II. Относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции (V_R):

, (22)

2. Линейный коэффициент вариации (V_d):

, (23)

или

, (24)

3. Коэффициент вариации (V_):

, (25)

Показатели определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Наиболее часто в практических расчетах применяется показатель относительной вариации – коэффициент вариации. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).

В нашем примере: V_= 2,9/6 = 48 %

Рассматриваемые предприятия являются неоднородными, а средняя стоимость ОФ (6тыс.у.е.) не типична для заданных предприятий.

Вариация альтернативного признака

Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статис­тикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы со­вокупности и не обладают другие. Эти признаки называются аль­тернативными. Примером таких признаков являются: наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателя вуза, ра­бота по полученной специальности и т. д. Вариация альтернатив­ного признака количественно проявляется в значении нуля у еди­ниц, которые этим признаком не обладают, или единицы у тех, которые данный признак имеют.

Пусть р – доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком ( ); q – доля единиц, не обладающих данным признаком, причем . Альтернативный признак принимает всего два значения: 0 и 1 с весами соответственно q и p. Определим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифметической:

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

, (26)

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли на дополняющее эту долю до единицы число. Корень квадратный из этого показателя, т.е. , соответствует среднему квадратическому отклонению альтернативного признака.

Определим дисперсию альтернативного признака по следующим данным: налоговой инспекцией одного из районов города проверено 86 коммерческих киосков, и в 37 обнаружены финансовые нарушения. Тогда

Следовательно, дисперсия и среднее квадратическое отклоне­ние доли коммерческих киосков, имеющих финансовые наруше­ния, во всей совокупности обследованных киосков равны:

4.2. Понятие о закономерностях распределения

В рассматриваемых вариационных рядах распределения можно заметить определенную зависимость между изменением значений варьирующего признака и частот. Частоты в этих рядах с увеличением значения варьирующего признака первоначально увеличиваются, а затем после достижения какой-то максимальной величины в середине ряда уменьшаются. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно в связи с изменением варьирующего признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения.

Одна из важных целей статистического изучения вариационных рядов состоит в том, чтобы выявить закономерность распределения и определить ее характер. Как и статистические закономер­ности вообще, закономерности распределения наиболее отчетливо проявляются только при массовом наблюдении. Поэтому выявление закономерностей распределения состоит в по­строении вариационных рядов для достаточно больших по числен­ности статистических совокупностей. Кроме того, большое значе­ние для нахождения закономерностей распределения имеет пра­вильное построение самого вариационного ряда. Речь идет, преж­де всего, о таком определении оптимального числа групп и размера интервала, при котором закономерность распределения видна более отчетливо. Если сразу трудно определить оптимальное число групп, то пер­воначально разбивают совокупность на максимальное их число, а затем, укрупняя интервал и сокращая, таким образом, число групп, стремятся получить такое их число, при котором достаточно явно проявляется характер распределения.

Закономерности распределения выражают свойства явлений, об­щие условия, влияющие на формирование вариации признака.

Характер, тип закономерностей распре­деления означают отражение в них общих условий, определяющих распределение. При этом следует учитывать, что речь идет о распределениях, отражающих однородные явления.

Под кривой распределения понимается гра­фическое изображение в виде непрерывной линии изменения ча­стот в вариационном ряду, функционально связанного с измене­нием вариант.

В статистической практике встречаются разнообразные распре­деления. Различают следующие разновидности кривых распре­деления:

• одновершинные кривые: симметричные, умеренно асиммет­ричные и крайне асимметричные;

• многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одно­вершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асим­метрии и эксцесса.

Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра рас­пределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распре­делений средняя, мода и медиана также равны.

Для таких распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (Е_к). Е_к 0 – островершинное распределение, Е_к 0 – плосковершинное распределе-ние.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии (А_s). А_s 0 – правосторонняя асимметрия (положительно асиммет-ричное распределение), А_s 0 – левосторонняя асимметрия (отрицательно асимметричное).

Получение кривой распределения можно представить для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупно­сти и бесконечно малой ширине интервала ряда. Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет выра­жать функциональную связь между значениями варьирующего при­знака и соответствующими им частотами и представлять так на­зываемое теоретическое распределение. Теоретической кривой распределения называется кривая, вы­ражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него закономер­ностей факторов.

При проведении анализа вариационных рядов целесообразно свести эмпирическое распределение к одному из хорошо исследованных видов теоретического распределения, рас­сматриваемых математической статистикой.

В статистике широко используются различные виды теоретических распределений – нормальное распределение, биноминальное распределение, распределение Пуассона и др. Каждое из теоре­тических распределений имеет специфику и свою область приме­нения в различных отраслях знания.

Чаще всего в качестве теоретического распределения исполь­зуется нормальное распределение:

, (27)

где – ордината кривой нормального распределения;

– стандартизированная (нормированная) величина;

e и  – математические постоянные;

– варианты вариационного ряда;

– их средняя величина;

 – среднее квадратическое отклонение.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами – средней величиной ( ) и средним квадратическим отклонением .

Рассмотрим некоторые свойства кривой нормального рас­пределения:

• y(t) – функция нормального распределения – четная, т. е. y(–t) = y(+t). Следовательно, изображающая ее кривая распреде­лена симметрично относительно оси ординат, т. е. ;

• функция имеет бесконечно малые значения при t = ± . Это означает, что ветви кривой удалены в бесконечность и приближаются к оси абсцисс. При этом, чем больше значе­ния признака отклоняются от , тем реже встречаются;

• функция имеет максимум при t = 0. Отсюда следует, что мо­дального значения кривая достигает при t = 0 или при х = . Вели­чина максимума составляет ;

• при t = ± 1 функция дает точки перегиба. Следовательно, при отклонении значений признака (х) от среднего значения ( ) в по­ложительном и отрицательном направлениях на одно стандартное (нормированное) отклонение (± от ) кривая дает переход от вы­пуклости к вогнутости;

• площадь между кривой и осью ot равна единице, как интег­рал Пуассона;

• если случайная величина представляет сумму двух независи­мых случайных величин, следующих каждая нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону.

Объективная характеристика соответствия эмпирического распределения нормальному может быть получена с помощью особых статистических показателей – критериев согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона, В.И. Романовского, А.Н. Колмогорова и Б.С. Ястремского.