- •6.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •30.Угол между 2-мя прямыми.
- •18.Скалярные и векторные величины.
- •3. Проекция вектора на ось
- •8.Уравнение прямой в пространстве
- •4. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по данному базису.
- •1. Матрица. Операции над матрицами.
- •2.Операции над матрицами:
- •2. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •9.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •14. Производная ф-ции. Смысл.
- •16. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •19.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •21,22.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •23.Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •25.Определённый интеграл. Его свойства.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •27.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •28.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •59.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •60. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:
- •64. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
- •38.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •40,42..Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •43. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •35. Линейная комбинация рядов
- •36. Сравнение,даламбера,интегральный признак, лейбница.
- •40. Доказательство расходимости Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
- •44. Разложение основных элементарных функций.
- •47. Функции нескольких переменных
- •7°. Важное геометрическое свойство. Равен площади области d (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости
- •65. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
- •15. Производная суммы (разности) функций
- •63. Теорема (о структуре общего решения лнду):
1. Матрица. Операции над матрицами.
П рямоугольная таблица составленная из mxn элементов aij, где i= =1,2,3,…,m, j= некоторого множества называется матрицей и записывается в виде:
A=
Элементы матрицы нумеруются 2-мя индексами:
i – означает номер строки
j – номер столбца
на пересечении которых стоит элемент.
Если у матрицы m строк и n столбцов, и говорят, что её размерность mxn. (Аmxn)
Матрицы наз. равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы равны.
Аmxn= Вmxn, если aij=bij
Если в матрице число строк равно числу столбцов (т = п), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.
Если m=1 получается матрица-строка (вектор-строка). Если n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец).
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. (А1х1)
Квадратная матрица, у кот. все элементы, кроме элементов aij, равны нулю наз. диагональной (элементы aij могут быть равны, где i=1,n, при этом элементы aij составляют главную диагональ кв. матрицы, а вторая диагональ наз. побочной).
Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).
Матрица, у кот. все элементы равны 0, наз. нулевой (О).
2.Операции над матрицами:
1) Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно складывать.
Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Так, если
то их суммой является матрица
2) Произведение матрицы на число. Произведением матрицы А на число А, называется матрица В, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А. (bij= λ • aij). Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.
3) Произведение матриц Аmxn и Вnxp назыв. матрица С размерности Сmxp, каждый элемент которой cij = ai1 • bij + ai2 • b2j + ai3 • b3j + ain •bnj.
Если АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными или коммутирующими.
Обратная матрица и её вычисления.
Если определитель матрицы А, равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в противном случае матрица А называется невырожденной.
Если А — квадратная невырожденная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая А-1 и удовлетворяющая условиям:
А•А-1= А-1•А = Е, где Е— единичная матрица.
Для невырожденной матрицы А всегда сущ. Единственная обратная матрица А-1 , кот. определяется формулой:
А-1 = × A*,
2. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
Метод Гаусса: Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
a11 x1+a12 x2+ . . .+a1n xn=a1n+1
a21 x1+a22 x2+ . . .+a2n xn=a2n+1
. . . .
an1 x1+an2 x2+ . . .+ann xn=ann+1
Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x1. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a11 отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a11, получим:
x1+b12 x2+ . . .+b1n xn=b1n+1
При помощи этого уравнения исключаем x1 из исходной системы:
a(1)22 x2+a(1)23 x3+ . . .+a(1)2n xn=a(1)2n+1
. . . .
a(1)n2 x2+a(1)n3 x3+ . . .+a(1)nn xn=a(1)nn+1
где
a(1)i j=ai j-ai 1b1 j, i,j= 2...n
Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:
x1+с12 x2+ . . .+с1n xn=с1n+1
x2+ . . .+c2n xn=c2n+1
. . . .
xn=cnn+1
Теперь легко определить xn,xn-1, . . ., x1.
Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S=0 иначе S=1 и решения находятся в массиве X.