- •6.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •30.Угол между 2-мя прямыми.
- •18.Скалярные и векторные величины.
- •3. Проекция вектора на ось
- •8.Уравнение прямой в пространстве
- •4. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по данному базису.
- •1. Матрица. Операции над матрицами.
- •2.Операции над матрицами:
- •2. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •9.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •14. Производная ф-ции. Смысл.
- •16. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •19.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •21,22.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •23.Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •25.Определённый интеграл. Его свойства.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •27.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •28.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •59.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •60. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:
- •64. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
- •38.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •40,42..Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •43. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •35. Линейная комбинация рядов
- •36. Сравнение,даламбера,интегральный признак, лейбница.
- •40. Доказательство расходимости Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
- •44. Разложение основных элементарных функций.
- •47. Функции нескольких переменных
- •7°. Важное геометрическое свойство. Равен площади области d (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости
- •65. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
- •15. Производная суммы (разности) функций
- •63. Теорема (о структуре общего решения лнду):
9.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
Если для каждого элмента из некоторого множества взаимнооднозначно сопоставлено натуральное число (т.е. задан номер), то говорят, что задана последовательность{xn}, xn – общий элемент последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер N=N(ε)>0 такой, что для всех номеров n>N выполняется неравенство | xn –A| < ε. . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
12,13.
14. Производная ф-ции. Смысл.
Производной ф-ции y=f(x) в тч. Х0 наз. предел отношения приращения этой ф-ции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю.
Формула выражает геометрический смысл производной: производная от данной ф. в данной точке = tg угла наклона касательной графика ф-ции в этой тчк. Производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной. Пусть y(x) – ф-ция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением . Производная выражает предельные издержки производства. Величину Mf(x) = y' наз. мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определ. предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и др. предельные величины.
Правила дифференцирования: 1.Производная сум.(разности) двух дифференц-ых ф-ций =сумме(разности) производных этих ф-ций
2.Производная произведения двух диффиренц-ых ф-ций = произведению первой ф-ции на роизводную второй + произведение второй ф-ции на производную первой:
3.Производная частного двух дифференц-ых ф-ций определ. формулой:
где
16. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
Производная сложной ф.:Если и -дифференцируемые ф. своих аргументов, то производная сложной ф. сущ. и равна произведению производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного по независимой переменной, т.е.
, .
П роизводная обратной ф.:Если y=f(x) и - взимно-обратые дифференцируемые ф-ции и ,то Действительно,т.к. ,то
17.
Таблица производной
, , , , , ,
, ,
, , ,
,
19.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
Функция F называвается первообразной для функции А на некотором промежутке X,если любое x€X, (x)=f(x)
Задача об отыскании первообразной от данной ф. f решается неоднозначно.
F (x)=f(x)
(F(x)+C) =F (x)+C =f(x)
Теорема. Если F (x) и F (x)-две любые первообразные для функции f на промежутке X, то они могут отличаться лишь на постоянную,т.е.F (x)-F (x)=C=const.
Доказательство.
Пусть F и F -первообразные функции f.
Рассмотрим производную разности:
( (x)- (x))`= (x)- (x)=f(x)-f(x)≡0.
(x)- (x)=const.
Ч.Т.Д.
(x) – первообразная ф. f, то множество всех её первообразных имеет вид F(x)+C.
Определение. Множество всех первообразных ф.f(x) называется неопредел. интегралом ф. f(x) и обозн. ∫f(x)dx.
Ф-ция f(x) наз. подынтегральной функцией.
Выраж. f(x)dx наз. подынтегральн. выраж.
x- переменная интегрир.
Если F(x)-первообр.ф. f(x), то неопр. интегр.- ∫f(x)dx=F(x)+C.
Основные свойства неопр. интегралов:
1.Производная неопр. интеграла равна подынтегр. ф-ции; дифференциал неопр. интеграла равен подынтегр. выраж.: ( f(x)dx)`=f(x), d =f(x)dx.
2.Неопр. интеграл от дифференциала некот. функции с точностью до пост. Слагаемого: = +С.
Док – во:
Пусть (x)= (x)dx=F(x).На основании 1св-ва получ.: (x)=F`(x), откуда F(x)= (x)+C,т.е. (x)= (x)+C.
3.Пост. множитель можно вынос. за знак неопр. интегр: =k (k=const,k 0).
4.Если функция (x) и (x) имеют первообр. , то ф-ции (x) + (x) тоже имеют первообр.,причем (x)+ (x) dx= (x)dx+ (x)dx.