Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ртцис

.pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 267 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Выполним математическое описание сигнала, изображенного на рисун-

ке 2.15.

s(t)=

4E t, 0 < t ≤T

Рассчитываем весовой коэффициент bn

32E

T 4

∫

t sin nω tdt

−

VdU

T 2

32E

T 4

∫

t−

cos nω t

cos nω tdt

nω

32E

t cos nω

sin nω

T 2

−

(nω )2

nω1

nω1T

Подставляя

= n

, получим для нечетных n

n =1,5,9...

cos n

= 0

sin n

n =3,7,11...

−1,

Пусть (2m −1)= n , где m =1,2,3...

sin n

= (−1)m+1 .

(−1)m+1

sin n

(nπ )2

π 2

(2m −1)2

∞

(−1)m+1

s(t )

∑

sin(2m −1)ω1t .

m=1 (2m −1)

2.10 Выводы

1.Периодический сигнал описывает бесконечно повторяющийся во времени физический процесс и является полезной абстракцией, используемой при решении практических задач.

2.Под гармоническим анализом понимают разложение периодического сигнала на сумму гармоник с частотами, кратными основной частоте повторения периодической последовательности.

3.Суммирование гармоник с определенными амплитудами и начальными фазами позволяет восстановить периодический сигнал с любой заданной точностью.

4.Под спектральными характеристиками периодического сигнала понимают распределение амплитуд (и начальных фаз) по частотам и называют спектрами амплитуд и фаз соответственно.

5.Временное и спектральное представления однозначно описывают периодический сигнал в двух разных плоскостях: мгновенное значение – время и амплитуда – частота (начальная фаза – частота).

6.Временное представление периодического сигнала, как правило, аналоговая функция времени. Спектральное представление периодического сигнала – дискретная затухающая функция частоты.

7.Экспериментальное исследование временного представления осуществляется с помощью осциллографа, поэтому s(t) называют осциллограммой.

Экспериментальное исследование спектрального представления выполняется

спомощью анализатора спектра и называется спектрограммой.

8.Форма периодического сигнала определяет поведение спектра амплитуд и распределение начальных фаз гармоник. Если начальные фазы гар-

моник 0 либо π, то периодический сигнал обладает четной симметрией относительно начала координат. Если начальные фазы гармоник ±π 2 , то перио-

дический сигнал обладает нечетной симметрией относительно начала координат. Если спектр амплитуд затухает медленно, то периодический сигнал имеет разрывы. Если в спектре амплитуд “исчезают” некоторые гармоники (или огибающая спектра амплитуд пульсирует), то это признак импульсного характера периодического сигнала.

9. Мощность периодического сигнала сложной формы равна сумме мощностей отдельных гармонических составляющих. Среднеквадратическое значение погрешности представления периодического сигнала конечной суммой гармоник равно разности мощностей сигнала и оценки.

3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

3.1Предельный переход от периодических сигналов

кнепериодическим

Изложенный в главе 2 гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Предел периодического сигнала (2.3) при T →∞ равен непериодическому сигналу sT (t)

lim s(t)= lim		∞ sT (t + kT )= sT (t).	(3.1)
T →∞	T →∞	∑
		k =−∞

Рассмотрим изменения, происходящие в спектре периодического сигнала s(t) при увеличении периода, на примере периодической последовательности импульсов, представленной в таблице 2.6. При T →∞ основные параметры спектра уменьшаются до бесконечно малой величины: во-первых, ко-

эффициенты C&	n	, а, следовательно, и амплитуды гармоник	A = 2	C	n	, во-

			n
вторых, расстояние ∆ω между частотами соседних гармоник nω1 и				(n +1)ω1

стремятся к нулю.

Кажущееся “исчезновение” информации происходит из-за нарушения энергетических соотношений. Энергия периодического сигнала s(t) бесконечна, а энергия непериодического согнала sT (t) конечна. По формальному

признаку уменьшение параметров при T →∞ происходит из-за нормирующего множителя 1T .

Чтобы исключить возникающее энергетическое противоречие, совместим гармонический анализ и восстановление сигнала по спектру (синтез).

Воспользуемся комплексным рядом Фурье (в таблице 2.1)

∞	1	T / 2
s(t)= ∑C&ne jnω1t , где C&n =	1	∫s(t) e	− jnω1t dt .
s(t)= ∑C&ne jnω1t , где C&n =	T	∫s(t) e	− jnω1t dt .
n=−∞		−T / 2

Подставим C&n в выражение для комплексного ряда

∞

T 2

− jnω t

jnω t

s(t )= ∑

∫sT

(t) e

1 .

n=−∞

−T 2

144424443

C&n

Устремляя период к бесконечности и переходя к пределу, получим

∞

T /

lim s(t)= lim

∑

∫

s (t)e− jnω1t dt e jnω1t .

(3.2)

T →∞

n=−∞

−T / 2

При T →∞ расстояние между спектральными линиями ∆ω уменьшается до бесконечно малой величины dω , т.е.

lim	1	=	lim ∆ω	=	dω	.

T →∞T			T →∞ 2π		2π

Частоты отдельных гармонических колебаний будут меняться не дискретно: ω1, 2ω1, 3ω1, … nω1, а непрерывно, образуя текущую частоту ω , т.е.

lim nω1 =ω .

T →∞

Дискретная сумма (3.2) преобразуется в интегральную сумму с бесконечными пределами по текущему параметру ω. В результате получается двойной интеграл Фурье

∞

sT (t)= 21π −∫∞

	∞	− jω t				jω t
	∫sT (t) e	− jω t		dt	e	jω t	dω .
	∫sT (t) e			dt	e		dω .
−∞							(3.3)
144424443
	S&(ω)= lim		(C&nT )
	T →∞

Внутренний интеграл называется прямым преобразованием Фурье (ППФ). Формально ППФ обозначается Ф+[s(t)]. Результатом применения ППФ к сигналу s(t) является спектральная плотность S&(ω) . Спектральная плотность S&(ω) − это комплексная функция частоты, которую можно пред-

ставить как эквивалентный вклад всех спектральных составляющих, находящихся внутри частотного интервала dω .

2π

S&(ω)= lim (TC&

lim

2πCn

(3.4)

T →∞

→∞

dω

Внешний интеграл в (3.3) называется обратным преобразованием Фурье

(ОПФ). Формально ОПФ обозначается Ф−[S(ω)]. Результатом применения ОПФ к спектральной плотности (функции частоты) является сигнал s(t) – функция времени.

3.2 Прямое и обратное преобразования Фурье

Существуют два способа описания непериодического сигнала. Первый

способ основан на математическом представлении физического сигнала функцией времени s(t). Второй способ – описание физического сигнала

функцией частоты S&(ω) . Эти два представления сигнала связаны между собой преобразованиями Фурье:

		∞
S&(ω)=Ф+[s(t)]= ∫s(t )e− jω t dt ,			(3.5)
	−∞
s(t )=Ф−[S&(ω)]=	1	∞
	1	∫S&(ω)e jω t dω .	(3.6)
	2π	∫S&(ω)e jω t dω .	(3.6)
		−∞
Размерность частоты ω обратна		размерности времени t . Произведение
параметров ω и t – безразмерная величина
ωt = 2πft .			(3.7)

Функции s(t) и S&(ω) описывают в различной форме один и тот же фи-

зический процесс. Функция s(t) дает представление о состоянии системы в

координатах “мгновенное значение – время”. Функция S&(ω) позволяет опи-

сать поведение системы в координатах “амплитуда – частота”.

Интересно сопоставить интегральные формулы комплексного коэффициента ряда Фурье C&n и спектральной плотности S&(ω) :

	1	T / 2	− jnω1t dt ,
C&n =	1	∫sT (t)e
C&n =	T	∫sT (t)e
		−T / 2
		∞

S&(ω) = ∫sT (t)e− jω t dt .

−∞

Спектральная плотность – непрерывная функция частоты. Комплексный коэффициент C&n – дискретная функция частоты. Размерность комплексного коэффициента C&n ряда Фурье совпадает с размерностью исследуемого сигнала s(t)

[s(t)]=[C&n ].

Размерность спектральной плотности равна произведению размерности сигнала s(t) и времени

[S&(ω)]=[s(t)] [время].

Значения спектральной плотности, взятые в дискретных точках

ω = nω1 , с точностью до постоянного множителя T совпадают со значениями

коэффициентов C&n

T C&	n	= S&(nω ).	(3.8)
	n	1

Сравним между собой комплексный ряд Фурье и обратное преобразование Фурье:

∞

s(t )= ∑C&ne jnω1t ,

n=−∞

∞

sT (t)= 21π −∫∞S&(ω)e jω t dω .

Ряд Фурье представляет периодическую функцию s(t) суммой хотя и бесконечного числа гармоник, но с частотами, имеющими определенные дискретные значения nω1. Интеграл Фурье (3.6) описывает непериодическую функцию sT (t) интегральной суммой бесконечно малых по амплитуде гар-

моник с непрерывной последовательностью частот.

3.3 Спектральные характеристики непериодических сигналов

Спектральной характеристикой (или спектральной плотностью) непе-

риодического сигнала называют комплексную функцию частоты S&(ω) .

∞
S&(ω)= ∫s(t ) e− jω t dt = A(ω)− jB(ω)=	S(ω)	e jϕ(ω),	(3.9)


−∞
∞
A(ω)= ∫s(t)cosωtdt = Re S&(ω),			(3.10)
−∞
∞
− B(ω)= − ∫s(t)sinωtdt = Im S&(ω).			(3.11)

−∞

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями:

S&(ω)	= A2 (ω)+ B2 (ω),			(3.12)

ϕ(ω)= −arctg		B(ω)	.	(3.13)

		A(ω)

Модуль комплексной спектральной плотности называют амплитудночастотной характеристикой (АЧХ) спектра сигнала s(t). Часто АЧХ или

S&(ω) называют амплитудным спектром. Аргумент комплексной спектраль-

ной плотности называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) спектра

сигнала s(t). В технической литературе ϕ(ω) называют фазовым спектром. АЧХ – четная функция частоты, а ФЧХ – нечетная функция частоты, т.е.

S&(ω)	=	S&(−ω)	,	(3.14)

ϕ(ω)= −ϕ(−ω).				(3.15)

Пример 3.1 - Расчет спектральных характеристик одиночного прямо-

угольного импульса

Одиночному прямоугольному импульсу, длительность которого τ, амплитуда E (рисунок 3.1), соответствует спектральная плотность S&(ω) .

s(t)

S&(ω)

Eτ

−

2π

−τ

−

4π

2π

4π

а)

б)

Рисунок 3.1 − Временное (а) и спектральное (б) представления сигнала

τ / 2

2E e jωτ 2 − e− jωτ 2

sinωτ

S&(ω)= ∫Ee− jω t dt =

= Eτ

2 j

ωτ

−τ / 2

При ω = 0 спектральная плотность численно равна площади сигнала

∞

S&(0)= ∫s(t)dt = Eτ .

−∞

Сигнал представляет собой четную функцию времени, а спектральная

плотность − действительная функция частоты S(ω)

= A(ω). Сигнал обладает

конечной энергией и конечной длительностью τ , поэтому спектральная плотность затухает с увеличением частоты, и затухание носит “пульсирующий” характер. Переход спектральной плотности через ноль однозначно связан с длительностью импульса τ . По половине ширины главного лепестка спектральной плотности можно оценивать полосу частот сигнала.

Для построения спектральных характеристик (рисунок 3.2) необходимо

рассчитать модуль и аргумент спектральной плотности:

}

sinωτ

, A(ω)> 0

приω > 0,

−π

, A(ω)< 0

S&(ω)

A(ω)

= Eτ

ϕ(ω)= arg S&(ω)=

,, AA((ωω))><

}, приω < 0.

ωτ 2

0+π

S&(ω)

Eτ

а)							6π
							6π
							τ
−ω	−	4π	−	2π	2π	4π	ω
	−	4π	−	2π	2π	4π
		τ		τ	τ	τ

S&(ω)

б)

−ω

ϕ(ω)

в)

−ω

−π

Рисунок 3.2 − Спектральные характеристики прямоугольного импульса: а) спектральная плотность − действительная функция частоты S&(ω) = A(ω) ; б) S(ω) амплитудный спектр или амплитудно−частотная характеристика (АЧХ) спектра сигнала; в) ϕ(ω) − фазовый спектр или фазочастотная характеристика (ФЧХ) спектра сигнала

3.4 Анализ внутренней структуры непериодического сигнала

Любой произвольный сигнал s(t)				может быть представлен суммой чет-
ной sчет(t) и нечетной sнеч(t) составляющих:
		s(t)= sчет(t)+ sнеч(t),						(3.16)
s	чет	(t)= 1 [s(t)+ s(−t)],	s	неч	(t )= 1		[s(t)− s(−t)].	(3.17)
	чет	2		неч		2
		2				2
Здесь s(t) − физический сигнал, s(−t) − “зеркальный” сигнал.

Определим спектральные плотности четной и нечетной составляющих сигнала общего вида:

Ф+[s(t)]=Ф+[sчет(t)]+Ф+[sнеч(t)],

∞	∞	∞
Ф+[sчет(t)]= ∫sчет(t)cosωtdt − j ∫sчет(t)sinωtdt = 2∫sчет(t)cosωtdt ,
−∞	−∞	0
	∞
Ф+[sчет(t)]= A(ω)= 2∫sчет(t)cosωtdt ,		(3.18)
∞	0
∞	∞	∞
Ф+[sнеч(t)]= ∫sнеч(t )cosωtdt − j ∫sнеч(t )sinωtdt = −2 j ∫sнеч(t)cosωtdt ,
−∞	−∞	0
	∞
Ф+[sнеч(t)]= − jB(ω)= − j2∫sнеч(t)sinωtdt .		(3.19)
	0
Любому сигналу общего вида соответствует спектральная плотность
S&(ω)= A(ω)− jB(ω), причем	A(ω) – спектральная плотность четной состав-

ляющей, − jB(ω) – спектральная плотность нечетной составляющей.

s(t )= s	чет			(t)+ s			неч	(t),	S&(ω)= A(ω)− jB(ω).
	чет						неч
Ф+			[s		чет	(t)]= Re S&(ω)= A(ω)
					чет					(3.20)
		+						&		(3.20)
			[sнеч(t)]= j Im S(ω)= − jB(ω)
Ф			[sнеч(t)]= j Im S(ω)= − jB(ω)

Если сигнал s(t) представляет собой четную функцию времени, то спектральная плотность – действительная функция частоты. Если сигнал s(t)

представляет собой нечетную функцию времени, то спектральная плотность – чисто мнимая функция частоты.

Применение обратного преобразования Фурье к A(ω) и B(ω) позволяет определить отдельно четную и нечетную составляющие сигнала общего вида:

sчет(t)=

∞A(ω) e jω t dω =

2π

∫

∞

−∞

∞

∫A(ω)cosωtdt + j

∫A(ω)sinωtdt =

∫A(ω)cosωtdt ,

(3.21)

2π

−∞

144424443

sнеч(t )=

∞[− jB(ω)] e jω t dω =

2π

∫

∞

−∞

∞

∫B(ω)sinωtdt − j

∫B(ω)cosωtdt =

∫B(ω)sinωtdt .

2π

(3.22)

−∞

144424443

частоты:

Сигнал s(t) – действительная функция времени, следовательно, мнимая часть выражений (3.21) и (3.22) должна быть равна нулю. Таким образом, A(ω) должна быть четной функцией частоты, а B(ω) – нечетной функцией

A(ω)= A(−ω),

(ω)= − (−ω) (3.23)

B B .

Чтобы разделить сигнал общего вида на четную и нечетную составляющие, можно воспользоваться либо соотношениями (3.17), либо выражениями:

		1	∞
sчет(t)=		1	∫A(ω) cosωtdω ,	(3.24)
sчет(t)=		π	∫A(ω) cosωtdω ,	(3.24)
			0
	1		∞
sнеч(t)=	1		∫B(ω) sinωtdω .	(3.25)
sнеч(t)=	π		∫B(ω) sinωtdω .	(3.25)
			0

Результаты обобщения свойства четности преобразований Фурье на вещественные и комплексные сигналы представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Свойства четности преобразований Фурье для вещественных и комплексных сигналов

Описание сигнала

Спектральная плотность

(t)

)

чет

sнеч(t)

− jB(ω)

jsчет(t)

jA(ω)

неч

(t)

)

sчет(t)+ sнеч(t)

A(ω)− jB(ω)

j[sчет(t)+ sнеч(t)]

B(ω)+ jA(ω)

(t )+ js

неч

(t)

)

чет

)

(t )− js

неч

(t)

)

−

−ω

)

чет

B( )

A( )

sнеч(t)+ jsчет(t)

j[A(ω)− B(ω)]

sнеч(t )− jsчет(t)

− j[A(ω)+ B(ω)]

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 267 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015300.03 Кб18РИМСКОЕ ПРАВО КОПЫЛОВ.doc
#
08.09.201935.05 Кб0римское право лекция.docx
#
30.08.2019521.22 Кб0Романова курсач.doc
#
26.11.2019390.66 Кб1Романский и готический стиль.doc
#
21.11.2019126.98 Кб0РП практики преддипломной.doc
#
11.05.20155.51 Mб165ртцис.pdf
#
10.05.201590.11 Кб6РУДН_Свободные зоны.doc
#
11.05.20151.28 Mб118Руководство по решению дискретки.pdf
#
11.05.2015146.3 Кб31СА реферат.docx
#
10.05.2015409.6 Кб88САПР реферат.doc
#
19.11.20193.44 Mб59сб.зад.ант иус свч 1.doc