MI_T2TerekhovSV
.pdfТерехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 18
Вычислить неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|||||
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
|||||||||
а) ∫ |
(1 + |
|
x )3 |
|
7 |
|
|
||
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
x |
|
б) ∫ 12 ctg x − |
sin |
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) ∫e5x −4 dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
sin x |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
3 + 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
2 dx . |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 −3cos x |
|
4 |
− x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ (2 + x )7 x dx ; |
б) ∫(7x −10 )sin (5x)dx ; |
в) ∫ arctg (9x )dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
|
д) ∫x tg 2 x dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
4 −3x |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
2x +8 |
dx . |
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
− 4x + |
5 |
x2 + 2x + 9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
2x3 + 25 |
|
dx ; |
б) ∫ |
x + 2 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
(x −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 5 x cos3 x dx ; |
б) ∫cos6 (2x)dx ; |
|
в) ∫tg 4 (3x )dx ; |
||||||||||||||||||||
|
г) ∫cos ec4 (3x + 2)dx ; |
д) ∫ |
dx |
|
|
|
; |
|
е) ∫sin (5x)cos (3x)dx ; |
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ dx .
2 sin x + cos x
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫x +x2 dx ; |
б) ∫ |
x |
dx2 |
; |
в) ∫ |
x4dx |
3 |
; |
г) ∫ |
|
|
x |
−16 |
|
(1 − x2 ) |
|
|
|
|
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫x−2 ln x dx ; |
|
|
|
б) ∫cos5 x dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
г) ∫cos (2x)cos (3x)dx ; |
|
|
д) ∫2 5x dx ; |
|
|
|
е) ∫ |
x2 dx . |
|
|
x2 +9 |
|
|
1 − 4x2 dx ; |
|
|
1 − x |
dx ; |
|
5 − 4x − x2 |
||
|
|
|
x3 |
+3 |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
2 |
||
ж) |
|
|
|
dx ; |
з) |
|
sin |
|
|
−cos |
|
|
dx . |
|
∫x3 − x2 − 2x |
∫ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
160
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 19
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
− |
4 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
x3 |
11ctg x + |
+ x |
2 dx . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫cos (3x −1 )dx ; |
б) ∫ |
|
|
e2x |
dx ; |
|
|
|
|
в) ∫ |
5x − 2 |
dx . |
||||||||||||
|
1 |
2x |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3e |
|
|
|
|
|
|
4 + x |
|||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) ∫(2x +1 )e7 x dx ; |
б) ∫(2 −3x)sin (4x )dx ; |
в) ∫ arccos(5x )dx ; |
||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
|
x ln x dx ; |
|
д) ∫x cos 2 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
3x − 2 |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
4 −9x |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
2x2 − 6x +15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− 2x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
5x3 −3 |
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
x2 −1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
||||||||||
|
x |
3 |
−8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2 ) (x −3 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
а)
г)
ж)
∫
∫
∫
sin 2 x cos5 x dx ; |
б) ∫cos4 (2x −1 )dx ; |
в) ∫tg 5 (9x )dx ; |
|||
cos ec6 x dx ; |
д) ∫sin(2x +1)cos(3x −1)dx; |
е) ∫ |
dx |
|
; |
3 |
|||||
|
|
|
cos (6x) |
|
dx .
3sin x + 2 cos x
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫ |
dx |
; б) ∫ |
9 + x2 |
dx ; в) ∫ |
x4 dx |
; г) ∫ |
x2 |
− 225 dx |
. |
|||||||||
x +1 + (x +1 )3 |
(4x2 −1) |
1 − 4x2 |
|
|
x |
|||||||||||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) ∫arccos x dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
x + 2 |
|
dx ; |
|
в) ∫ |
x2 −2 |
9 dx ; |
|
||||||
|
|
9x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
г) ∫arcsin2 x +1 dx ; |
|
|
|
− 6x +13 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
д) ∫sin 4 (2x)cos2 (2x)dx ; |
|
е) ∫ |
|
x |
|
dx ; |
|
||||||||||
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|||
ж) ∫ |
dx |
|
; |
|
з) ∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 20
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
cos (2x ) |
dx ; |
|
б) ∫ |
7 |
x +5 6 x |
5 dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
5 x3 +8 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫95x −7 dx ; |
|
|
|
|
б) ∫ |
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
в) ∫ |
dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 −5x |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 + x |
|
|
||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫(7x + 3 )5x dx ; |
|
б) ∫(8 −3x )cos (5x)dx ; |
|
в) ∫(2x +1 )arctg x dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
|
д) ∫ |
x cos |
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
3x − 25 |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
4 − 7x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4x |
2 |
|
|
5 |
+ 4x − x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−10x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|
б) ∫ |
|
2x +17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
(x2 +1 )(x −1 )2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 3 (8x )cos2 (8x )dx ; |
б) ∫sin 6 (2x +3 )dx ; |
|
в) ∫ctg 7 x dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫cos ec4 (6x )dx ; |
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
; |
|
|
е) ∫sin (5x)sin (7x)dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4x −7 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5sin x + 3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫3 |
x |
dx |
; |
|
|
б) ∫ |
(4 + x2 )3 dx ; |
|
|
в) ∫ |
x2 dx |
; |
г) ∫ 16x2 −1 dx . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
а) ∫tg 3 (2x)dx ; |
|
|
|
|
б) ∫x2 3x dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
2x |
|
dx ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 +1 |
||
|
г) ∫arctgx dx ; |
|
|
|
|
д) ∫ |
|
5 − 2sin3 x |
dx ; |
|
е) ∫sec4 (3x)dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
з) ∫ |
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(1 + x2 )3 |
; |
|
|
x2 (x2 +1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
162
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 21
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
||||||||||
|
(3 + 2x2 |
)2 |
|
|
|
12 |
|
|
||
а) ∫ |
|
|
|
dx ; |
б) ∫ 1 |
−7 sin x + |
|
|
|
dx . |
x |
3 |
|
5sin |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x3 −7x dx . |
||||||
|
а) ∫x−2 9 |
x |
dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
+ 5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 − x2 |
|
||||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ arcsin x dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫x2 7 x −1 dx ; |
|
|
|
б) ∫(7 −6x )cos (3x )dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ln (x2 +1 )dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|||||||||||||
|
|
|
д) ∫e x cos (2 −3x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
11x +15 |
|
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
12 −17 x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
7 − 2x − x |
|
|
|
|
|
|
x2 −8x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
x3 −5x2 +3x |
|
|
|
б) ∫ |
|
23x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(x3 +1 ) |
dx |
; |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
(x − 4 )2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin8 x cos3 x dx ; |
|
|
б) ∫cos6 (3 −5x )dx ; |
|
|
|
|
|
в) ∫tg 5 (1 − x )dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫cos ec4 (x + 7 )dx ; |
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫sin (7x)sin (3x)dx ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 − 4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 2 sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
33 x − 4 dx ; |
|
б) ∫ |
x |
2 |
|
dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
|
x |
2 |
dx |
; |
г) ∫ |
x2 − 400 dx |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
(1 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +9x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 dx |
|
||||||||||||||
|
а) ∫ 3 x3 −8 x2 dx ; |
|
|
б) ∫sin 4 (3x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫arctg ( 8x −1)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16 − x2 )3 |
|
||||||||||||||
|
|
д) ∫ |
|
|
3x + 2 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
е) ∫ |
2x +1 |
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4x |
|
||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
з) ∫ |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
sin |
3 |
(5x) |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
163
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 22
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
5 −9x |
|
|
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
а) ∫ |
dx ; |
б) ∫ |
3x −1 |
− |
2 + |
|
|
dx . |
|||
3 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
x |
|
|
|
7 (1 + x ) |
x |
−5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
в) ∫6 sin x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫x e3−2x 2 |
dx ; |
|
б) ∫ |
|
7 3 −8x dx ; |
|
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) ∫(x + 6 )5−x dx ; |
|
б) ∫(3x − 2 )cos (2x )dx ; |
|
|
в) ∫4 arccos (5x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ln 2 x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
3x − 7 |
|
|
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
2 − 7x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 −16x − x |
2 |
|
|
x2 −8x + 25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x + 2 )2 |
(x2 +16 )dx ; |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x3 + 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 2 (1 − x)cos 4 (1 − x )dx ; |
|
|
б) ∫cos5 x dx ; |
|
|
в) ∫ctg 4 (7x )dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫cos ec4 |
x |
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫cos (8x)cos (3x)dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
cos x dx |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 +sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
7 x +1 +3 |
dx ; б) |
∫x2 (1 + x2 ) |
5 |
dx ; в) ∫ |
x2 dx |
; г) ∫ |
4x2 |
−1 dx |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
(x + |
1) |
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
−9x2 |
5x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ |
|
x − 2 |
dx ; |
б) ∫(3x + 4)e3x dx ; |
|
|
|
в) ∫tg 3 (4x)dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 −12x − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
г) ∫x2 |
4 − x2 dx ; |
|
д) ∫sin (3x)sin (5x)dx ; |
|
|
е) ∫ln (x +3)dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
(1 − 2 |
|
x ) |
2 |
dx ; |
|
з) ∫ |
x −arccos x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 23
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
10x |
8 |
−11x |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) ∫ |
|
|
|
dx ; |
б) ∫ |
5tg x − |
|
|
|
dx . |
|
x |
4 |
7 cos |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
x (1 − 2x2 ) |
|
|||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
7 |
|
dx ; |
|
б) ∫ |
6 |
|
dx ; |
|
в) ∫ |
dx . |
||||||||
|
5 |
−3x |
|
7x + |
|
|
16 |
+ x |
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫(3x −1 )2 x dx ; |
б) ∫(9 −5x)sin (2x )dx ; |
в) ∫ arccos(8x )dx ; |
||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
|
ln (x + 2 ) |
dx ; |
д) ∫x tg 2 (3x )dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(x + 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
7x −15 |
dx ; |
б) ∫ |
12x −1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
9 − 6x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4x |
− 2x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
3x2 +5 |
|
б) ∫ |
7x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx ; |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x2 −1)2 |
|
x3 −64 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
а)
г)
ж)
∫
∫
∫
sin 2 (3x )cos 4 (3x )dx ; |
б) ∫sin 5 x dx ; |
|
в) ∫ctg 4 (2x −1 )dx ; |
||||
cos ec4 (5x )dx ; |
д) ∫ |
|
dx |
|
|
; |
е) ∫sin (4x)sin (3x)dx ; |
cos |
3 |
+ x) |
|||||
|
|
(1 |
|
|
dx .
2 + 3cos x + 4 sin x
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫3 |
15 |
|
x |
x |
dx ; |
б) ∫ |
1 −121x2 dx ; в) ∫ |
dx |
; |
г) ∫x2 9x2 −1 dx . |
||||||
|
|
x − |
|
|
|
|
|
(4 + x2 )3 |
|
|
|
|
||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) ∫ |
x5 −12x3 + 7 |
dx ; |
б) ∫sin 5 x cos2 x dx ; |
|
в) ∫e5x dx ; |
|||||||||||
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||
г) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
д) ∫sec4 (2x)dx ; |
|
|
е) ∫ |
; |
||
x |
2 |
|
|
9 + x |
2 |
|
|
|
|
2 + cos x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) ∫(2x −5)cos(4x)dx ; |
з) ∫11x − 2 dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
165
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 24
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
|
|
7 x2 − 2x + |
|
|
dx ; |
б) |
∫ |
|
5 cos x −e x |
+ |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫5x 4−x 2 dx ; |
|
|
|
|
б) ∫ |
4 arccos3 (3x )−7x dx ; |
|
|
|
|
в) ∫ |
4x −1dx . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsinx dx ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫(8x + 9 )8−x dx ; |
б) ∫(7 − x)sin (9x )dx ; |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln (3x + 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x |
|
|
||||||
|
г) ∫ |
|
dx ; |
д) ∫e−x sin x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(3x + 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
6x + 7 |
|
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
9 −10x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
15 −6x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
− 4x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
7x4 −5x + 2 |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
3x −5 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x + x − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 3 (7x )cos5 (7x )dx ; |
б) ∫sin 6 (5x)dx ; |
|
|
|
|
|
в) ∫tg 3 (3x − 4)dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫sec4 (2x )dx ; |
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
е) ∫cos(9x)cos(11x)dx; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x −5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ж) ∫ |
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 + 5sin x + 2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
)3 |
|
|
|
|
9x2 −1 dx |
|
|
||||||||||
|
а) ∫3 2x +1 − 2x +1 dx ; б) ∫x2 |
|
9 − x2 dx ; в) ∫ (1 +16x2 |
; г) ∫ |
|
3x2 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
б) ∫3arcsin4 x +9x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ctg 4 (5x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
|
4 −3x |
|
dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
−6x + x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
г) ∫sin 3 (3x )cos2 (3x )dx ; |
д) ∫(5tg x +3ctg x)dx ; |
|
|
|
е) ∫ |
5x3 − 2x2 +9 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x (x +1 )(x −3 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫(4x + 7 )cos (2x )dx ; |
з) ∫ |
|
|
x2 −16 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 25
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
1 −sin |
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) ∫ |
dx ; |
|
б) ∫ 5sin x + |
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫2 5x dx ; |
|
|
|
|
|
|
б) ∫3 |
x2 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
в) ∫x − arccos x dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
а) ∫(5 − 6x)e2x dx ; |
|
|
б) |
∫(4x − 2)cos (3x)dx ; |
в) ∫7x arctg (5x )dx ; |
|||||||||||||||||||
|
г) ∫ln (x2 + 4)dx ; |
|
|
д) |
∫e x sin (6x)dx . |
|
|||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
x +11 |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
3x + 4 |
dx . |
|||||||||
|
7 |
− 6x − 2x |
2 |
|
|
|
|
2x2 − 6x +1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
x2 + |
9x −12 |
|
|
|
|
б) ∫ |
5x −8 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||||
|
(x −5) |
2 |
(x |
2 |
+9) |
|
|
|
x |
4 |
− x |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 3 (2x )cos4 (2x )dx ; |
б) |
∫cos6 (8x)dx ; |
|
|
в) ∫tg 4 (3x )dx ; |
|||||||||||||||||||
|
г) ∫cos ec6 x dx ; |
|
|
д) |
∫ |
|
dx |
|
|
|
; |
|
е) ∫sin (7x)sin (3x)dx ; |
||||||||||||
|
|
|
cos |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4x −7 ) |
|
|
|
ж) ∫ cos x dx .
2 +sin x + cos x
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫3 |
15 x |
dx ; б) |
∫ |
|
x − |
x |
|
8.Разные интегралы
а) ∫x e3−2x 2 dx ;
г) ∫3 |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
x + 4 |
x |
|
ж) ∫ |
|
|
x3 + |
3 |
dx ; |
x |
3 |
2 |
− 2x |
||
|
|
− x |
|
4 − x |
2 dx ; в) ∫ |
|
dx |
; г) ∫ |
|
dx |
. |
|
|
||
|
|
|
(1 + x2 )3 |
|
x x2 −9 |
|
|
||||
б) |
∫ |
dx |
|
; |
|
в) |
∫ |
|
cos x dx |
|
; |
(1 +16x2 |
)3 |
|
|
||||||||
|
2 +sin x + cos x |
||||||||||
д) |
∫(3x − 2 )cos (2x )dx ; |
|
е) |
∫ |
2 − 7x |
dx ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −8x + 25 |
|
|
з) |
∫ |
1 − 4x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
167
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 1
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫e x dx ; |
∫x dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫4 (x2 + x −5 )dx .
1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = cos x ; |
|
π |
; |
π |
|
x |
4 |
3 |
. |
||
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы:
1 |
3 |
|
|
dx |
|
1 |
4 |
dx . |
а) ∫x3 dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫x 4 x dx ; |
г) ∫ |
||
|
2 |
− 2x −8 |
||||||
0 |
2 x |
|
|
0 |
0 |
x + 5 |
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = 4 − x2 ; y = 0 ; б) y = x2 9 − x2 ; y = 0 ; x [0; 3 ]; в) ρ =1 −sin ϕ ; ρ =1.
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = e x ; y = 0 ; x = 0 ; x =1; |
б) x2 − y 2 = 4 ; y = ±2 . |
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
|
−t |
3 |
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии x = 3t |
. |
|
|
2 |
|
y = 3t |
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии y 2 = 4x ; x [0; 1 ]; (Ox ) .
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
|
|
|
|
|
|
π |
|
∞ |
(x2 +1 )dx ; |
∞ |
|
dx |
|
2 |
1 |
а) ∫ |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ctgx dx ; |
г) ∫ln x dx . |
||
x |
3 |
||||||
−∞ |
0 |
+1 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
168
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 2
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше |
2∫(x2 +1 )dx ; |
∫2 x dx . |
|
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
2
чение интеграла ∫e x 2 dx .
0
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin x ; |
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
6 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Вычислить указанные интегралы: |
π |
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
2 |
|
|
|
dx |
|
2 |
1 |
dx |
|
|
|||
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫x cos x dx ; |
г) ∫ |
3 |
. |
|||||
|
2 |
|
2 +3x − 2x2 |
x + |
||||||||||||
|
1 |
1 + x |
|
3 |
|
|
π |
0 |
|
x |
||||||
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) x y = 4 ; y = 0 ; x =1; x = 4 ; |
б) y = x2 4 − x2 ; y = 0 ; x [0; 2 ]; |
в) ρ = cos (2ϕ ).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 ; |
б) x = 3(t −sin t ) |
; |
y ≥3 . |
|
y = 3(1 −cost ) |
|
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y =1 −ln (cos x );
x 0; π6 .
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
y = |
x3 |
; |
x [0; 1 ]; (Ox ). |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
x dx |
|
2 |
4 |
|
|
dx |
|
||
а) ∫ |
dx |
; |
б) ∫ |
arctg |
; |
в) ∫tgx dx ; |
г) ∫ |
|
|
. |
||||
|
2 |
+1 |
|
2 |
− 4x +3 |
|||||||||
1 |
x |
1 |
|
x |
|
0 |
2 x |
|
|
169