MI_T2TerekhovSV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

в) lim x ln 1

.pdf

Скачиваний:

274

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 13

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x3 +5x ; б) f (x) = cos (2x +3);

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = e (x 2 )+ 3 3 − 2x ; б) y = ln 3 x −1 + arcsin 3 ;

x xx2 − sin(3x )+ 12 ln

в) y = (ctg (2x))x3 ;	г) y =10−b2 t + 4 log3 (t 2 −1 );
д) y = arcctg 4 (π 3 − x2 );	е) ye x +5 = xy ;				2	t .
д) y = arcctg 4 (π 3 − x2 );	е) ye x +5 = xy ;	ж) y = cos				t .
			x = t	2
			x = t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = cos 2x +sin x, x0 = π ;	б) x = cos 2t +1	;	в) 6 x2 + y 2 = 4 − y .
	y = sin 2t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y 2 = (4 + x)3 , x0 = −4 ;		2 t	, t0 = 0 .
ра: а) y 2 = (4 + x)3 , x0 = −4 ;	б) x = e	3 t	, t0 = 0 .
		3 t
	y = e

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

tg (5x)

;

б) lim

ln(9 − 2x2 )

;

x→π tg (3x)

x→2

sin(2π x)

tg x

г) lim

− ctgx

;

д) lim

x→0 sin x

x→0 x

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 3xx+−12 .

130

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 14

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 5x2 − x +1; б) f (x) = 5cos (3x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = sin

+3x +1)+

;

б) y =

+ cos (2x)

− x

;

+ 7

−cos (2x)

в) y = (3 − x)3 x ;

г) y = 3 x 2 − 4x e x 3 + 1 ;

− 2t

1 − x

y = t −1

д) y = arcsin

;

ж)

е)tg

1 + x

x = tg

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = 2x3 −5 x , x		= 0 ;	x = arctg t			;	в) x2 + 2x + y 2 −8 y + 3 = 0 .
	0		б)		2
				+t		)
			y = ln (1

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y 2 = 4 − x, y0	= −2 ; б) x = cos t ,	t0	=	π .
	y = sin t			4

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln(x +1)

;

б) lim

sin (5x)

;

x→∞

x→π

tg (3x)

г) lim

;

д) lim

(ctg x)

ln x

−

x→0 sin x

x→0

		1
в) lim tg x ln			;
в) lim tg x ln			;
	x
x→0	x

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x −x 4 .

131

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 15

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 4x + 5 ; б) f (x) =10 ln (2x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = ln			1					−
а) y = ln			1			+10		−

	x +		x2 −1
			x
		ln
		ln
в) y = (4 −8x)			2		;
д) y = arctg				x			;
д) y = arctg				x			;
			1 − x2
			1 − x2

x ; б) y = cos2	x		+	sin (5x)	;

		5		1
		5		1
			1	−cos
			1	−cos
				x

г) y = e− 3x cos ec2 (6x);

е) x2 y + x y 2 + y3 = 0 .	y = t 3		+ t	.
е) x2 y + x y 2 + y3 = 0 .	ж)		2	.
		x = e	t
		x = e

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = 2 x + x2 , x0 = 0 ;		t		;	в) x2 −8x + y 2 − 2 y = 0 .
а) y = 2 x + x2 , x0 = 0 ;	б) x = e		+1	;	в) x2 −8x + y 2 − 2 y = 0 .
		3 t
	y = e

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y 2 = 4 − x, x0 = 2 ;	x = 2t −1			, t 0	=1.
	б)		2
		− 4 t
	y =1

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim			3x2 + x		;
а) lim					;
x→∞ e3x +1

г) lim				1		;
		tgx −		1
		tgx −			π
x→	π			x −	π
x→	2			x −	2
	2				2

б) lim	1 − x2	;	в) lim (sin x ln x);

x→1 sin (π x)			x→0

д) lim tg π4x tg π2x . x→1

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 44+xx .

132

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 16

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x2 − 2x + 7 ; б) f (x) = ln (3x +1).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = 3	tg 4	(x2 +5x )	2	;	б) y =	4 1 − x2	3		;
			+ ln			2x +1	+sin	x

			x

в) y = (x2 +1)

2x +1 ;

г) y = 3

cos (7 x)e9 − x 3

;

arcctg(t

−π

)

x = arccos

1 +t

д) y =

;

е) y

− 2xy +b

= 0

;

ж)

π +t

y = arcsin

1 +t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = cos 2x +sin x, x0 = π ;		2 t
а) y = cos 2x +sin x, x0 = π ;	б) x = e	5 t
		5 t
	y = e

;	в)	x	+ y = 2 .
+3		y

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = 4x − x2 , x0 = 4 ;		3	, t0 =1.
	б) x = t	2
			− 2
	y = t

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

tg x + 3

;

б) lim

eπ − e x

;

x→π tg (3x)

x→π sin (5x)−sin (3x)

г)

;

д) lim x1 − x .

lim ctgx −

x→0

x→1

	1
в) lim		ln (e x + x)	;

x →0 x

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x −8 4 .

133

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 17

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x)= x x+1 ; б) f (x) = ln(3x +1).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y =5

1 − 2x

;

б) y = 1 +

1 + x2

;

+ 7

+ ln

в) y = (x 2 + 5x)sin x(

x );

г) y = tg 3 (2x)cos2 (3x);

a t

−1

x =

arcctg

;

е) e y sin x = e− x cos y ;

ж)

1 +t

д) y = 4

3 a t

y =

+t 2

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = (1 + x2 )arcctgx, x0	=	π	;	б) x = ln t	;	в) 2 x + 2 y = y ln 2 .
		4		y = t 2	+1

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

			x = t 2
ра: а) y = 4x − x2 , x	0	= 0 ;	б)		3		, t	0	= 3 .
	0		y =	t		−t		0
			y =		3	−t
					3

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

2cos

2 x −1

π x

а) lim

;

б)

lim

;

в) lim

(1 − x2 )tg

;

ln (sin x)

x→∞

x→1

x → 2

;

д)

lim x 2 x .

г) lim

−

3x−1

x→1 2x −

−1

x→0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx−2 9 .

134

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 18

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x)= x −1 2 ; б) f (x) = 2 ln (7x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = 2 − x2 + x + e− x + 1;


	3π 2	+t 2
д) y = arcctg 3	3π 2	+t 2	;
д) y = arcctg 3		π	;
		π
cos
		8


б) y =	sin 3 x		+ ln	1 −8x		;

	1 + 2 x				3
г) y =10		x + 2 x 2			10		;
				cos

					x
е) x y = y x ;					ж) x = a (cos t −sin t).
					y = a (sin t + cos t)

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = arcctg (5x +1), x0 = 0 ;		2	;	в) 3 y − xy = 5 .
а) y = arcctg (5x +1), x0 = 0 ;	б) x = t		;	в) 3 y − xy = 5 .

	y = ln t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y x = 4, x0 = −4 ;		3					π .
ра: а) y x = 4, x0 = −4 ;	б) x = cos	3	t	,	t0	=	π .
		3	t				4
	y = sin		t

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln 2 x

;

б) lim

(cos (2x))

;

в) lim ((π − 2x )tgx );

(cos (4x))

x→∞

x→π ln

x→

г) lim

−

;

д) lim 1

2 x − 1

x→∞

x→1 x −1

−1

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x + 2x .

135

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 19

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x)= x +5 4 ; б) f (x) = 5cos (3x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а)

1 − x

;

б)

tg ( x )

;

y = ln

− x

+ x

+ 2

y =

+ ctg

3 − x2

в)

y = (x 2 +5 x )ln (x 3 );

г)

y = eln (t 2 )3 cos (8t);

x 2

;

е)

y tgx −ctg(x − y)= 0 ;

д) y = arcsin e

ж)		2	t .
ж)	x = sin		t .

	y = cos (2t )

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

	π			3	t
а) y = ctg (2x)+ tg (2x), x0 =		;	x =			;	в) e x + e y = e x + y .
	6		б)		3
						+1
			y = t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) yx = 4 , x0 =1 ;

б) x = t cos t

, t 0

= π .

y = t sin t

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

3x2

;

б) lim

ln (sin x)

;

в) lim (arcsin (1 − x)ctg (1 − x));

(2 x −π )2

x→∞ e7x

x→π

x→1

г)

−

;

д) lim (sin (2x))tg x .

lim

x 2 − 4

x→−2 x + 2

x→0

Провести полное

исследование и построить график функции

f (x) =

x + 3

x + 5

136

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 20

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: a) f (x)= x +x 2 ; б) f (x) = 2sin (5x).

2.Продифференцировать указанные функции.

	5		x	3		2		1	−	3			2	3 − x 2
а) y =	5	1 + e	x		+tg	2	(3x); б) y = ln	1	−		x		2	;
а) y =		1 + e			+tg		(3x); б) y = ln	1	+	3		+	3	;
								1	+		x		3

в) y = (ctg (5x))

x 2

;

г) y = a

10 −

;

13 −12 t e

2 x

2 x + y

= 2t +t

1 − e

;

е) xy = e

;

ж)

д) y = ln arcsin

= t

−t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = (x 2 +1)e3 x , x 0	= 0 ; б) x = cos (3t)	;	в) 3 x + 3 y = y .
	y = sin (3t )

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = sin x, x 0 = π ;	б) x = t −sin t	,	t 0	=	π .
	y =1 −cos t				4

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim		tg (5x)		;
а) lim				;
x→π tgx + 2
2

			1		1
г) lim			1	−	1			;
г) lim			2	−		x		;
x→0	sin x				4 sin 2	x

							2
							2

б) lim	3 5x − 2 x	;	в) lim (ln x ln(x −1));
	x −sin (9x)
x→0			x→1

д) lim (tg (3x))sin x . x→0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx −−34 .

137

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 21

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 3x2 + x −1; б) f (x) = cos (x / 2).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = (3 −5 x )3 + tg ( x );

в) y = (arcctg (3x))x + 4 ;

д) y = 3 (arccos (t 3 −π 4 ))4 ;

	2x + 4				3		;
б) y = ln cos			+ cos				;
		x +1			x
		x +1			x
г) y = e9 − 5x		sec2	6x	;


			7
е)sin y = x y 2 ;				x =	t			.
е)sin y = x y 2 ;			ж)			t 2		.
				y = 3		t 2		−t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

a) y =

ln (x − 2)

, x

=1;

б) x = cos (2t)

, t

;

в) x

+ y = 2 .

x + 2

y = 5sin (2t)

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y =	8	, x 0 = 2 ;	б) x = 3cos t	,	t0	=	π .
	+ x 2
4			y = 2 sin t				4

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

(x +1)2

;

б) lim

2 x − 7

−2 x

;

в) lim (x ln x);

e 3x

sin (3x)− 2x

x→∞

x→0

sin x

г) lim

tg x

−

;

д) lim

x→−2 x2

x→0 x

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx +−12 .

138

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 22

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x3 + 2x +3 ; б) f (x) = ln (5x +1).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = 3

2 − x 6 + ln (1 − x );

б) y =

e sin 2 x

+ 4

1 − 2x ;

tg (3x 2 )

1 +tg (2x)

cos (t / 6);

;

г) y = 8

3 − 2t

в) y = ctg

a (1 −t 2 )

− a

y =

1 +t 2 .

;

е) cos(x y)= tg(x + y);

ж)

д) y = arcsin

+ a

2at

x =

1 +t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

a) y = (4x +1)sin x, x0 = 0 ;	x = ctg t		;	в) ln x + y 3 = 3xy 2 .
	б)	2
			t
	y = sin

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y 2 = x3 , x0 =1 ;			2 t
ра: а) y 2 = x3 , x0 =1 ;	б) x =1	−e	, t 0 = 0 .
		t
	y = e

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln (sin x )+1

;

б) lim

4 x − 2 7 x

;

в) lim (arcsin x ctgx );

ln (sin (3x))

− x

x→∞

x→0 tg (3x)

x→0

cos x

г) lim

−

;

д) lim

x→0 x

x→∞ x +1

6. Провести полное

исследование и

построить график функции

f (x) =

x −5

139

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.2019186.37 Кб2Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
01.05.2019762.37 Кб10Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199.2 Кб29mikroekon (1).docx
#
04.05.20192.69 Mб3MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20192.94 Mб18mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc
#
13.04.201514.02 Mб274MI_T2TerekhovSV.pdf
#
09.11.2018700.93 Кб7mk_1_1.doc
#
09.11.2018226.82 Кб2mk_1_2.doc
#
20.08.201962.98 Кб12MK_2.doc
#
04.09.2019129.54 Кб4MK_Krayinoznavstvo_2011.doc
#
26.04.2019134.14 Кб5model_pedagoga_2.doc