5.2. Средняя и предельная ошибки выборки

Средняя ошибка выборки показывает как в среднем выборочная средняя или доля отклоняется в ту и другую сторону от генеральной средней и доли. Способ расчета средней ошибки зависит от:

1. Способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную. Отбор может быть:

   • повторный.

При нем отобранная единица изучается, т.е. фиксируется значение изучаемого признака для этой единицы, а затем единица возвращается в генеральную совокупность. Таким образом, при повторном отборе численность единиц (N) не изменяется;

• бесповторный.

При нем единица после отбора и регистрации изучаемого признака в генеральную совокупность не возвращается и численность единиц уменьшается.

2. Вида изучаемого признака (количественный, альтернативный).

Количественный признак.

Если отбор повторный, то средняя ошибка выборки:

, (29)

где ² – дисперсия признака x в ГС;

n – численность единиц, отобранных из генеральной совокупности. При практических расчетах вместо генеральной дисперсии используют выборочную дисперсию.

Если отбор бесповторный, то средняя ошибка выборки рассчитывается:

, (30)

Отношение показывает долю единиц, отобранных в выборку и называется процентом выборки. Например, если выборка 5 %-ая, то = 0,05.

Альтернативный признак.

Если отбор повторный, то средняя ошибка:

, (31)

где р – генеральная доля. В практических расчетах вместо генеральной доли можно брать выборочную.

, (32)

Если отбор бесповторный, то:

, (33)

, (34)

Границы, в которых с определенной вероятностью изменяется генеральная средняя или доля задают предельные ошибки выборки ():

для генеральной средней:

для генеральной доли:

Предельная ошибка выборки:



где  – средняя ошибка выборки;

t – коэффициент доверия или коэффициент кратности ошибки.

Значение t указывает на вероятность, с которой задаются границы изменения генеральной средней или доли, например:

Вероятность	t
0,6827 0,9545 0,9973 0,9999	1 2 3 4

Коэффициент доверия указывает на вероятность расхождения , т.е. на вероятность того, на какую величину генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней. Например, с вероятностью 0,6827 можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средними не превышает одной величины средней ошибки выборки или в 68,27 % случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы . С вероятностью 0,9545 можно утверждать, что ошибка репрезентативности не превышает 2 (т.е. в 95 % случаев). С вероятностью 0,9973, т.е. довольно близкой к единице, можно ожидать, что разность между выборочной и ген. средней не превзойдет трехкратной средней ошибки выборки и т. д.

Пример 1. Для изучения средних сроков доставки деталей на предприятие в случайном порядке отобрали 200 накладных по срокам доставки деталей. Было выявлено следующее распределение:

Срок доставки, дней		Количество документов
x		f
5–7 7–9 9–11 11–13	6 8 10 12	10 75 105 10	60 600 1050 120	90 75 105 90
Итого		200	1830	360

С вероятностью 0,997 найти предельные сроки доставки всех деталей. Выборка повторная.

1). Определяем выборочную среднюю, т.е. средний срок доставки, который получается по отобранным 200-ам документам:

По отобранным 200-ам документам средний срок доставки составляет 9 дней.

2). Находим среднюю ошибку.

Т.к. признак количественный, выборка повторная, используем следующую формулу:

,

где

Средний срок доставки деталей по отобранным 200-ам документам отклоняется от среднего срока доставки всех деталей в ту и другую сторону в среднем на 0,1 день.

3). Определим предельные сроки доставки.

(т.к. вероятность 0,997, то t=3)

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний срок доставки всех деталей находится в интервале от 8,7 до 9,3 дня.

Пример 2. Из отобранных 1600 труб в 32 трубах был выявлен брак. С вероятностью 0,954 определить в каких пределах заключается доля брака всей продукции. Выборка повторная.

1). Определим долю брака в отобранных трубах.

В отобранных трубах доля брака составила 2 %.

2). Найдем среднюю ошибку выборки.

Доля брака в 1600 трубах отклоняется от доли брака всей продукции в ту и другую сторону в среднем на 0,35 %.

3). Найдем границы изменения генеральной доли:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля брака во всей продукции находится в пределах от 1,3 до 2,7 %.