Достаточные условия экстремума

Пусть в стационарной точке (x₀; y₀) и некоторой ее окрестности функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x₀; y₀) значения

Обозначим:

Тогда:

1) если   0, то функция z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) имеет экстремум:

 локальный максимум, если А  0 (или С  0);

 локальный минимум, если А  0 (или С  0);

2) если   0, то функция z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) экстремума не имеет;

3) если  = 0, то экстремум в точке (x₀; y₀) может быть, может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на локальный экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции и

2. Решить систему уравнений и найти стационарные точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример 23. Исследовать на экстремум функцию

Решение

1. Находим частные производные

2. Находим стационарные точки функции из системы

Итак, (0; 2) – единственная стационарная точка.

3. Находим частные производные второго порядка

Имеем

Так как   0, функция имеет экстремум, причем A = 2  0, следовательно, это локальный минимум.

4. Находим минимум функции

Тест 14. Пусть то функция f(x; y) в точке M(x; y) имеет локальный максимум, если:

1)

2)

3)

4)

5)

Условный экстремум

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x; y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию (x; y) = 0.

Экстремум функции z = f(x; y), найденный при условии j(x; y) = 0, называется условным. Уравнение j(x; y) = 0 называется уравнением связи.

Если из уравнения связи j(x; y) = 0 найти y = y(x) и подставить в функцию z = f(x; y), то задача отыскания условного экстремума сводится к нахождению экстремума функции одной переменной z = f(x; y(x)).

Пример 24. Найти экстремум функции z = x ² – y ² при условии, что 2x – y – 6 = 0.

Решение

1. Из уравнения связи

2. Подставив в данную функцию, получим функцию одной переменной x

3. Находим

т. е. –6х + 24 = 0, х = 4.

Тогда

Итак, M(4; 2) – стационарная точка.

4. Так как то в точке M(4; 2) данная функция достигает условного максимума.

5. 

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)

Множество называется замкнутым, если оно включает все свои граничные точки, т. е. точки, окрестности которых содержат точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Пусть функция z = f(x; y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области или в точках, лежащих на границе области.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в необходимо:

1. Найти стационарные точки функции, принадлежащие и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x; y) на границах области.

Добавим, что, как правило, граница состоит из совокупности отдельных участков, на каждом из которых задача сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной , где i – номер участка, а t – независимая переменная на этом участке, которая может совпасть с x или y либо быть отдельным параметром.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример 25. Найти глобальный экстремум функции в замкнутой области