MI_T2TerekhovSV
.pdfТерехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 8
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 2 x y′+ y 2 =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y (4 + e x ) dy − e x dx = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
|
в) |
(1− x ) dy − y dx = 0 , |
y(0) =1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
x y′ |
|
|
|
|
|
+ y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y′ = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
в) |
(x2 −3y 2 ) dx + 2x y dy = 0 , |
y(2) = 4 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) |
x y′+ y = xsin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y′ctgx − y = 2 cos2 x ctg x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
d s |
|
|
|
|
|
1 |
= 0 , |
|
s (1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
− s − e t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение Бернулли: |
y′+ 4 x3 y = 4 y2 ex 4 (1 − x3 ) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) x y |
′′ |
− y |
′ |
|
2 |
e |
x |
; |
б) |
y |
′′ |
y |
5 |
+ 2 = 0 |
, |
|
|
|
|
′ |
=1; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= x |
|
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 4 y′′− y = ( x3 − 24x ) + e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y′′−5y′ = 2 ch (5x) ( |
chα = |
eα + e−α |
|
); |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y |
′′ |
|
|
|
|
′ |
= x +cos x |
; |
|
|
′ |
|
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 y |
y(0) = 0, y (0) = − |
9 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
x y |
′′ |
− y |
′ |
= x у |
2 |
e |
x |
, |
|
|
′ |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) =1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) y′′+ y = cosec x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
y′′+16y = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
y |
= 3, y′ |
= 2π . |
||||||||||||||||||||||||
|
sin 4x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = y − x |
; |
|
|
|
б) |
x& = x + 6 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y − 4x |
|
|
|
|
|
y = x −3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 9
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
а) |
dx |
+ |
|
|
dy |
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
б) 2 x dx − 2 y dy = x2 y dy − 2 x y 2 dx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
в) y′ = y cos x , |
|
|
|
y(0) =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
а) |
y |
′ |
= − |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
y |
+3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 y′ = |
|
|
+ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– линейные |
|
|
(x2 + y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 , y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) ( x2 −1) y′− x y = x3 − x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
y′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ x y = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
d s |
− |
|
|
|
2 s |
|
−1 −t = 0 , |
s (0) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 −t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
– уравнение Бернулли: 3 y′+ 2 x y = 2 x y −2e−2 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) y |
′′ |
|
′ |
2 |
; б) |
y |
′′′ |
(x −1) − y |
′′ |
= 0 , |
y(2) = 2 , |
′ |
|
|
, |
|
′′ |
=1; |
||||||||||||||||||
|
(1 + y ) = 5( y ) |
|
|
|
|
y (2) =1 |
y (2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) y′′− 4 y′+ 4 y = e3 x + x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
y′′+ 9 y = −36 sin(3x)−18 e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
y |
′′ |
+ 4y = 8cos (2x), |
|
|
|
|
|
|
′ |
= 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
− y |
′ |
= x |
2 |
|
+1, |
|
|
|
|
′ |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
||||||||||||||||||||||
а) y′′− 2 y′ = 4 x2 e2 x ; б) |
y′′+π 2 y = |
|
|
|
π |
2 |
|
|
, |
1 |
|
1 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
=1, |
y′ |
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||
|
sin(π x) |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 3x −5y |
; |
|
б) x& = x + 2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = 2x −3y |
|
|
|
y = 2x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 10
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
y −1 |
|
|
|
|
|
|
|||
а) y′ = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
б)(e x + 2) dy − y 2 e x dx = 0 ; |
|
||||||||||||
в) x dy − y dx = 0 , y(1) =1; |
|
||||||||||||
– однородные |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||
а) x y′ = y cos |
|
||||||||||||
ln |
|
; |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
б) x y′ = 4 x2 + y2 + y ; |
|
||||||||||||
в)( y 2 −3x2 ) dy + 2 x y dx = 0 , y(1) = 2 ; |
|||||||||||||
– линейные |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
+ y = ex |
|
|
|
|
|
||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
2 x y |
=1 + x2 ; |
|
|||||||
y′− |
|
||||||||||||
1 + x2 |
|
||||||||||||
в) |
d s |
+ s tg t |
= |
1 |
|
, s (0) =1 |
; |
||||||
d t |
cos t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение Бернулли: 2 x y′−3y = −( 5 x2 + 3) y3 .
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:
– допускающие понижение порядка
а) y |
′′ |
|
2 |
( |
′ |
) |
2 |
|
|
′′ |
|
y′ |
|
y′ |
|
1 |
|
′ |
|
|
|
|
||||||||
+ |
|
|
|
= 0 ; б) |
y |
− |
|
1 + ln |
|
|
|
= 0 , y(1) = |
|
, |
= e ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y′′+ 4 y′+ 4 y = 25sin x + e−2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y′′− 4 y′ =16 sh (4x) ( |
shα = |
eα −e−α |
|
); |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′ |
− y = 9 x e |
2 x |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 0, y (0) = −5 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
+9 y = sin(3x), |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||||||||||||||||
а) y′′+ 4 y′+ 4 y = e−2 x ln x ; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 4 . |
||||||||||||||||
|
|
y′′+ 4 y = 8 ctg (2x), y |
|
5, y′ |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) x& = x + y |
; |
|
|
б) |
x& = 2x + 7 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = y − x |
|
|
|
|
y = x − 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
202
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 11
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
а) ( x y 2 + x ) dx + ( y 2 − x2 y 2 ) dy = 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) ( 4 + e2 x ) y y′ = e 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
в) |
(1 + y 2 ) dx − x y dy = 0 , |
y(2) =1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
а) |
y′ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
+ tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
б) |
|
|
|
′ |
|
|
|
x2 + 2 x y − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y |
= 2x2 − 2 x y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
в) |
( x2 + y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 , |
y(4) = 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
а) |
y '−y ctg x = 2 xsin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
y′ |
− |
|
|
2 |
y = e |
x |
( x |
+1) |
2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
t |
|
d s |
|
−t 2 = 2s , |
|
s (1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– уравнение Бернулли: |
3 x y′+ 5y = ( 4 x −5) y 4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) y′′ = ( y′ )2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
б) |
y′′(1+ ln x ) + |
|
|
|
|
= |
2 + ln x , |
y(1) = |
2 , y′(1) =1; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
а) y′′− 7 y′+10 y = e2 x + x2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
y′′+ 2 y′+ 5y = 2sin x + x e x ; |
|
=1; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ y = 2sin x −6cos x , y(0) = y (0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
г) |
y′′− 2 y′ = e2 x |
−1, |
|
y(0) = 81 , y′(0) =1; |
|
|
||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) y′′− 2 y′+ y = |
e x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y′′+ y = 4 ctg x , |
π |
|
π |
|
= 4 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
y′ |
|
|||||||||||||||||
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 2x − y |
; |
|
б) |
x& = y −3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 y −5x |
|
|
|
y = 9x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
203