1. Постановка задачи

• По статистике отказов изделия определить точечную и интервальную оценки неизвестной вероятности отказа изделия исходя из биноминального распределения частоты отказов изделия в интервале времени (t..Δt).

• С учетом экспоненциального распределения случайной величины Т, определить доверительные границы интенсивности отказа изделия для заданной доверительной вероятности ₂.

2. Сведения из теории

Эксплуатация оборудования сложных электроэнергетических систем представляет собой наиболее информативный вид испытаний на надежность, так как при этом оборудование подвергается такому широкому спектру внешних воздействий, режимов работы и обслуживания, который невозможно воссоздать в искусственных условиях.

Процесс обработки эксплуатационной информации состоит из двух частей: этапа предварительной обработки и этапа окончательной (математической) обработки. В основе предварительной обработки ле­жит классификация нарушений работоспособности оборудования — разделение массива информации на три группы: конструкционные, про­изводственные и эксплуатационные отказы. Классификация отказов требует глубокого знания принципов функционирования и специфики эксплуатации оборудования. Классификация не всегда может быть од­нозначной. На основании данных об отказах формируют выборки, пред­назначенные для последующей математической обработки.

Классические методы математической статистики для анализа эксплуатационной информации о надежности объектов

Случайными величинами, которые подвергаются обработ­ка по эксплуатационной информации в картах неисправностей обору­дования, являются наработка до отказа, наработка на отказ, наработка до предельного состояния, время восстановления, число отказов, число восстановлений, т. е. непрерывные и дискретные случайные величины Х = {х₁, х₂, ..., х_n}, где значения х_i i = 1…n, называются выборкой из генеральной совокупности N или просто выборкой, каждое отдельное значение Х — элемен­том выборки, а общее количество элементов n — объемом выборки.

Предполагается, что число членов N в генеральной совокупности велико, а объем выборки n ограничен (n « N). Обычно используется математическая идеализация, состоящая в том, что генеральная сово­купность считается бесконечной (N →∞). При этом точные (теоретиче­ские) характеристики случайной величины (закон распределения, мате­матическое ожидание, дисперсия и др.), относящиеся к генеральной совокупности, отличаются от аналогичных им выборочных (статистиче­ских) характеристик (статистических оценок) из-за ограниченности объема выборки n. Если n неограниченно возрастает, то все выбороч­ные характеристики приближаются (сходятся по вероятности) к соот­ветствующим характеристикам генеральной совокупности. Выборочные характеристики в отличие от характеристик генеральной совокупности являются случайными величинами.

Первичный статический материал при дальнейшей обработке обыч­но представляют в виде вариационного или статистического рядов. Ва­риационный ряд представляет собой совокупность упорядоченных значе­ний случайной величины вида х₁ <х₂ <х... <х_n. Если число наблюдений достаточно большое (более 50), то запись статистического материала в виде вариационного ряда становится громоздкой и мало наглядной (это замечание справедливо для ручной обработки информации и несущест­венно при записи ее на магнитных носителях). Статистическим рядом (или гистограммой) называется таблица, в которой приведены интерва­лы в порядке их расположения на числовой оси и соответствующие им частоты (частости)

где m_i — число значений случайной величины в i-м интервале.

Группировка по 10...20 интервалов, в каждый из которых попадает не более 15...20% значений случайной величины, обычно оказывается достаточной для полного выявления всех существенных свойств распределения и достоверного вычисления основных числовых характеристик случайной величины.

Если выборка однородна и достаточно большая, то с помощью ва­риационного и статистического рядов легко определяются статистиче­ские оценки показателей надежности.

Членами вариационного ряда могут быть либо наработка на отказ (или до отказа), либо время восстановле­ния, которые записываются в порядке возрастания от 1-го до k-го членов.

Как известно, наиболее полной характеристикой любой случайной величины являются их законы распределения, которые устанавливают связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

При оценке надежности изделия на практике, как правило, закон распределения величины, характеризующей его надежность, точно не известен. Возникает задача о принятии гипотезы о законе распределения и практическом получении его параметров, точное значение которых тоже неизвестно.

Задачу по оценке параметров закона распределения сформулируем так: получить оценку, близкую к истинному значению оцениваемого параметра.

Эта задача решается с использованием точечных и интервальных оценок.

Точечные оценки параметров выбранного закона распределения. Оценкой параметра называется его значение, найденное по выборке, т.е. по ограниченному числу наблю­дений. Если оценкой параметра является число, то такие оценки назы­ваются точечными. Если же оценкой служит совокупность чисел (ин­тервал на числовой оси), то оценки называются интервальными.

Точечные оценки количественных показателей надежности при экс­поненциальном законе распределения применяются для непрерывных случайных величин, таких как средняя наработка до отказа, средняя наработка на отказ наработки и среднее время восстанов­ления. Их можно получить из выражений:

, где λ – интенсивность отказов;

, где ν - интенсивность восстановлений.

Для дискретных случайных величин (целых чисел), таких как точечные оценки вероятности отказа или вероятности безотказной работы при определенных условиях характерен биномиальный закон распределения (ступенчатая ломаная функция). Выражения для таких оценок приведены ниже.

Интервальные оценки параметров закона распределения.

В математической статистике разработаны точные и приближенные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины. Точные методы требуют знания закона распределения случайной величины T. При использовании приближенных методов это необязательно.

Интерваль­ная оценка представляет собой случайный интервал, который с некоторой доверительной вероятностью накрывает оцениваемый параметр θ. Этот интервал называется доверительным интервалом, границы интервала — довери­тельными границами, вероятность, с какой доверительный интервал на­крывает параметр θ - доверительной вероятностью. Для заданной ве­роятности a по выборке х_i, i = 1,...,n случайной величины Х могут быть найдены такие значения случайных величин и , при которых

• интервал от до +∞ накроет параметр θ с вероятностью P(θ≥θ_н)=α₁;

• интервал от -∞ до θ_В накроет параметр θ с вероятностью Р(θ≤0_В)=α₂.

Величины θ_Н и θ_В называются, соответственно, нижней и верхней доверительной границей для параметра θ; θ_Н и θ_В образуют доверитель­ный интервал для параметра θ при двусторонней доверительной вероят­ности _2.

В общем виде эта зависимость имеет вид = Р(θ_н ≤ θ ≤ θ_в).

При этом, чем больше доверительная вероятность , тем шире границы интервала и наоборот. Вероятность того, что значение θ выйдет за гра­ницы интервала (θ_Н, θ_В), называется уровнем значимости :

= Р(θ_Н > θ > θ_В) = 1 - .

Значения доверительных вероятностей обычно принимают равными 0,9; 0,95; 0,99. Соответствующие им уровни значимости составляют 0,1; 0,05; 0,01.

При реальной эксплуатации оборудования сложных систем п «∞, Т«∞. Поэтому точечные и интервальные оценки показателей надеж­ности оборудования зависят от плана испытаний. В таблице 1.1[5] приведе­ны выражения для расчета точечной (средней) оценки интенсивности отка­зов, а также нижней и верхней границ интенсивности отказов λ_Н и λ_В для различных планов испытаний. Напомним, что буквы плана рас­шифровываются следующим образом: первая буква m — объем выборки; вторая буква Б или В — без восстановления или с восстановлением выборки; третья буква —t₀ или n — признак окончания наблюдений, причем t₀ — после истечения заданного времени, n — после появле­ния установленного числа отказов. Для определения границ λ необхо­димо пользоваться таблицей квантилей χ²-распределения [6] , в которой да­ются доверительные вероятности (1 — ₁) или ₂ и число степеней свободы k, равное 2п, 2n+2 в зависимости от выбранного плана. Значение задается в зависимости от требований, предъяв­ляемых к системе.

Экспоненциальное распределение является однопараметрическим.

Для получения статистической оценки надежности изделия с заданной точностью и достоверностью необходимо располагать достоверной статистикой в нужном количестве, что не всегда возможно. Особенно часто такая ситуация создается при оценке надежности сложных, уникальных систем или при оценке исключительно надежных систем.

Таблица 1.1

Используя таблицу 1.1 [5] можно рассчитать значения показателей надеж­ности в зависимости от плана испытаний при экспоненциальном законе распределения χ² (1-α₁), 2n и χ² (α₂), 2n(2n+2) – Q% -е точки χ² распределения с 2n (2n+2) степенями свободы, определяемые по табл. 2.2,а [6].

Код входа в таблицу 2.2,а

2d(2d+2)=2n(2n+2) ----> n; χ² (α₂)= (1+δ₂)/2] ----> Q_Н(табл.)

2d=2n ----> n; χ² (1-α₁)= (1-δ₂)/2] ----> Q_В(табл.)

P_Н(t)= = ; T_0Н= ; P_В(t)= = ; T_0В= ;

Таблица 1.1

План	Интенсивность отказов
	λ *	λВ	λН
[mBto]
[mBn]

Под точностью количественного показателя надежности будем понимать ширину доверительного интервала, накрывающего данный показатель, а под достоверностью - доверительную вероятность этого результата.

Граница между принципиальной возможностью количественной оценки надежности и практической невозможностью ее получения как раз и устанавливается при имеющейся статистике той конкретной величиной точности и достоверности, которые будут признаны необходимыми для данного технического устройства.

Эту мысль проще всего разъяснить на примере конкретной количественной характеристики надежности вероятности отказа Q(t).

Будем считать отказ случайным событием, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта может произойти или не произойти. В целях оценки безотказности изделия нужно c отказом связать определенное число, которое тем больше, чем более возможен отказ. Такое число называют вероятностью отказа.

Понятие вероятности отказа в своей основе связано с понятием частоты (частости) отказа Q^*(t, Δt).

, (1.1)

где n(t,Δt) - число отказов на интервале времени (t...t+Δt);

m(t) - общее число объектов, за которыми установлено наблюдение, в момент времени t.

При небольшом числе опытов m частость отказов носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частость отказов теряет свой случайный характер и проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторой величине. Естественно предположить, что эта величина и есть вероятность отказа. На практике частость отказов при достаточно большом числе опытов принимают за приближенное значение вероятности отказа.

Достоверность и объективная ценность всех практических расчетов надежности, выполненных с применением теории вероятностей, определяется качеством и количеством экспериментальных данных, на базе которых этот расчет производится.

Доверительные интервалы для вероятности отказа

Если надежность изделия характеризуется показателем вероятности безотказной работы и условия испытания (эксплуатации) изделий не позволяют определить моменты возникновения их отказов и m(t) < = 500, а число отказов n(t,Δt) относительно небольшое, то частота отказов Q^*(t,Δt) имеет биномиальный закон распределения. На этой закономерности построены точные способы определения доверительных границ вероятности отказа.

1. В работе Большев Л.Н., Смирнов Н.В Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983 приведена таблица 5.2, которая содержит заранее вычисленные значения Qв и Qн с точностью до трех десятичных знаков. Табл. 5.2 рассчитана до m < =500 и для δ₂ = 0.9; 0.95; 0.99.