Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MI_T2TerekhovSV

.pdf

Скачиваний:

274

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 5224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 13

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	1		∞	n2
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑		;	б) ∑		.
	n +3			n +1
n=1			n=1

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

а) ∑

;

б) ∑

+ 4n −3

n=1

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞	2			∞	2π
а) ∑			;


	n 2	+1		б) ∑ tg		.
n=1				n=1	3n

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞	n!		∞	6 11 16 ... (5n +1)
а) ∑	n!	;	б) ∑	6 11 16 ... (5n +1)	.
n=1	(3n −1) 2 n		n=1	1 3 5 ... (2n −1)

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	1		∞	arctg (5n )
а) ∑		;	б) ∑		.

n=1	n n +1		n=2	25 n 2+1

6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):

2 − 4 +

6 − 8

∞

(−1 )n

а)

+...;

б) ∑

3 5

7 9

n=1

n3 (n +1)

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

3(x + 2)

(x + 2)2

33 (x + 2)3

∞

(−1) n +1

а)

+...;

б) ∑

;

в) ∑

n 3 n

1 2

1 2 3

n=1

n=1 n (n +1) xn

8. а) Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при

x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = ln x ;

x0 =1;

б) f (x) = x sin (3x ).

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:

(1+ x2 ) y'' = 2y ; y(0) =1; y ' (0) = 0 .

10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).


а)	f (x) = x2 + x ;	x (−π; π ];		б)	f (x) =1−(2x /π) ;		x (0; π ) (по синусам).
11. а)	0, − 2 < x ≤ 0		;	б)	2, 0 < x		≤ π / 4	(по косинусам).
	f (x) =	0 < x ≤ 2			f (x) =	π / 4 < x ≤ π
	x,				1,

230

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 14

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	∞	(−1)n
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ tg (π n);	б) ∑		.

n=1	n=1	n (n +1)

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

а) ∑

б) ∑

;

25n

−

n=1

5 n −6

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞	1		∞	2−n
а) ∑		;	б) ∑		.
	ln (n +1)
n=1			n=1	n +1

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞	n!	;	∞	1 3 5 ... (2n −1) .
а) ∑	n!	;	б) ∑	1 3 5 ... (2n −1) .
n=1	(n +1)2		n=1	8 11 14 ... (3n +5)

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	n		∞	1
а) ∑		;	б) ∑		.
	n4 +1			(n +8) ln (n +8)
n=1			n=1

∞

(−1 )n

а)

−

+...;

б) ∑

102

104

106

108

n=1

n!(2n +1)

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

∞

(x −1)2 n

∞

(−1) n

а)1 + x +

+... ;

б) ∑

;

в) ∑

n=1

n 7 n

n=1 n2 (x + 2)n

8. а) Разложить функцию f (x)

в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при x0

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = cos x ;

x0 = π / 4 ;

б) f (x) =1/(5 − x2 ) .

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y' + y2 = ex ; y(0) = 0 . 10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

−π / 4,		−π < x	≤ 0	;	б) f (x) = 4x ; x (0; π ) (по косинусам).
а) f (x) =	π / 4,	0 < x	≤ π

11. а) f (x) = ex ;	x (− 2; 2 ];				б) f (x) = 2x −1; x (0; 1 ] (по синусам).

231

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 15

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	π		∞	2 n
		;	б) ∑		.


ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ sin
n=1	9 n		n=1	n +1

Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

3 n − 2 n

∞

а) ∑

;

б) ∑

49n

n=1

+ 7n −12

Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞

а) ∑ n +1 ;

б) ∑

(n +3) 5 n

n=1

Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞

2 n −1

а) ∑

;

б) ∑

(n +1)! 4

n=1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	1		∞	n +1
а) ∑	1	;	б) ∑	n +1	.
n=2	n ln 3n		n=1	n + 2

а) − 2

+ 4

− 8

+16 −...;

∞

(−1 )n

б) ∑

n=1

n2 (n +3)

Найти область сходимости функциональных рядов:

∞

(x +3) n

∞

(−1) n x2 n +1

а)1+ x + 2! x2 + 3! x3 +... ;

б) ∑

;

в) ∑

n=1

4n −3

а) Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x)	в ряд Маклорена, используя
стандартные разложения: а) f (x) =e−x2 ; x0 = 0 ;	б) f (x) =sin(2x )+cos(3x ).

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y' − y3 = −x ; y(0) =1. 10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

−1,		−π < x ≤ 0	;	б) f (x) = x2 −1; x (0; π ] (по косинусам).
а) f (x) =	1,	0 < x ≤ π
				б) f (x) = 3x ; x (0; 1 ] (по синусам).
11. а) f (x) =1− x ;		x (− 2; 2 ];

232

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 16

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞

ходимого признака сходимости ряда: а) ∑

;

б) ∑

sin (π / 2

)

n=1 n

n=1

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

(−1) n

∞

а) ∑

;

б) ∑

2 n

49n

−56n −33

n=1

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞

;

б) ∑

а) ∑ tg

n5 +5

n=1

7 n

n=1

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞

n2 + 4

∞

а) ∑

;

б) ∑

3 n

3n +1

n=1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	1			∞	1
а) ∑			;	б) ∑			.
	2				9
n=1	(n +1)	+1		n=2	n ln	n

−1+ 2

− 3

+ 4 +...;

∞

(−1 )n

а)

б) ∑

3 5 7

n=1

n2 (n +

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

∞

(x + 2) n

∞

x2 n −1

а)

+...;

б) ∑

;

в) ∑

n=2

4 n (2n −1)

8. а) Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = cos x ;

x0 = π / 3 ;

б) f (x) = e−3x −cos(3x ).

y'' = (2x −1) y −1; y(0) = 0 ; y ' (0) =1.

0,	−π < x ≤ 0		;	б) f (x) =	π − x	; x (0; π ] (по синусам).
а) f (x) =		0 < x ≤ π
x,					2
11. а) f (x) = 4 −2x ;		x (−3; 3 ];		б) f (x) = ex ; x (0; 1 ] (по косинусам).

233

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 17

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	(−1)n		∞	5n2 −1
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑		;	б) ∑		.
	n3
n=1			n=1	n

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞	(−1) n		∞			7
а) ∑		;	б) ∑				.
	n			49 n	2	+ 21n −10
n=1	3		n=1

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞	2π		∞	1
		;	б) ∑		.


а) ∑ tg				2 n +1
n=1	5 n		n=1

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞	10 n		∞	3 5 7 ... (2n +1)
а) ∑	10 n	;	б) ∑	3 5 7 ... (2n +1)	.
n=1	n!		n=1	2 5 8 ... (3n −1)
n=1			n=1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	1		∞		n
а) ∑		;	б) ∑			.
	n +1			n	6
n=1			n=1		+ 2

∞

(−1 )n

а)

−

+... ;

б) ∑

ln 2

ln 3

ln 4 ln 5

n=1

3 n n!

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

1 x3

1 x4

∞

а)

∑

(x − 2)n sin

∑

n! (x +3)n .

+...;

б)

;

в)

2 3

22 4

n=1

2 n

n=2

8. а) Разложить функцию f (x)

в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = x /(x + 4) ; x0 = 0 ;

б) f (x) =sin(2x )−cos(2x ).

y'' − y cos x = x ; y(0) =1; y ' (0) = 0 .

а)	f (x) = 3x − 4 ;	x (−π; π ];	б)	f (x) =1−2x ; x (0; π ) (по синусам).
11. а)	f (x) = e−x ;	x (−1; 1 ];	б)	1,	−1	< x ≤ 0	(по косинусам).
				f (x) =	0	< x ≤1
				x,

234

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 18

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	2 n		∞	7n +1
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑	2 n	;	б) ∑	7n +1	.
n=1	5(n +1)		n=1	n
n=1			n=1

Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

а) ∑

;

б) ∑

n=1

7 n

n=1

( 2 n −1) ( 2 n +1)

Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞

5−n

∞

1 .

а) ∑

;

б) ∑

n=1

n +1

Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞

3 n

∞

6 n

а) ∑

;

б) ∑

( n +1)!

3n + 2

n=1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞		2 n		∞	1
а) ∑			;	б) ∑			.
	n	2			5
n=1		+3		n=2	n ln	n

1 − 1 +

∞

(−1 )n

а)

−

+... ;

б) ∑

4 7 10 13

n=1

n! 2 n

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

sin (2x)

sin (3x)

∞

(x −1 )n

∞

(−1) n ( n 3 +1)

а)

sin x +

+...;

б) ∑

;

в) ∑

2 3

3 3

n=1

5 n

n=1

3 n (x − 2)n

8. а) Разложить функцию

f (x)

в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при

x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x)

в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = tg x ;

x0 = 0 ;

б) f (x) = sin x − x cos x .

y'' + x y' + y = x2 ; y(0) = 0 ; y ' (0) = 0 .

а)	−x,		−π < x ≤ 0		;	б)	f (x) =1+ x ; x (0; π ] (по косинусам).
	f (x) =	0,	0 < x ≤ π

11. а)	−1,		− 4 < x ≤ 0		;	б)	f (x) = ex ; x (0; 1 ] (по синусам).
	f (x) =	x,	0 < x ≤	4

235

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 19

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	(−1)n		∞	3 n
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑		;	б) ∑		.
	( 2 n −1)2
n=1			n=1	n +1

Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

а) ∑

;

б) ∑

n=1

5 n

n=1

( n +1) ( n + 2 )

Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞

а) ∑

;

б) ∑ n +1 .

n=1

2 n

n=1

Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞

а)

∑

;

б)

n! sin

n=1

3n +1

n=1

2 n

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	n		∞	1
а) ∑		;	б) ∑		.
	n + 2			3 ( n +1)4
n=1			n=1

∞

(−1 )n n

а)

−

+...;

б) ∑

2 2 2

4 2 4

2 n

n=1

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

(x −1)2

(x −1)3

∞

(−1) n n +1

а) (x −1)+

+...;

б) ∑

;

в) ∑

n .

(x +3)

n=1

8. а) Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = ln x ;

x0 = 2 ;

б) f (x) = e x −cos x .

y' = x + y ; y(0) =1; y ' (0) =1.

а)	f (x) = 2x −1;		x (−π; π ];		б)	f (x) = x +5 ;	x (0; π ) (по синусам).
11. а)	x +1,		−1 < x ≤ 0	;	б)	f (x) = 2 − x ;	x (0; 2 ] (по косинусам).
	f (x) =	1,	0 < x ≤1

236

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 20

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	n +11		∞	1
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑		;	б) ∑		.
	n + 4			n ln n
n=1			n=1

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞	3 n + 2 n		∞	1
а) ∑		;	б) ∑		.
	6 n			( n +1) ( n +3)
n=1			n=1

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞	2	n		∞	π
а) ∑			;


	n +1			б) ∑ sin		.
n=1				n=1	5 n

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞			n!		∞	1 4 7 ... (3n − 2 )
а) ∑				;	б) ∑			.
	3	n	( n +1)!			2	n+1
n=1					n=1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	1			∞	n2	+1
а) ∑			;	б) ∑			.
	2				2	+3
n=2	n ln	n		n=1	n

∞

(−1 )n

а)

−

+...;

б) ∑

n=1

n 3 ( n +1)

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

∞ (−1)n (x +1)2 n 4 n

∞

∑

а)

+... ;

б)

;

в)

3 n sin

n=1

2 n

8. а) Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора (при x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) =cos(x / 2 ); x0 = π / 2 ;

б) f (x) = e 2 x −cos(2 x ).

y'' + y cos x = 0 ; y(0) = 3 ; y ' (0) = 0 .

а)	f (x) = x +7 ;		x (−π; π ];		б)	f (x) = e x ; x (0; π ] (по косинусам).
11. а)		−1,	−1 < x ≤ 0	;	б)	f (x) = 2 − x ; x (0; 2 ] (по синусам).
	f (x) =	+3 x,	0 < x ≤1
	1

237

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 21

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞

ходимого признака сходимости ряда: а) ∑

;

б) ∑

n=1 n 2 +

n=1

ln n

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

( −1) n

∞

а) ∑

;

б) ∑

3 n

( n + 2 ) ( n +3)

n=1

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞

(n + 2 )

а) ∑ sin

;

б) ∑

n=1

3 n

n=1

n + 2

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞

5 n ( 2 n +1)

∞

1 3 5 ... ( 2n +1)

а) ∑

;

б) ∑

n=1

3n −1

n=1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞		n 2			∞	arctg (2 n )
а) ∑				;	б) ∑					.
	n	3				4 n	2	+	1
n=1			+1		n=1

∞

(−1 )n 2 n

а)

−

−... ;

б) ∑

2 n −1

n=1

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

∞

(−1)n (n 2 +1 )

∞

а)

+... ;

б) ∑

;

в) ∑ n! ( x +3) n .

1 2

2 3

3 4

4 5

n=1

5 n (x + 4 )n

n=1

8. а) Разложить функцию f (x)

в ряд Тейлора (при x0

≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = x ;

x0 = 4 ;

б) f (x) = x ln(10 + x ) .

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y' = y 2 − x ; y(0) =1. 10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а)	f (x) =	π,	−π < x ≤ 0	;	б)	f (x) = x +π ; x (0; π ] (по синусам).
		π −x,	0 < x ≤ π
11. а)	f (x) = x + 2 ;		x (− 2; 2 ];		б)	f (x) = x ; x (0; 1 ] (по косинусам).

238

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 22

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	n 2		∞	4
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑		;	б) ∑		.
	n +1			ln n
n=1			n=1

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞	1		∞	1
а) ∑		;	б) ∑		.
	5 n			( n + 4 ) ( n +5)
n=1			n=1

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞	1		∞	n!
а) ∑		;	б) ∑		.
	3 22 n−1			n +5
n=1			n=1

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞	3 2 n+1		∞	(3n + 2 )!
а) ∑		;	б) ∑		.
	2 3 n−1 n
n=1			n=1	10 n +1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞		n 3		∞	1
а) ∑			;	б) ∑		.
	n	4			n 2 + n
n=1		+5		n=1

∞

(−1 )n

а) 2 −

−

+...;

б) ∑

n=1

n 3 + 2

Найти область сходимости функциональных рядов:

∞

(−1)n−1 x n

∞

( x − 2 ) n

а) x +

+...;

б) ∑

;

в) ∑

n ( 2 n −1)

n=1

а) Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора (при x0

≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x)	в ряд Маклорена, используя
стандартные разложения: а) f (x) = e x ; x0 = −2 ;	б) f (x) = e 3 x − 2 + cos(3 x ).

y'' = x sin y ' ; y(1) = 0 ; y ' (1) = π .

а)	x,	−π < x ≤ 0	;	б)	f (x) =π − x ; x (0; π ] (по косинусам).
	f (x) =	0 < x ≤ π
	1,				f (x) = 2 x ; x (0; 2 ] (по синусам).
11. а)	f (x) =1− x ;	x (−1; 1 ];		б)

239

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 5224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.2019186.37 Кб2Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
01.05.2019762.37 Кб10Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199.2 Кб29mikroekon (1).docx
#
04.05.20192.69 Mб3MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20192.94 Mб18mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc
#
13.04.201514.02 Mб274MI_T2TerekhovSV.pdf
#
09.11.2018700.93 Кб7mk_1_1.doc
#
09.11.2018226.82 Кб2mk_1_2.doc
#
20.08.201962.98 Кб12MK_2.doc
#
04.09.2019129.54 Кб4MK_Krayinoznavstvo_2011.doc
#
26.04.2019134.14 Кб5model_pedagoga_2.doc