MI_T2TerekhovSV
.pdfТерехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 23
1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x)= |
1 |
x |
|
||
|
; б) f (x) = 5sin |
|
. |
||
3x + 2 |
2 |
||||
|
|
|
2. Продифференцировать указанные функции.
а) y = ln (sin (2x))− |
1 |
cos2 |
(3x); |
б) y = |
x |
|
+ |
3 x ; |
|||||
2 |
2 −3x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
(8x ) |
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
3 |
ln |
; |
г) y = e |
1 − 2 t |
|
9 |
; |
||||
в) y = |
3 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t −1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x = a (cos t +t sin t ) |
|
|
|
|
; |
e) |
= x y |
2 |
−b |
2 |
; |
ж) |
|
. |
||
|
|
|
|||||||||||
д) y = arctg |
1 − a x |
|
y |
|
|
−t cos t ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = a (sin t |
|
|||
3. Найти производную второго порядка от указанных функций. |
|
||||||||||||
a) y = (2x +1)sin (3x), x 0 = 0 ; |
б) x = 3sin t ; |
|
|
в) x 4 − x y + y 4 =1 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y = 2 tg t |
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y 2 = x3 , x 0 = 0 ; |
|
б) x = ln (1 +t 2 ), t0 = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ln (cos x) |
|
|
|
|
|
e |
2x − e x |
|
|
|
|
π x |
|
|||||
а) lim |
|
|
|
|
|
|
; |
б) lim |
|
|
|
|
|
; |
в) lim |
(1 |
− x)tg |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
π ln (cos (3x))+1 |
|
x→0 sin (3x)−sin (5x) |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
||||||||||||||||
x→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
cos (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
; |
д) lim x x + ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) lim |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x →0 sin x |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = |
x −3 |
. |
|
||
|
4 (x + 5) |
140
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 24
1. |
Найти производные следующих функций, пользуясь определени- |
||||||
ем производной: а) f (x)= |
1 |
|
; б) f (x) = 5ln(3x + 2). |
|
|||
x3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Продифференцировать указанные функции. |
|
|||||
|
а) y = |
x 3 |
arcctg (2x)−ln(x2 +1) |
; б) y = 5 2 −3x2 +10−8x + 1 |
; |
||
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
2 − x 3 |
|
|
; |
|
||||
в) y = sin |
|
|
|
||
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a r c c o s ( t ) |
; |
|
д) y = ln cos |
e |
|
|||
|
|
|
|
|
г) y = 3 cosec2 x tg(3
е) 2 x y 2 = tg(y − x);
2 x );
ж) y = e 2 t
x = e−t
.
+ t
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
|
1 |
|
|
|
x = arctg t |
|
|
|
|
|
а) y = ln 2 x + |
, x |
0 |
=1 ; |
б) |
|
2 |
) |
; |
в) y sin x = ln y . |
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
+ t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
y = ln (1 |
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
x 3 |
|
x = 3 cos t |
|
π |
|
|
ра: а) y = |
|
, x0 = −1; |
б) |
, t 0 = |
|
. |
|
3 |
3 |
||||||
|
|
y = sin t |
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
|
|
x |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→∞ ln 2 (3x) |
|
|
|
|
|
|
||||
г) lim |
|
cos x |
|
|
− |
1 |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
x→2 |
π x − 2π |
|
sin x |
|
б) lim |
7 3 x − 3 2 x |
; |
в) lim ((1 − cos x)ctgx ); |
||
|
|
|
|||
x→0 tgx + x 3 |
|
x→0 |
|||
1 |
|
|
|
||
д) lim x |
x 2 −1 |
. |
|
|
|
x→1 |
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = 3xx+−62 .
141
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 25
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x)= x2 −3x ; б) f (x) = 2 cos(x −1).
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = 1 |
+ 3 |
4 −5x2 + e− x ; |
|
|||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
sin (5x) |
|
|
|
|||
в) |
y = cos |
2 |
x |
|
+ |
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 −cos |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
y = arcctg |
|
|
7 |
|
; |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
г)
е)
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
y = |
4 |
1 − x |
+3 |
; |
|
|
3 |
x + 2 |
|
|
|
y = 3 x − 8x2 e− x + 2 ;
y 2 − 2xy +b2 = 0 ; |
ж) x = ln(3 −t 2 ). |
|||
|
|
2 |
+ e |
−t |
|
y = t |
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = |
ln(x − 2) |
|
, x0 =1 ; |
б) x = 5 cos t ; |
в) 3y −3x = 2 y . |
|
x − 2 |
||||||
|
|
y = 4sin t |
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y = x3 , x0 |
=1; |
|
|
|
|
|
t |
, t0 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
б) x |
|
= 2 e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(9 − |
2x2 ) |
|
|
|
π |
|||||
а) |
lim |
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
в) |
lim arccos x − |
|
ctgx ; |
|
|
ln x |
|
|
|
|
sin(2π x) |
2 |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
x→0 |
|
||||||||
г) |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
; |
д) |
|
(ctg(3x))sin(3x). |
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
− |
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 2 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x − 2x .
142
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Модульный блок № 3
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 1
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
1 −sin |
3 |
x |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
dx ; |
б) ∫ 14x |
|
+ |
|
|
|
dx . |
sin |
2 |
x |
|
|
1 + x |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) ∫e2x dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
1 +ln x |
dx ; |
в) ∫ |
arctg x + x |
dx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
+ x |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) ∫ln x dx ; |
|
|
|
б) ∫x e2x dx ; |
в) ∫x arctgx dx ; |
|||||||||||||||
|
г) ∫x2 cos x dx ; |
д) ∫e2x sin x dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) ∫ |
x + 5 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
2 − x |
dx . |
|
|
|
|
|||||||
|
3 − 4x − 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9x2 + 6x +13 |
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) ∫ |
2x3 +1 |
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
x2 |
+1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
(x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
+1) (x − 2) |
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) ∫sin 2 x cos 2 x dx ; |
б) ∫cos3 (2x)dx ; |
в) ∫tg 5 x dx ; |
|
|||||||||||||||||
|
г) ∫sec4 x dx ; |
|
|
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
|
е) ∫sin (2x)cos (3x)dx ; |
||||||||
|
|
|
|
sin |
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ж) ∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 +3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) ∫3 |
x +1 |
|
dx ; |
|
|
б) ∫ 4 − x2 dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
г) ∫x2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) ∫(25 + x2 ) |
25 + x2 ; |
x2 −9 . |
|
|
|
|
|
8. Разные интегралы
|
|
|
|
9 |
|
|||
а) |
7 x2 |
− 2x + |
|
dx ; |
||||
x |
||||||||
|
∫ |
|
|
|
||||
г) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
|
1 + 5sin x + 2 cos x |
||||||||
ж) ∫x2 |
9 − x2 dx ; |
б) |
∫ |
|
|
|
|
6x + 7 |
|
|
dx ; |
в) |
∫sec4 (2x )dx ; |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
− 4x +1 |
|
|
||||||
д) |
∫ |
ln (3x + 2 ) |
dx ; |
е) |
∫sin 6 (5x)dx ; |
|||||||
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
(3x + 2 ) |
|
|
|
|
|
|||
з) |
∫ |
|
|
|
3x −5 |
|
dx . |
|
|
|||
x |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
143
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 2
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
а) ∫x−2 (1 − x)3 dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5sin x + |
|
2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
в) ∫ e x + e2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫tg (5x)dx ; |
|
б) ∫ |
|
x3 |
dx ; |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + e2x |
|
|
|
||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
2 e |
− |
x |
|
|
|
|
∫ |
x sin (5x)dx ; |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
а) |
|
x |
|
2 dx ; |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
x arctg |
|
dx ; |
|||||||||||||||||
|
г) ∫x ln(x2 +3)dx ; |
д) ∫e2x cos x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
2x − 6 |
dx ; |
б) ∫ |
|
3x +1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
8x − x2 −12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+5x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
3x + 5 |
dx ; |
б) ∫ |
x3 +5x −1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
+ x |
|
|
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
cos5 x |
|
dx ; |
б) ∫sin 6 |
(3x)dx ; |
|
|
в) ∫ctg 3 (2x)dx ; |
г) ∫ |
|
dx |
|
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
sin |
3 |
(2x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
д) ∫cos ec4 x dx ; е) ∫sin (5x)cos (3x)dx ; |
ж) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3sin x − 4 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
б) ∫ 9 − x2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x +1 (3 x +1 +1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
в) ∫ |
|
x2 |
|
dx |
; |
г) ∫ |
|
x2 −4 1 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
16 + x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а)
г)
∫
∫
(8x + 9 )8−x dx ; |
|
3 |
|
9 −10x |
dx ; |
|||
б) ∫ 5cos x −e x + |
dx ; в) ∫ |
|||||||
|
|
|
|
4 − x2 |
|
15 −6x − x2 |
||
5x 4−x |
2 |
dx ; |
д) ∫cos (9x)cos (11x)dx ; |
е) ∫ |
9x2 −1 dx |
; |
||
|
3x |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
arcsin x dx ; |
з) ∫tg 3 (3x − 4)dx . |
|
2 − x |
|
144
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 3
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
а) |
∫ |
|
x |
|
|
|
x |
|
2 |
|
∫ |
1 −3x |
+ 7x4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin |
|
− cos |
|
|
dx ; б) |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
в) ∫arcsin2 x +1 dx . |
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫2 5x dx ; |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
x |
dx ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x2 |
|
|
|
|
1 − x2 |
|||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
в) ∫x2 3x dx ; |
||||||||||||||||||||||
|
а) ∫arccos x dx ; |
|
|
б) ∫x−5 ln x dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
г) ∫arctgx dx ; |
|
|
д) ∫e x sin(2x)dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
x + 2 |
|
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
1 − x |
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||
|
9x |
2 |
|
|
|
|
5 − 4x − x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
− 6x +13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
x3 +3 |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dx ; |
|
|
|
(x2 +1)dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x3 − x2 − 2x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 4 (2x)cos2 (2x)dx ; |
б) ∫cos5 x dx ; |
в) ∫tg 3 (2x)dx ; |
г) ∫sec4 (3x)dx ; |
||||||||||||||||||||||
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
е) ∫cos(2x)cos(3x)dx ; |
|
ж) ∫ |
|
dx |
. |
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ cos x |
|||||||||||||
|
|
|
|
cos (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
x |
|
|
dx ; |
|
|
б) ∫ 1 − 4x2 dx ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2x +1 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
г) ∫ x2 −2 9 dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(1 + x2 )3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫3 |
8 2x +1 |
dx ; |
||
|
|
2x +1 − 2x +1 |
|
|
г) ∫ |
7x4 −5x + 2 |
dx ; |
|
|
3 2 |
|
|||
|
x |
+ x − 2x |
|
ж) ∫(7 − x)sin (9x )dx ;
б) ∫ |
|
|
|
dx |
|
)3 |
; |
|
|
||||||
|
(1 +16x2 |
|
|
||||||||||||
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
sin |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(3x −5) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫ |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
2 |
|||||
з) |
cos |
|
|
|
+sin |
|
|
|
dx . |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫sin 3 x cos5 x dx ;
е) ∫ |
|
6x + 7 |
|
dx ; |
x |
2 |
|||
|
− 4x +1 |
|
145
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 4
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
а) |
|
3 |
|
6 |
|
15 |
|
|
|
x |
|
x |
|
2 |
||||
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
dx ; |
б) |
cos |
|
|
+sin |
|
|
dx . |
||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
∫ |
|
|
x |
|
x |
|
|
∫ |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
3x −5 arctg 2 x |
|
||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ctg (3x)dx ; |
|
б) ∫3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
а) ∫(4 −3x)e−3x dx ; |
|
б) ∫(x +5)sin (3x)dx ; |
|
|
|
в) ∫arcsin (4x)dx ; |
|
|||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
|
ln (x +3) |
dx ; |
|
д) ∫e3x sin(2x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
3x +1 |
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
4 − x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5 |
− 4x − 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +8x + 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
x3 +1 |
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx ; |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x − 2)(x − 4) |
|
x4 +16x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 2 x cos3 x dx ; |
б) ∫cos4 (3x)dx ; |
в) ∫ctg 3 (2x)dx ; |
г) ∫cos ec4 x dx ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
е) ∫sin (3x)cos x dx ; |
|
ж) ∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
+ 6 sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
cos (5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫3 |
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
x4 dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x + |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
(1 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
г) ∫ |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(4 + x2 )3 |
|
|
x x2 −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
7x5 |
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
7x −15 |
|
dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
6 |
dx ; |
|
|||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
4x |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
−64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x + |
|
|
|
|
|
7x +11 |
|
|||||||
|
г) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
д) ∫sin 5 x dx ; |
|
|
|
|
|
е) ∫ |
10x8 −11x |
dx ; |
|
||||||||
|
|
2 |
+ 3cos x + 4 sin x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
1 −121x2 dx ; |
|
з) ∫x tg 2 (3x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
146
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 5
Вычислить неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
(1 − 2 x )2 |
dx ; |
|
|
|
−2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
б) ∫ cos x + |
sin |
|
dx . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
в) ∫x − arccos x dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫e5x dx ; |
|
|
|
|
|
б) ∫ 3 x3 −8 x2 dx ; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
в) ∫arctg ( 8x −1)dx ; |
||||||||||||||||||||
|
а) ∫(3x + 4)e3x dx ; |
б) ∫(2x −5)cos(4x)dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ln (x +3)dx ; |
|
д) ∫5x sin x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
3x + 2 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
x − 2 |
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
−12x − 4x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
−6x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
x5 |
−12x3 + 7 |
dx ; |
б) ∫ |
2x |
+1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
x |
3 |
− 4x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 5 x cos 2 x dx ; |
б) ∫sin 4 (3x)dx ; |
в) ∫tg 3 (4x)dx ; г) ∫sec4 (2x)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
е) ∫sin (3x)sin (5x)dx ; |
|
|
|
ж) ∫ |
|
dx |
. |
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ cos x |
|||||||||||||
|
|
|
sin (5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫x2 |
|
|
4 − x2 dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
x4 dx |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
x2 |
dx |
; |
|
9 + x2 |
|
8. Разные интегралы
а) ∫ |
12x −1 |
dx ; |
|
|
9 − 6x − x2 |
||
г) ∫3 |
15 |
x |
dx ; |
|
x − |
x |
|
ж) ∫(9 −5x)sin (2x )dx ;
г)
б)
д)
з)
∫x2 x−1 dx .
∫5 −73x dx ;
∫ |
|
3x2 +5 |
dx ; |
|
|
|
||
(x2 −1) |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
23 |
|
|
||
|
5tg x − |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
||||
∫ |
|
7 cos |
|
dx . |
||||
|
|
|
|
x |
в) ∫cos ec4 (5x )dx ;
е) ∫(3x −1 )2 x dx ;
147
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 6
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
а) ∫ |
11x − 2 dx ; |
б) ∫(5tg x +3ctg x)dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
в) ∫3arcsin4 x +9x dx. |
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫102x −5 dx ; |
б) ∫x |
2x2 + 7 dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
а) ∫(5 − 6x)e2x dx ; |
б) ∫(4x + 7 )cos (2x )dx ; |
|
в) ∫ arccos(3x −1)dx ; |
|||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
ln (2x −9) |
dx ; |
д) ∫3x cos (5x )dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(2x −9 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
4 −3x |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
2x +5 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
||||||
|
10 −6x + x |
2 |
7 |
−12x − x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
5x3 − 2x2 +9 |
б) ∫ |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dx ; |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x (x +1 )(x −3 ) |
|
3x4 + 6x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) ∫sin 3 (3x )cos2 (3x )dx ; |
б) ∫cos4 (2x −5)dx ; |
|
в) ∫ctg 4 (5x)dx ; |
|||||||||||||||||||||||
|
г) ∫cos ec4 x dx ; |
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
е) ∫cos(2x)cos(5x)dx ; |
|||||||||||||||
|
|
cos |
3 |
1 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4x + |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
sin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 +sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
1 + |
3 x3 |
|
|
|
dx ; б) ∫ |
36 − x2 dx ; |
|
в) ∫ |
dx |
; |
г) ∫ x2 −16 dx . |
||||||||||||||
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(64 + x2 )3 |
|
|
|
|
||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ arccos(8x )dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
в) ∫sin2(3x )cos4(3x )dx; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 + x2 )3 |
|
|
|
|
ln (x + 2 ) |
|
|||||
|
г) ∫ctg 4 (2x −1 )dx ; |
д) ∫sin (4x)sin (3x)dx ; |
|
е) ∫ |
dx ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (1 − 2x2 ) |
|
|
|
|
|
|
(x + 2 ) |
|||||
|
ж) ∫x |
2 |
9x |
2 |
−1 dx ; |
з) ∫ |
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
16 |
+ x |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
148
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 7
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
11 − |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
а) ∫ |
3 |
3 |
dx ; |
б) ∫ 2 x + x−1 + |
|
dx . |
||||
|
|
x |
2 |
x |
|
|
x |
2 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Метод замены переменной интегрирования
|
|
∫cos (5x)dx ; |
б) ∫x− |
1 |
e x dx ; |
|
|||
|
а) |
2 |
|
||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|||||||
|
а) ∫(5x − 2)e3x dx ; |
б) ∫(4x − 2)cos (3x)dx ; |
|||||||
|
г) ∫ln (x −1)dx ; |
д) ∫4 x cos(5x )dx . |
|
||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
||||||||
|
а) ∫ |
7x + 5 |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
3x −8 |
dx . |
|
9 + 6x −8x |
2 |
2x2 + 4x + 25 |
||||||
|
|
|
|
|
|
5. Метод интегрирования рациональных дробей
а) ∫ |
3x2 + 6x +1 |
dx ; |
б) ∫ |
x3 −1 |
dx . |
(x2 + 2)(x +1)2 |
|
||||
5x3 + x2 |
в) ∫ |
1+2 |
1+tg x |
dx. |
|
cos |
x 1+tgx |
|
в) ∫x arctg (2x)dx ;
6. Интегрирование тригонометрических функций
а) ∫sin 5 x cos 4 x dx ; |
б) ∫sin 4 (3x)dx ; |
в) ∫ctg 3 (4x)dx ; |
г) ∫cos ec4 x dx ; |
|
|
|
||||||||||||
д) ∫ |
dx |
|
|
; |
е) ∫cos(6x)cos(7x)dx; |
ж) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|||||
3 |
|
|
1 |
− cos x −sin x |
||||||||||||||
|
sin (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) ∫ |
x3 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
x4 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +16 |
|
(4 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) ∫ |
x2 dx |
; |
г) ∫ |
x2 −4 4 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
36 + x2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Разные интегралы |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
3x − 7 |
|
|
|
|||||
а) ∫x e3−2x |
2 |
|
|
б) ∫cos ec4 |
|
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dx ; |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
dx ; |
|||||||
|
|
|
1 |
−16x − x |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
1 −sin |
3 x |
dx ; |
д) ∫(3x − 2 )cos (2x )dx ; |
е) ∫ |
|
x3 |
|
dx ; |
||||
2 |
|
x |
3 |
27 |
|||||||||
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
+ |
|
|||
ж) ∫ |
5 −9x |
dx ; |
з) ∫ |
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
149