MI_T2TerekhovSV

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 11

Даны четыре точки A (1; −1; 0 ), B(0; − 2; −1 ), C (−1; −1; 0 ) и D (0; 1; −1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

40

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 12

Даны четыре точки A (0; 2; 1 ), B (−1; 0; −1 ), C (0; 1; 2 ) и D (1; 0; −1) :

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

41

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 13

Даны четыре точки A (2; 1; 0 ), B (0; 1; −1 ), C (1; 0; −1 ) и D (−1; 0; 1 ). :

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

42

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 14

Даны четыре точки A (−1; 0; 1 ), B (1; 0; 1 ), C (− 2; 1; 0 ) и D (0; −1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

43

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 15

Даны четыре точки A (−1; 1; 0 ), B (2; −1; 1 ), C (− 2; −1; 1 ) и D (1; 1; −1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

44

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 16

Даны четыре точки A (0; 2; 1 ), B ( 1; −1; 0 ), C (1; 2; 1 ) и D (0; 1; −1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

45

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 17

Даны четыре точки A (1; −1; 0 ), B (0; 2; 1 ), C (1; 0; 1 ) и D (1; −1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

46

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 18

Даны четыре точки A (−1; −1; −1 ), B (1; 0; 2 ), C (−1; 1; 1 ) и D (1; 0; −2 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

47

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 19

Даны четыре точки A (−1; −1; − 2 ), B (1; 2; 1 ), C (0; −1; 0 ) и D (1; 0; −1):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

48

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 20

Даны четыре точки A (−1; −1; 0 ), B ( 2; 1; −1 ), C (1; 0; −1 ) и D (2; 1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

49