(0+ )= lim

pH (p)

h(∞)= lim pH (p)

→∞

p→0

L−[pS(p)H (p)]= s(0)h(t)+ ∫s′(τ)h(t −τ)dτ

118

L−[pS(p)H (p)]= s(0)h(t)+ ∫h(τ)s′(t −τ)dτ

Формулы Дюамеля

L−[pS(p)H (p)]= s(t)h(0)+ ∫s(τ)h′(t −τ)dτ

L−[pS(p)H (p)]= s(t)h(0)+ ∫h′(τ)s(t −τ)dτ

Формулы разложения:

A(p)

1) случай простых корней

L−

= ∑

A(p)

e pt

= ∑ lim

(p − pk )e pt

B(p)

k =1 B′(p)

k =1 p→pk

B(p)

2) случай кратных корней

L−

A(p)

d m−1

A(p)

(p − p

)m e pt

lim

∑

B(p)

k =1(m −1)! p→ pk dpm−1

119

1) Рассмотрим изображение единичного скачка S1( p) = 1p . Изображение

S1( p) содержит один полюс p1, лежащий на мнимой оси p1 =0 . Сместим полюс влево , т.е. рассмотрим изображение S2 ( p) .

S2 ( p) =S1( p +α) или S2 ( p) =

, где S1( p) = lim S

2 ( p) .

p +α

α→0

Определим спектральную плотность по изображению S2 ( p) со сме-

щенным полюсом.

S&2

(ω) =

α + jω

Разделим S&2 (ω) на действительную и мнимую части и перейдем к пре-

делу при α →0 .

S&2 (ω) =Re S (ω) + j Im S (ω) =

− j

α2 +ω2

lim Re S&(ω) = lim

0 , ω ≠ 0

, т.к.

π δ(ω) , ω =0

→0

α→0α2 +ω2

∞

∫

dω = ∫

= arctg

=π .

− ∞

−∞

+ω

−∞1

lim Im S&(ω) = − lim

= −

α2 +ω2

α→0

Таким образом, спектральная плотность исходного сигнала (единичного

скачка) равна:

S&1(ω) =πδ(ω) − j

=πδ(ω)

jω

2) Рассмотрим изображение

линейно

нарастающей функции

L+[tσ(t)]=

. Изображение содержит один полюс

p =0 с кратностью по-

люса, равной 2. Сместим полюс влево.

S2 ( p) =

( p +α)2

Выполняя замену переменных

p = jω, определим спектральную плот-

ность. Разделим спектральную плотность на действительную и мнимую части и, переходя к пределу при α →0 , получим:

120

S2 (ω) =

α2

−ω2

− j

2ωα

;

(α + jω)2

(α2

+ω2 )2

(α2

+ω2 )2

lim Re S&2

(ω) =

lim

α2 −ω2

= −

;

ω2

α→0

α→0 (α2 +ω2 )2

lim Im S&2 (ω)

= − lim

2αω

0 , ω ≠ 0

α2 +ω

α→0

)

−π δ′(ω) , ω =0 .

(

Из прошлого примера знаем, что

lim

=πδ(ω).

α2 +

ω2

α→0

Продифференцировав по ω правую и левую части, получим

2ωα

′

lim −

α→0 (α2 +

ω2 )2

Таким образом, спектральная плотность сигнала tσ(t ) равна

Ф+[tσ(t )]=π δ′(ω) − ω12 .

Дальнейшие переходы выполним, применяя свойства преобразований Лапласа. В таблицах 5.4 и 5.5 (стр. 132−135) представлены разнообразные сигналы и их изображения по Лапласу и по Фурье.

5.6 Практическое приложение к пятой главе

5.6.1Математическое описание простейших односторонних сигналов

ирасчет изображений по Лапласу

На рисунке 5.3 показаны сигналы (оригиналы), представляющие собой произведение линейно нарастающей функции и единичных скачков

Выполним математическое описание шести сигналов с помощью элементарных составляющих и установим связь между всеми сигналами:

s1(t) = tE t σ(t) ;

(t) =

(t −t

) σ(t) =

tσ(t) − Eσ(t) = s (t) − Eσ(t) ;

s (t) =

(t −t

) σ(t −t

) = s (t −t

) ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015300.03 Кб18РИМСКОЕ ПРАВО КОПЫЛОВ.doc
#
08.09.201935.05 Кб0римское право лекция.docx
#
30.08.2019521.22 Кб0Романова курсач.doc
#
26.11.2019390.66 Кб1Романский и готический стиль.doc
#
21.11.2019126.98 Кб0РП практики преддипломной.doc
#
11.05.20155.51 Mб165ртцис.pdf
#
10.05.201590.11 Кб6РУДН_Свободные зоны.doc
#
11.05.20151.28 Mб118Руководство по решению дискретки.pdf
#
11.05.2015146.3 Кб31СА реферат.docx
#
10.05.2015409.6 Кб88САПР реферат.doc
#
19.11.20193.44 Mб59сб.зад.ант иус свч 1.doc