Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

ртцис

.pdf
Скачиваний:
165
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
5.51 Mб
Скачать
☆

121

s4 (t) = tE

o

s5 (t) = tE

o

s6 (t) = tE

o

t σ(t −t

o

) =

E

 

(t −t

o

) σ(t −t

o

) + E σ(t −t

o

) = s (t −t

o

) + Eσ(t −t

o

);

 

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t σ(t) −

(t −t

o

)σ(t −t

o

) = s (t) − s (t −t

o

) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t [σ(t) −σ(t −t

o

)]=

t σ(t) −

t σ(t −t

o

) = s (t) − s

4

(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

 

 

to

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s1(t )

E

s4 (t )

E

s1(t )

to

s1(t −to )

to Eσ(t −to )

s2 (t )

s1(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

t − E

to

 

 

 

t

s5 (t )

 

 

− Eσ(t )

s1(t )

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

t

to

− s

(t −t

o

) t

 

 

1

 

 

s3 (t )

s1(t −to )

E

to t

s6 (t ) s1(t )

E

− s1(t −to )

to

t

− Eσ(t −to )

Рисунок 5.3 – Графическое представление сигналов

Анализ полученных математических моделей показывает, что редкий сигнал описывается единственным способом. Как правило, существует несколько вариантов математического описания, каждое из которых имеет свои достоинства. Полезно видеть разные подходы, т.к. это позволяет сравнивать их, выбирать кратчайший путь решения задачи, а также исключать промахи.

Применяя прямое преобразование Лапласа и его свойства, найдем изображения шести сигналов:

S1( p)

S2 ( p)

S4 ( p)

∞

E

 

 

 

 

E

 

1

 

 

 

 

∞

1

∞

 

 

 

 

 

 

E

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∫

te− pt dt =

 

t

e− pt

 

 

+

 

 

∫e− pt dt

=

 

;

 

 

 

 

 

 

− p

 

 

p

 

2

 

 

 

to

 

 

to

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to p

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

E

+

[σ(t)]=

E

 

 

1

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= L

 

 

t σ(t)

− L

 

 

 

 

 

 

−

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

p2

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= L+

 

E

 

 

 

 

 

 

 

+ L+[E σ(t)]=

E

 

1

e− pto +

E

e− pt o ;

 

(t −to ) σ(t −to )

 

 

 

 

p

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to p2

 

 

 

 

 

 

122

 

+ E

 

 

+

E

 

 

 

 

 

 

 

E

 

1

 

 

 

 

E

 

 

 

1

 

 

− pt

 

 

S5

( p) = L

 

 

 

 

t σ(t)

− L

 

 

 

(t −to ) σ(t −to )

=

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

e

 

 

o

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

to p2

 

 

 

 

to p2

 

 

 

 

 

 

 

+ E

 

 

+

E

 

 

 

E 1

 

E 1

 

 

− pt

 

 

 

E

 

 

− pt

 

S6

( p) = L

 

 

 

t σ(t)

− L

 

 

 

t σ(t −to )

=

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

o

−

 

e

 

 

o .

 

 

 

 

to p2

to p

2

 

 

p

 

 

 

 

to

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При расчете изображений шести сигналов только один раз выполнялось интегрирование по частям. В остальных случаях были использованы связи между сигналами, которые применялись при расчете изображений.

5.6.2Расчет изображений по Лапласу односторонних затухающих гармонических колебаний

 

На рисунке 5.4 представлены сигналы s2 (t ) и s3(t), затухающие по

экспоненциальному закону s1(t ).

 

s2 (t )

s1(t )

s3 (t )

Рисунок 5.4 − Односторонние сигналы, затухающие по экспоненциальному закону

Математические модели сигналов описываются следующим образом: s1(t) = Ee−α tσ(t) ;

 

 

s2 (t) = (Ee

−α t

sinωot)σ(t) =

 

E

 

e

−(α− jω

o

)t

σ(t) −

 

E

e

−(α+ jω

o

)t

σ(t) ;

 

 

 

 

 

 

2 j

 

 

 

 

 

 

 

 

2 j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

(t) = (Ee−α t

cosω

o

t)σ(t) = E e−(α− jωo )tσ(t) + E e−(α+ jωo )tσ(t) .

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим изображения трех сигналов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1( p) = ∫Ee−α t e− pt dt =

 

 

 

 

e−(α+ p)t

 

 

=

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

− ( p +

α)

0

α

+ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

E

 

−(α− jω

 

 

 

)t

 

 

 

 

−

 

E

 

−(α+ jω

 

)t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

2 ( p) = L

 

 

e

 

 

 

 

 

o

 

 

σ(t)

− L

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

o

 

σ(t)

=

 

 

 

2 j

 

 

 

 

 

 

 

2 j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

E

1

 

 

 

 

−

E

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= E

 

 

 

 

ωo

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

2 j

 

( p +α − jωo )

2 j

 

p +α + jωo

 

( p +α)2 +ωo2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

123

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ E

 

−(α− jω

 

)t

 

+ E

 

−(α+ jω

 

)t

 

 

 

 

S3 ( p) = L

 

 

e

 

 

 

 

o

 

σ(t)

+ L

 

 

e

 

 

o

 

σ(t)

=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

E

 

 

1

 

 

 

+

E

 

 

 

1

 

 

= E

 

 

p

 

 

.

2 ( p +α − jωo )

2 ( p +α + jωo )

 

( p +α)2

+ωo2

 

 

 

 

 

 

 

Представление сигналов суммой экспоненциальных составляющих привело к существенному упрощению расчета изображений.

5.6.3 Расчет изображений по Лапласу односторонних незатухающих гармонических колебаний

На рисунке 5.5 показаны модели сигналов, представляющих собой произведение гармонических колебаний и единичных скачков.

s1(t )

s4 (t )

 

E

 

E

t

 

t

s2 (t )

s5 (t )

2E

E

 

 

t

 

t

s3 (t )

s6 (t )

2E

E

 

 

t

t

Рисунок 5.5 – Модели сигналов, полученных из незатухающих гармонических колебаний

Выполним математическое описание шести сигналов, изображенных на рисунке 5.5:

s1(t) = (E sinωot)σ(t) = 2Ej e jωotσ(t) − 2Ej e− jωotσ(t) ;

124

 

s2

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

T

 

) = −(E sinωot)σ(t −

T

) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) = E sinωo (t −

2

) σ(t −

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

(t) = E

σ(t) −σ(t −

T

) sinω

o

t

 

= (E sinω

o

t)σ(t) +[E sinω

o

(t

−τ)]σ(t

−

T

) ;

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s4 (t) = (E cosωot)σ(t) =

E

e

jω

 

t

σ(t) +

E

e

− jω

t

σ(t) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

o

2

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s5 (t) = E(1 − cosωot) σ(t) = Eσ(t) − E cosωotσ(t) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s6 (t) = E(1 − cosωot)[σ(t) −σ(t −To )]= s5 (t)σ(t) − s5 (t −To ) σ(t −To ) .

 

 

 

 

Используя свойства преобразований Лапласа, определяем изображения

шести сигналов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

∞

 

−( p− jωo )t dt −

E

∞

 

 

−( p+ jωo )t dt =

 

 

 

 

S1( p) = ∫E sinωote− pt dt =

 

∫e

∫e

 

 

 

 

2 j

2 j

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

E

1

 

−

E

1

 

 

 

 

 

= E

 

 

 

ωo

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 j

 

p − jωo

2 j

 

p + jωo

 

 

p2 +ωo2

 

 

ωo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

[E sinωo (t −T / 2)

 

 

 

 

−T / 2)]= E

 

 

 

 

−pT / 2

 

 

 

 

 

 

 

S2 ( p) = L

σ(t

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

p2

+ωo2

 

 

 

 

Eωo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S3 ( p) = L+[E sinωotσ(t)]+ L+[E sinωo (t −T / 2)σ(t −T / 2)]=

 

 

 

(1 + e− pT / 2 );

 

p2 +ωo2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

S4 ( p) = L+[(E cosωot)σ(t)]= L+

 

e jωotσ

 

 

 

+ L+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(t)

 

 

 

e− jωotσ(t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

= 0∫2Ej S5 ( p) = E 1p

S6 ( p)

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

E 1

 

 

E 1

 

 

 

p

 

 

e−( p− jωo )t dt −∫

E

e−( p+ jωo )t dt =

 

+

= E

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 j

 

 

 

 

2 p + jωo

p

2

+ω

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2 p − jωo

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= L+[(1 − cosωot)σ(t)]= L+[Eσ(t)]− L+[E cosωotσ(t)]=

 

 

 

 

 

 

− E

 

p

= E

 

 

 

ωo2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 +ωo2

p( p2 +ωo2 )

 

ωo2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= L+[S

5

(t)]− L+[S

5

(t −T )]

= E

 

(1 − e− pT ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

p( p2 +ωo2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основу анализа затухающих и незатухающих односторонних гармонических колебаний составляют две теоремы: взвешенное суммирование оригиналов и умножение оригинала на экспоненциальную функцию.

125

5.6.4 Дифференцирование сигналов и определение изображений

На рисунке 5.6 показано 5 сигналов: два сигнала описываются непрерывными на бесконечном интервале времени функциями f1(t ) и f2 (t ); три

сигнала – односторонними функциями.

f1(t )

 

s4 (t )= f1(t ) σ(t )

t

t

f2 (t)= f1′(t )

s5 (t )= s4′ (t )

t

t

s3 (t )= f1′(t ) σ(t )

t

Рисунок 5.6 −Графическое представление дифференцирования аналитической функции f1 (t) и оригинала f1 (t) σ(t)

При дифференцировании сигналов нужно помнить, что оригиналом одностороннего преобразования Лапласа является произведение функции f (t ) и

единичного скачка σ(t ). Следует различать, подверглась дифференцированию функция f (t ) или оригинал f (t ) σ(t ). Запишем математические модели сигналов, изображенных на рисунке 5.6:

f1(t) = cosωot , − ∞ <t < ∞;

f2 (t) = f1′(t) = −ωo sinωot , − ∞ <t < ∞;

126

s3 (t) = f1′(t)σ(t) = (−ωo sinωot)σ(t) ; s4 (t) = (cosωot)σ(t) ;

s5 (t) = s4′ (t) = (−ωo sinωot)σ(t) +δ(t)cosωot = s3 (t) +δ(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем изображения, соответствующие трем сигналам s3 (t), s4 (t), s5 (t) :

 

S4 ( p) = L+[s4 (t)]= L+[cosωotσ(t)]=

 

 

p

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 +ωo2

 

 

 

 

 

 

ωo2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

L

[s3

(t)]= L

[cosωotσ(t)]= p S4 ( p) − lim cosωot = p

 

 

−1 = −

 

;

 

p2 +ωo2

p2 +ωo2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t →0

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞ e

−( p− jωo )t

 

e

−( p+ jωo )t

 

 

L

[s

3

(t)]= L

[(−ω

o

sinω

o

t)σ(t)]= −ω

o ∫

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

dt =

 

 

 

 

 

2 j

 

 

2 j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

o

 

 

−

 

 

 

= −

 

o

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 +ωo2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 j

p − jωo

 

 

p + jωo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L+[s

5

(t)]= L+[−ω

o

sinω

o

tσ(t)]+ L+[δ(t)]= −

ωo2

 

+1 =

p2

.

 

 

 

 

 

 

 

p2 +ωo2

 

p2 +ωo2

 

 

 

 

 

 

 

 

При дифференцировании оригинала f1 (t) σ(t)

кроме производной от

функции

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f1 (t) σ(t) может появиться дополнительное слагаемое f1 (0) σ(t),

если lim f1 (t) ≠ 0 .

t→0

5.6.5 Интегрирование сигналов и определение изображений

Математическое описание сигналов, изображенных на рисунке 5.7, имеет вид:

s1(t)=δ(t);

 

 

t

 

s2 (t)= ∫s1(τ)dτ =σ(t);

 

 

 

 

 

−∞

t

 

 

t

s3 (t)= ∫s2 (τ)dτ =tσ(t);

 

s4 (t)= ∫s3 (τ)dτ =t 2σ(t).

−∞

 

 

−∞

s1(t)=δ(t) s2(t)

 

s3(t)

s4(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o t o t o t o t

Рисунок 5.7 – Графическое представление четырех оригиналов, из которых каждый последующий получен путем интегрирования предыдущего

127

Определим изображения сигналов, используя прямое преобразование Лапласа и его свойства:

 

+

 

∞

 

 

− pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

t

 

 

 

 

s1 (p )

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s1(p)= L [δ (t )]= ∫δ (t )e

 

 

 

dt =1

;

 

 

s2 (p )

=

L

 

 

 

τ

τ

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫s1 ( )d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

t

 

 

 

s

 

(p )

 

 

1

;

 

 

+

 

 

t

 

 

 

s

 

(p )

 

 

 

 

1

 

.

s3 (p )=

 

 

∫s2 (τ )dτ

 

 

 

 

 

 

s4 (p )= L

 

 

 

∫s3 (τ )dτ

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

=

 

2

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

3

 

=

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

2

 

 

 

 

p

 

p

3

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование оригиналов приводит к делению изображений на пара-

метр р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.6.6 Изображение свертки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем свертку и

изображение свертки одностороннего экспоненци-

ального

 

 

 

сигнала

 

s3 (t )

 

 

с

 

 

различными

 

 

функциями

 

(оригиналами)

s1 (t ), s2

(t ), s3 (t ), s4 (t ), изображенными на рисунке 5.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 s3(t −τ)

0

0

s13(t)

0

s1(τ)

s2 (τ)

s3(τ)

s4(τ)

τ 0

τ 0

τ 0

τ

 

s3(t −τ)

s3(t −τ)

s3(t −τ)

τ

0

t

τ

0

t

τ

0

t

τ

s (τ)s (t −τ)

τ

 

−τ

s (τ)s (t −τ)

 

 

1 3

 

 

 

 

 

s2( )s3(t

 

)

3

3

 

 

 

τ

0

t

τ

 

0

t

τ

0

t

τ

 

s23(t)

 

 

 

s33(t)

 

 

 

s43(t)

 

t

0

t 0

t 0

t

Рисунок 5.8 − Геометрическая интерпретация свертки четырех оригиналов s1 (t ), s2 (t ), s3 (t ), s4 (t )с одностороннего экспоненциального сигнала s3 (t )

128

Сворачивая сигналы, получим:

 

(t )=

t

δ (τ ) e −α(t −τ )dτ = e −α tσ (t );

 

 

t

 

 

 

 

(t −τ )

 

 

 

1

(1

 

 

 

)

 

 

;

s

∫

s23 (t )

=

∫

σ τ

 

e

−α

d

τ =

−

e

−α t

σ

(t )

 

α

13

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

1

[α t −(1 −e−α t )]σ(t).

s33(t)= ∫e−ατe−α(t −τ)dτ =te−αtσ(t); s43

(t)=∫τe−α(t−τ)dτ =

 

 

2

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изображения сверток определим, применяя свойства преобразований Лапласа:

S13 (p)= L+[s13 (t )]= L+[δ(t )] L+[e−αt ]= p +1 α ;

S23 (p)= L+[s23 (t)]= L+[σ(t)] L+[e−αt ]= p(p1+α);

S33 (p)= L+[s33 (t)]= L+[e−αt ] L+[e−αt ]=

1

 

;

 

 

(p +α)

2

 

 

 

 

 

S43 (p)= L+[s43 (t)]= L+[e−αt ] L+[tσ(t)]=

1

 

 

.

p2 (p +α)

Свертка оригиналов приводит к перемножению изображений.

5.7 Выводы

1. Преобразования Лапласа устанавливают взаимно однозначное соответствие между пространством оригиналов и пространством изображений. Оригиналом называется односторонний сигнал, который растет с увеличением времени не быстрее положительной экспоненциальной функции и имеет конечное число разрывов первого рода на конечном интервале времени.

Изображением является аналитическая дробно-рациональная функция комплексного аргумента p , которая стремится к нулю, если реальная часть p

стремится к бесконечности.

129

2. Преобразования Лапласа представляют собой обобщение преобразований Фурье и применяются как к интегрируемым, так и односторонним неинтегрируемым сигналам, снимая ограничения Дирихле. От изображения по Лапласу заменой аргумента p на jω можно перейти к спектральной плотно-

сти в том случае, если сигнал относится к физически реализуемым сигналам. Изображения по Лапласу для физически реализуемых сигналов отличаются тем, что особые точки, называемые полюсами, лежат левее мнимой оси, т.е. реальная часть полюсов – конечная отрицательная величина.

Если изображение по Лапласу содержит полюса, лежащие на мнимой оси (т.е. реальная часть полюса равна нулю), то реализуется замена аргумента p на α + jω с последующим разделением спектральной плотности на дейст-

вительную и мнимую части и предельным переходом при α →0 .

3. Свойства преобразований Лапласа можно рассматривать как обобщение теорем о спектрах. Теоремы о спектрах отличает глубокая физическая трактовка. Преобразования Лапласа и их свойства – это более совершенный и простой в применении математический аппарат. Особенно широкое распространение получили формулы Дюамеля и обратное преобразование Лапласа, выполняемое с помощью теории вычетов.

Таблица 5.3−Связь между изображениями и оригиналами при одностороннем преобразовании Лапласа

 

S ( p)

s(t )

 

 

S ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

s(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

δ(t )

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

cos(ωt )σ(t )

 

 

 

 

 

 

 

p2 +ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

′

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

e

−α t

sin(ωt )σ(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ (t )

 

( p +α)2

+ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

n

 

δ (n) (t )

 

 

p +α

 

 

 

e

−α t

cos(

ω

σ

(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p +α)2

+ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

p

σ(t )

ωcos ϕ +( p +α) sin ϕ

 

 

e−α t sin(ωt +ϕ)σ(t )

 

 

( p +α)2

+ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

130

1

 

2

tσ(t )

−ωsin ϕ +( p +α)cos ϕ

 

 

e

−α t

cos(

ω

t

+ϕ σ

(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

( p +α)2

+ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

t n−1

 

 

 

ω2

 

 

 

 

 

 

(1 −cosωt )σ(t )

 

 

 

 

pn

(n −1)!σ(t )

 

 

p( p2 +ω2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e−α tσ(t )

 

 

 

1

 

+ω2 )

1

 

−e

−α t

 

 

ωt +

 

α

 

 

 

p +α

p(( p +α)2

α2 +ω2

1

 

 

 

cos

 

ω

sin ωt σ(t )

 

(1 −e−α t )σ(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

−cosωt +

α

 

 

p( p +α)

( p

2

+ω

2

)( p +α)

α2 +

 

e−α t

ω

sin ωt σ(t )

 

 

 

 

ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

te −α tσ(t )

 

 

 

p

 

1

[−αe−α t +αcosωt +ωsin ωt]σ(t )

 

(p +α)2

( p2 +ω2 )( p +α)

 

 

α2 +ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности