Ответы на тестовые задания
Номер теста |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Правильный ответ |
3 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2.3. Непрерывные функции одной переменной
Функция y
= f(x)
называется непрерывной в точке x0,
если она определена в некоторой
окрестности точки x0
и
f(x)
= f(x0).
Это определение содержит следующие четыре условия непрерывности:
1) y = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x0;
2) должны
существовать конечные пределы f(x0
+ 0) =
f(x)
и f(x0
– 0) =
f(x)
(пределы
справа и слева − односторонние пределы);
3) односторонние пределы должны быть одинаковыми;
4) эти пределы должны быть равны f(x0).
Если не выполняется хотя бы одно из условий 1–4, то функция имеет разрыв в точке x0.
Функция непрерывна в точке x0 справа, если выполняется условие
=
В противном случае
функция имеет разрыв в точке
справа.
Функция непрерывна в точке слева, если имеет место равенство
=
В противном случае функция имеет разрыв в точке слева.
Из условий 2–4 следует, что если функция непрерывна в точке x0, то она непрерывна в этой же точке справа и слева.
Критерий непрерывности функции
Функция y = f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
=
Пример 1. Доказать, что функция f(x) = x2 – 1 непрерывна в точке x = 4.
Доказательство. Найдем значение функции в точке x = 4, f(4) = 15.
Вычислим предел:
–
= 16 – 1 = 15.
Получили, что предел функции в точке x = 4 равен значению функции в этой точке. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.
Пример 2.
Доказать, что функция f(x)
=
непрерывна
в точке x
= 0.
Доказательство.
По условию f(0) = 0.
Произведение x sin
при
x
0 есть бесконечно малая величина как
произведение бесконечно малой x
на ограниченную величину sin
Предел бесконечно малой равен нулю,
следовательно,
Получили, что
т. е. данная функция непрерывна в точке
x
= 0.
Пример 3.
Доказать, что функция f(x)=
имеет
разрыв в точке x
= 1.
Доказательство. Значение функции в точке x = 1 есть f(1) = 1.
Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1:
=
=
Получили, что в точке x = 1 предел слева не равен пределу справа, т. е. в этой точке предела не существует и функция при x = 1 имеет разрыв (рисунок 27).
Рисунок 27
Тест 1.
Функция f(x)=
1) имеет одну точку разрыва;
2) имеет две точки разрыва;
3) является непрерывной.
Тест 2.
Функция f(x)=
1) имеет одну точку разрыва;
2) имеет две точки разрыва;
3) является непрерывной.
Тест 3.
Точкой разрыва функции f(x)=
является:
1) 1;
2) 2;
3) –1;
4) –2.
Тест 4.
Точками
разрыва функции f(x)=
являются:
1) 4, 3;
2) 16, 9;
3) 4, –4;
4) 3, –3.
Тест 5.
Точкой разрыва функции f(x)
=
является:
1) 1;
2) 2;
3) 0;
4) нет точек разрыва.
Тест 6.
Точкой разрыва функции f(x)=
является:
1) 5;
2) 2;
3) 3;
4) нет точек разрыва.