Коды входа в таблицу 5.2

наша информация		таблица
δ2	→	2P-1
число отказов n	→	μ
число исследуемых объектов m	→	n
разность m-n	→	n-μ

Пример 1.

Определить доверительные границы вероятности отказа изделий в интервале времени 0...10000 часов, если известно, что за первые 10000 часов наблюдения из 684 изделий отказало 15.

Задаемся доверительной вероятностью δ₂ = 0,95.

Решение

Частота отказов Q^*(0...10000) = n/m = 15/684 = 0,0219 = 0,022

Для входа в таблицу 5.2 определим величины:

2Р-1 = 0,95

μ = 15

n - μ = 684-15 = 669

Так как значащие интервалы в табл. 5.2 заканчиваются на числе 500, то можно сказать, что в данном случае доверительные границы будут не больше, чем Q_В(0...10000) = 0,047; Q_Н(0...10000) = 0,016, а интервальная оценка вероятности отказа изделия запишется так:

0,016 <Q (0...10000) < 0,047

При доверительных вероятностях δ₂ = 0,99 и 0.9 интервальные оценки будут соответственно равны:

Q_В(0...10000) = 0,054; Q_В(0...10000) = 0,044;

Q_Н(0...10000) = 0,013; Q_Н(0...10000) = 0,018;

0,013 <Q (0...10000) < 0,054

0,018 <Q (0...10000) < 0,044

В тех случаях, когда по условиям задачи числа n и m не совпадают с табличными величинами или m > 500, или требуемая точность расчета превышает три десятичных знака, или δ₂ <> 0.9; 0.95; 0.99, доверительные границы необходимо вычислять.

Точные способы определения доверительных границ для неизвестной вероятности отказа разработаны, исходя из того, что частота отказов как дискретная случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения.

Как показывает опыт расчетов, табл. 5.2 из работы [6] часто бывает недостаточно. В этом случае квантили B-распределения можно определить из асимптотических формул, полученных Л.Н. Большевым. Из этих формул получены асимптотические формулы для определения доверительных границ Q_В и Q_Н, в которые входят Q-процентные точки χ²-распределения с k = 2n и 2(n+1) степенями свободы, определяемые по табл. 2.2,а [6].

Код входа в табл. 2.2,а:

1. верхняя граница 2(n+1) → n; → Q_В(табл.)

2. нижняя граница 2n → n; → Q_Н(табл.)

В явном виде доверительные границы вычисляются по формулам:

Q_В ≈ (1.2)

Q_Н ≈ (1.3)

Пример 2.

За 8760 часов наработки изделий получена статистика по отказам:

m = 15; n = 4. С доверительной вероятностью δ₂ = 0.95 определить точечную и интервальную оценки вероятности отказа изделия за указанное время.

Решение:

Частота отказов Q^*(0...8760) = 4/15 = 0,2666.

По табл. 2.2,а определяем

Интервальная оценка вероятности отказа изделия в этом случае запишется так: 0.0776 < = Q(0...8760) < = 0.5652.

На практике часто приходится встречаться с задачей определения доверительного интервала для вероятности отказа, когда полученная из опыта или по данным эксплуатации частота отказов равна нулю. В этом случае для оценки надежности изделий также применим точный метод построения доверительного интервала на основе биномиального распределения. В этом случае верхняя доверительная граница вероятности отказа определяется выражением:

= (1.4)

Пример 3.

Пусть за время испытаний (0,t) не отказал ни один из 10 электродвигателей. Спрашивается, какова их надежность в плане безотказности?

Задавшись коэффициентом доверия δ₁ = 0.90, определим верхнюю доверительную границу:

Таким образом, если за время испытаний не возникло ни одного отказа, то с гарантией 90 % можно утверждать, что вероятность отказа данных электродвигателей не превышает 0.206 (при m = 10).

Вывод.

Рассмотренные примеры наглядно показывают, что при использовании вероятностных критериев при оценке надежности предполагается применение более жестких условий контроля, чем в том случае, когда заказчик выдвигает требование так называемой 100%-й надежности, а на практике довольствуется безотказной работой в течение времени t малого числа изделий (иногда даже одного).