1.16. Системный изоморфизм и гомоморфизм

Выше уже рассматривались свойства изоморфизма и гомоморфизма систем. Но, учитывая важность их важность, для общей теории систем изучим некоторые особенности этих понятий.

Аналогия, или сходство (подобие), между сложными объектами, явлениями, процессами и их моделями или описывающими их системами бывает разных типов. Важнейший тип сходства, который наблю­дается между объектами, явлениями и их моделями или описываю­щими их самыми различными системами, – это аналогия в структуре, т.е. в характере элементов и связей (отношений) между элементами вплоть до одинаковости структуры [5,7,19,30,50,58,72].

Для описания этой аналогии систем часто пользуются понятиями изоморфизма и гомоморфизма. Хотя эти понятия заимствованы из математики, в сложившемся словоупотреблении они используются не только в узком и строгом математическом смысле, но и приобретают более широкий и расплывчатый смысл, особенно в дисциплинах, далеких от математики.

Гомоморфизм, изоморфизм логико-математические понятия, выражающие уподобление (гомоморфизм) либо одинаковость (изоморфизм) строения систем. Две системы А и В называются изоморфными, если между их элементами, а также функциями, свойствами и отношениями, имеющими смысл для этих систем, существует или может быть установлено взаимно-однозначное соответствие.

Для изоморфных систем A и В выполняются следующие условия:

• каждому элементу соответствует единственный элемент ;

• каждой функции f, определенной на элементах и принимающей значения в А, соответствует единственная функция g, определенная на элементах ;

• каждому свойству Р, которым обладают . элементы системы А, соответствует взаимно-однозначное свойство элементов В, и наоборот.

Ослабление перечисленных условий, скажем, требование взаимно-однозначного соответствия только в одну сторону, приводит к более общему, но и более слабому отношению гоморфизма. Изоморфный образ полностью воспроизводит отображаемую систему, например, зеркальное отображение изоморфно отображаемому предмету, схема радиоприемника изоморфна самому приемнику. Гомоморфный образ лишь отчасти похож на свой оригинал, например, карта местности воспроизводит лишь некоторые черты этой местности, перевод языкового текста лишь отчасти похож на оригинал.

Всякий изоморфизм. есть гомоморфизм, но не наоборот.

Понятие изоморфизма в математике формализует, уточняет интуитивное понятие одинаковости структуры. Оно относится к системам объектов (элементов) с заданными в них операциями или прошениями.

В общей теории систем принято также следующее определение изоморфизма (которое, если проанализировать его, совпадает по существу с приведенным выше).

Две системы (т.е. два множества) с заданными на них отношениями считаются изоморфными, если:

1) их структурные элементы попарно взаимнооднозначно соответствуют друг другу:

2) некоторое подмножество элементов первой системы связано «отношением , то подмножество соответствующих элементов второй системы связано отношением , и наоборот.

Полный изоморфизм может быть лишь между абстрактными, идеализированными объектами, например, соответствие между геометрической фигурой и ее аналитическим выражением в виде формулы. изоморфизм связан не со всеми, а лишь с некоторыми фиксированными в познавательном акте свойствами и отношениями сравниваемых объектов, которые в других своих отношениях могут отличаться.

Например, изоморфными могут оказаться структура, обеспечивающая передачу сообщений от всех отправителей к некоторому получателю в компьютерной сети (элементы – компьютеры с отношением непосредственной связи между ними) и система логического выводи некоторого утверждения (элементы – отдельные утверждения, отношение - непосредственное следование одного утверждения из других). Одинаковость структуры здесь означает, что различный смысл сис­темообразующих отношений, равно как и различие элементов систем при сопоставлении их, не учитываются.

Наличие изоморфизма двух систем (в рассматриваемом узком смысле) означает, что если какая-то система S₁ является изоморфной системе S₂, то S₁ может быть рассмотрена как модель системы S₂ изучение самых разнообразных свойств системы S₂ сводится к изучению свойств модели S₁ или к использованию ее известных свойств. Разумеется, это положение остается верным, пока интересующие нас свойства исследуемых объектов могут быть описаны посредством простейшей модели, учитывающей только ее структуру. Иными словами, по существу речь идет о структурных свойствах систем.

Математическая практика показывает, что даже такое «неглубокое» сходство систем, как изоморфизм, т.е. одинаковость структуры, может оказаться достаточным, чтобы выявить и перенести на другие системы весьма глубокие системные свойства. Здесь уже возникает изоморфизм в системах знаний об изучаемых системах: изоморфизм понятий, утверждений, теорий. При этом «одинаковые», соответствующие друг другу элементы имеют совершенно различный смысл и исходных системах. В таких случаях иногда образно говорят о более или менее «глубоком» изоморфизме систем. При этом изоморфизм свойств систем, знаний о них является теоретическим следствием изоморфизма систем в классическом узком смысле.

Использование понятия изоморфизма в более широком, размытом смысле, при сопоставлении сложных объектов, процессов и явлений и установлении их аналогий часто не опирается на выявление структуры объектов, их элементов и системообразующих отношений. Иными словами, суть аналогии или одинаковости структуры не выясняется, и предполагается интуитивно понятной. Идеальным примером изоморфных систем в широком, размытом смысле считается негатив и позитив фотоснимка, или, например, речь и ее запись на магнитофонной пленке или компактном диске. Техническое устройство и его чертеж на бумаге также находятся в изоморфном соответствии.

Условное понятие «степень изоморфизма» можно наглядно продемонстрировать на примере глубокой аналогии между различными видами колебаний - механическими и акустическими, что и явилось основой создания общей теории колебаний. Говоря о более или менее глубоком изоморфизме, «степени изоморфизма», имеют в виду большее или меньшее число аналогичных свойств у сопоставляемых систем.

В тех случаях, когда понятие изоморфизма используется в широком смысле, без прояснения того, в чем именно состоит аналогии, то по существу нельзя найти обоснование, которое обеспечивало бы Перенос свойств известных систем на новые, менее изученные системы. Перенос на новые системы в большей степени играет роль предви­дения, чем обоснования. «Степень изоморфизма» между системами условно определяется количеством «совпадающих элементов» и в разных случаях может быть весьма различной.

Идеальный изоморфизм – если все элементы совпадают, тогда степень изоморфизма между системами максимальна и равна единице.

Степень изоморфизма минимальна и равна нулю, если нет совпадающих элементов. На практике степень изоморфизма .

Как было указано выше, общесистемные закономерности, часто определяются на базе изоморфизма структур систем различной природы. Установление изоморфизма между различными явлениями позволяет с большой веро­ятностью переносить соответствующую изученную модель в иссле­дуемую область. Принцип изоморфизма структур систем играет важ­ную роль в системных исследованиях различных явлений в различных областях науки и в различных сферах жизни.

Итак, объект (явление, процесс) и его модель изоморфны (подоб­ны), если существует взаимнооднозначное соответствие между структу­рами (элементами и связями) объекта и модели. Если же соответствие между ними однозначно лишь в одном направлении, то они гомоморфные. Как правило, между объектами и их моделями обычно справедливы отношения гомоморфизма. Аналогично этому можно ввести понятие изоморфизма и гомоморфизма между моделями.

Гомоморфизм, в отличие от изоморфизма, представляет собой такое соответствие между двумя системами, которое не является взаимнооднозначным в обоих направлениях, а однозначным лишь в одном направлении. Другими словами, при гомоморфизме аналогия между двумя системами меньше, чем при изоморфизме, и одна из систем является как бы упрощенной копией другой.

Теоретико-множественное определение системы.

В заключение данного пункта рассмотрим определение системы, основанное на понятии теоретико-множественных представлений и отображениях множеств типа гомоморфизма и изоморфизма (система как семантическая модель). Более подробное теоретико-множественное описание систем будет дано ниже.

Пусть А и В – два произвольных множества. Функция , одно­значно ставящая в соответствие каждому элементу элемент , называется отображением множества А в множество В и обозначается как .

Элемент называется значением элемента а при ото­бражении , или образом а; А – область определения, В – область значений отображения .

Если есть элементы , не являющиеся образом никаких элементов , то отображение/называется отображением «в» В. Если , то отображение называется отображением «на» В.

Функция – множество элементов из А, образы которых принадлежат В, называется прообразом множества элементов В, т.е.

. (1.5)

В общем случае может не быть отображением «в» или «на» А, так как функция может быть неоднозначной.

Отображение называется взаимно однозначным, если каж­дый элемент множества В является образом не более чем одного элемента из множества А.

Определение 1.59. Отображение множества на называется гомоморфизмом множеств и , если выполняется условие

, где .

Определение 1.60. Отображение множества на называется изоморфизмом множеств и , если выполняется условие

, где .

Введенные понятия позволяют определить модель как изомор­физм А в , где – множество фиксированных элементов пред­метной области с исследуемыми связями, отношениями между эти­ми элементами, – абстрактное множество, задаваемое кортежем

(1.6)

где множество элементов модели, соответствующих элементам предметной области, называемое носителем модели;

предикаты, отображающие наличие того или иного отношения между элементами предметной области.

Определение 1.61. Предикат – это логическая арная пропозициональная фун­кция, определенная для предметной области и принимающая зна­чения либо истинности, либо ложности.

Носитель модели является содержательной областью преди­катов . Предикаты называются сигнатурой модели .

Выбор носителя и сигнатуры при построении модели опреде­ляется предметом исследования.

Уточним теперь понятие системы, ориентированное на зада­чи декомпозиции, анализа и синтеза, т.е. на проведение преобра­зования между двумя подмоделями.

Системой называется кортеж

(1.7)

Здесь подмодель, определяющая поведение системы.

Иногда эта подмодель может рассматриваться как «черный ящик»;

подмодель, определяющая структуру системы при

внутреннем рассмотрении;

предикат целостности, определяющий назначение системы, семантику (смысл) моделей и , а также семантику преобразования .

, если преобразование существует при взаимно однозначном соответствии между элементами носите­лей моделей и , в противном случае . Наличие предиката целостности позволяет говорить о том, что система это семантическая модель, имеющая внутреннюю интерпретацию.

Подмодель может быть представлена в виде кортежа, вклю­чающего пять объектов:

(1.8)

где входной сигнал, т.е. конечное множество функций времени ;

выходной сигнал, представляющий собой конечное множе­ство функций ;

переменная состояния модели , характеризующаяся конечным множеством функций , знание которых в заданный момент времени позволяет определить значения выходных характеристик модели ;

и функционалы (глобальные уравнения системы), задающие текущие значения выходного сигнала и внутреннего состояния :

(1.9)

, . (1.10)

Соотношения (1.9) и (1.10) называют уравнением наблюдения и уравнением состояния системы соответственно. Если в описа­ние системы введены функционалы и , то она уже не рассмат­ривается как «черный ящик». Однако для многих систем опреде­ление глобальных уравнений оказывается делом трудным и за­частую даже невозможным, что и объясняет необходимость использования этого термина.

Кроме выражения (1.7) систему задают тремя аксиомами.

Аксиома 1. Для системы определены пространство состо­яний , в которых может находиться система, и параметрическое пространство Т, в котором задано поведение системы.

В связи с этим математические описания вида (1.8) приня­то называть динамическими системами, так как они отражают способность систем изменять состояния в параметрическом пространстве Т.

В отличие от динамических, статические сис­темы таким свойством не обладают. В качестве параметрического пространства обычно рассматривается временной интер­вал .

Аксиома 2. Пространство состояний Z содержит не менее двух элементов.

Эта аксиома отражает естественное представле­ние о том, что сложная система может находиться в разных со­стояниях.

Аксиома 3. Система обладает свойством функциональной эмерджентности.

Рассмотрим свойство целостности.

Определение 1.62. Эмерджентностъ (целостность) - это такое свойство систе­мы S, которое принципиально не сводится к сумме свойств эле­ментов, составляющих систему, и не выводится из них:

, (1.11)

где -я характеристика системы S;

общее количество характеристик.

При таком рассмотрении система является совокупностью моделей и, главное, отражает семантику предметной области в отличие от неинтерпретированных частных математических мо­делей. Другими словами, система – это совокупность взаимосвя­занных элементов, обладающая интегративными свойствами (эмерджентностью), а также способ отображения реальных объектов.

Под сложной кибернетичес­кой системой понимается реальный объект с управлением и его отображение в сознании исследователя как совокупность моде­лей, адекватная решаемой задаче.

Принцип дуальности сигнала и системы.

При рассмотрении радиоэлектронных устройств и систем, АСУ силами соединений и флотов, БИУС кораблей и подводных лодок одним из основных подходов является представление их в виде информационного объекта (модели).

Информационный объект, это объект, который функционирует на основе использования информации о событиях, ситуациях, процессах, происходящих вне или внутри рассматриваемой системы. 

Носителями информации являются сигналы. Физическая модель системы (объекта) определяет и физические свойства сигналов и характер их обработки.

В принципе два понятия «сигнал» и «система» рассматриваются как два самостоятельных понятия. Сигналы представляют собой потоки информации между системами, а системы – средства обработки сигналов. Однако между понятиями «сигнал» и «система» существует тесная связь, так как каждый сигнал можно рассматривать как результат функционирования некоторой системы. Дуализм системы и сигнала следует из коммутативности свертки. Выходной сигнал системы y(t) представляется как результат свертки входного сигнала u(t) и импульсной характеристики системы h(t) (y(t)=u(t)*h(t)). Из выражения свертки нельзя решить, какая из функций является входным сигналом, а какая - импульсной характеристикой.

Изучая общие закономерности функционирования информационных систем, математическая теория систем абстрагируется от физических свойств сигналов и технических особенностей их обработки в системах и использует лишь математические модели для описания сигналов и систем. Таким образом, математическая теория систем позволяет строить феноменологические модели систем и исследовать процесс их функционирования, абстрагируясь от содержательной составляющей.