7°. Важное геометрическое свойство. Равен площади области d (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости

68. Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие   и заданные набором равенств и неравенств.

Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

1. Допустимое множество — множество  ;

2. Целевую функцию — отображение  ;

3. Критерий поиска (max или min).

Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации.

В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. 

65. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить степенным рядом: Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.

66. Метод малого параметра. Точные значения малого параметра называются особыми. Метод позволяет находить, когда решение малого параметра близко к особому

y’=y(лямбда, x)

67. Метод Эйлера. Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция   определена на некоторой области  . Решение разыскивается на интервале  . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах  , которое обозначим через   определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Рунге-Кутта. Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка следующего вида:

которые имеют решение:

где t - независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. - искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. - заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно диф. уравнение - частный случай системы с одним элементом. Поэтому, далее речь пойдет для определенности о системе уравнений.

Метод может быть полезен и для решения диф. уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они могут быть представлены системой диф. уравнений первого порядка.

Меnод ориентирован на трех переменных ряда маклорена!

y_n+1=y_n+h f(x_n+0,5h,y_n+0,5hf_n)

7. Плоскость в пространстве. В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается линейным уравнением

Ax + By + Cz + D = 0, A² + B² + C² ≠ 0.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Вектор N = (A, B, C) = A·i + B·j + C·k — нормальный вектор плосокости, он перпендикулярен любой прямой, принадлежащей плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору N = (A, B, C) имеет вид

A(x −x₀)+ B(y −y₀) + C(z −z₀) = 0.

Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.

Виды уравнения плоскости в пространстве. Неполные уравнения плоскости.

   Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.