MI_T2TerekhovSV

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 1

Даны четыре точки A (0; 1; 2 ), B(−1; 0; 1 ), C (1; −1; −1 ) и D (2; 0; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

30

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 2

Даны четыре точки A (2; 0; 1 ), B (−1; 1; 0 ), C (0; −1; − 2 ) и D (1; 1; 0 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

31

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 3

Даны четыре точки A (1; 2; 0 ) , B (0; 1; 1 ), C (0; 1; 2 ) и D (0; 1; −1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

32

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 4

Даны четыре точки A (−1;0; 2 ), B (1; − 2; 0 ), C (1; −1; 0 ) и D (0; 1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

33

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 5

Даны четыре точки A (0; 2; −1 ), B (0; 1; −1 ), C (−1; 0; 1 ) и D (−1; 0; 2 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

34

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 6

Даны четыре точки A (2; −1; 0 ), B (1; 1; 0 ), C (−1; 2; 0 ) и D (1; −1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

35

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 7

Даны четыре точки A (1; 1; 0 ), B (2; −1; 0 ), C (0; 1; −1 ) и D (0; 1; − 2 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

36

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 8

Даны четыре точки A (0; 1; 1 ), B (1; −1; 0 ), C (1; 0; 2 ) и D (−1; −1; 0 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

37

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 9

Даны четыре точки A (−1; 1; 0 ), B (−1; −1; 1 ), C (0; −1; 1 ) и D (1; 0; 2 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

38

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 10

Даны четыре точки A(−1; 0; 1 ), B (1; −1; − 2 ), C (1; −1; 0 ) и D (1; 0; −1):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

39