6.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой.

Ур-ние прямой, проходящей через 2 точки. Ур-ние прямой в отрезках.

30.Угол между 2-мя прямыми.

18.Скалярные и векторные величины.

Скалярное произведение 2-ух векторов и его свойства

Скалярным поизведением ā и đ назыв число ā*đ равное |ā|*|đ|*cos(ā;đ), где (ā;đ) – наименьший угол между направл ā и đ.

Свойства:

1. ā*đ=đ*ā

2. (λ*ā)*đ=ā*(λ*đ)=λ*(ā*đ)

3. ā*(đ+ē)=ā*đ+ā*ē

4. ā*đ=|ā|*ПР_āđ=|đ|*ПР_đā

5. ā*ā=ā²=|ā|²

6. Если ā и đ ненулевые, то ā*đ=0 (ā┴đ)

7. Пусть в отронормиров базисе

ā=(x₁,y₁,z₁)

đ=( x₂,y₂,z₂)

ā *đ= x₁* x₂+ y₁* y₂+ z1*z2

|ā|=

3. Проекция вектора на ось

Выражение «проекция вектора АВ на ось ОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометриче­ском и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ называется вектор А'В' , начало которо­го А' есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В' — проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: Пр_ох АВ или, короче, Пр АВ . Если ось ОХ задана вектором с, то вектор А'В' на­зывается также проекцией вектора АВ на направле­ние вектора с и обозначается Пр_с АВ .

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ на­зывается также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора А'В', взятая со знаком + или -, смотря по то­му, имеет ли вектор А'В' то же направление, что и ось ОХ (вектор с), или противоположное.

Обозначение: пр_ох АВ или пр_с АВ .

Замечание. Геометрическая проекция (компо­нента) вектора есть вектор, а алгебраическая проек­ция вектора есть число.

Основные теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на ка­кую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векто­ров на ту же ось.

Теорема справедлива при обоих смыслах термина «проекция вектора» и при любом числе слагаемых; так, при трех слагаемых

Пр (а₁+ а₂ + а₃) = Пр а₁ + Пр а₂ + Пр а₃ (1) и

np(а₁ + а₂ + а₃) = пра₁ + пра₂ + пра₃. (2)

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

пр. b = |b| cos (а^b). (3)

8.Уравнение прямой в пространстве

1.Кононическое ур-ние прямой(по точке и направленному вектору): Рассмотрим М. Для того, чтобы М принадлежала прямой нужно ⃓⃓ М₀М=(x-x₀, y-y₀, z-z₀) t= = = . Знаменатель может превращаться в 0(символическая запись)

2.Параметрическое уравнение:

=>

3.Ур-ние по 2 точкам: М Є прямой, когда М₁М₂⃓⃓ М₁М. М₁М₂=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), М₁М=(x-x₁, y-y₁, z-z₁)

= = .

4. Общее ур-ние прямой: , n₁ не ⃓⃓ n₂, ⊥ ₁, ⊥ ₂

Угол прямыми: .

⃓⃓ =

⊥ a₁×a₂=0m₁×m₂+n_1×n₂+p₁×p₂.

4. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по данному базису.

Любые колениарные векторы,3 комплонарных вектора,4-и более векторов в трёхмерном пространстве всегда линейнозависимы. 3 упорядоченных линейно-независимых вектора _{1 2 3} наз. базисом. Упорядоченная тройка некомплонарных векторов всегда образует базис трёхмерного пространства. Неколинеарная пара упорядоченных векторов образует базис двухмерного пространства. В n-мерном пространстве любая упорядоченная линейно-независимая система n-векторов образует базис. Любой вектор можно разложить в виде линейной комбинации базисных векторов. =x ₁+y ₂+z ₃, где x,y,z наз. координатами вектора в базисе ₁, ₂, _3.Базис наз. ортонормированным, если его векторы взаимноперпендикулярны и имеют единую длину. Такой базис обозначают , , .