- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления
- •2.7. Функции нескольких переменных
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Предел функции
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Дифференцирование сложных и неявных функций Случай одной независимой переменной
- •Случай нескольких независимых переменных
- •Дифференциал сложной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Решение
1. Построим (рисунок 44).
Рисунок 44
2. Находим стационарные точки из следующей системы:
Откуда х = 1, у = 3. Получим одну стационарную точку М1(1; 3), которая лежит в области
Итак,
3. Исследуем данную функцию на границе области состоящей из участков ОВ, ВА, АО. Кроме того, необходимо учесть и концы отрезков, т. е. точки О, В, А:
Составим уравнения для ОВ: х = 0.
Подставим его в z:
Получили функцию одной переменной, которую исследуем на экстремум.
Находим Следовательно, на ОВ нет стационарных точек.
На концах отрезка ОВ
· Аналогично все точки прямой ВА удовлетворяют уравнению у = 4.
Тогда На ВА нет стационарных точек.
В точке А:
· Уравнение прямой АО имеет вид у = х.
Тогда Тогда
Итак, М2(2; 2) – стационарная точка.
На концах отрезка АО значения функции уже найдены.
4. Сравнивая все полученные значения функции z, заключаем, что достигается в точках B(0; 4) и М2(2; 2), а – в точках O(0; 0) и A(4; 4).
Эмпирические формулы
При анализе экономических процессов часто приходится решать задачу приближенного представления (аппроксимации) заданных функций другими, более простыми.
Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы 1, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистических данных за ряд лет и т. п.
Таблица 1
x |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
y |
y1 |
y2 |
… |
yi |
… |
yn |
Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т. е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависи- мость стремятся представить в виде формулы y = f(x).
Формула y = f(x), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической.
Выбор эмпирической функции зависит от теоретических исследований и характера расположения на плоскости Oxy экспериментальных точек
Обычно для экономических исследований достаточно одной из шести следующих формул:
1) – линейная;
2) – параболическая;
3) – гиперболическая;
4) – показательная;
5) – экспоненциальная.
Выбранная для приближения формула называется теоретической.
После выбора вида формулы требуется найти значения определяющих ее параметров таким образом, чтобы отклонения значений функции от экспериментальных значений были минимальными (a, b, c).
Суть метода наименьших квадратов изложим на примере линейной зависимости где параметры подлежат определению из системы нормальных уравнений
(5)
В случае квадратичной зависимости параметры определяют из нормальной системы
(6)
Пример 26. Результаты измерений величин x и y приведены в таблице 2.
Таблица 2
x |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
5,6 |
5 |
4,3 |
4 |
3,6 |
3 |