Производная сложной функции
Есть функция y = f(u), где и = j(x).
Функция, заданная формулой y = f((x)), называется сложной функцией.
Пример
4.
Функция f(x)
= 2x2+1
– сложная: f(u)
= 2u,
= x2
+ 1.
Если функция (x) дифференцируема в точке x, а функция f(u) – в точке u = (x), то сложная функция y = f((x)) тоже дифференцируема и справедлива теорема, представленная ниже.
Теорема. Производную сложной функции y = f((x)) можно найти по формуле
Пример 5.
Найти производную функции
Решение
Пусть
тогда
По теореме о производной сложной функции
Тогда
Тест 4.
Производная
функции
равна:
1)
2)
3)
4)
5)
Производная обратной функции
Пусть
y
= f(x)
– непрерывная и возрастающая на [a;
b].
Значит, на этом промежутке она имеет
обратную функцию
Теорема.
Если функция y
= f(x)
определена, непрерывна и монотонна на
[a;
b]
и в точке
[a;
b]
имеет производную
то обратная функция x
= (y)
имеет производную в точке y0
= f(x0)
которую
можно найти по формуле
т. е. производная обратной функции равна
обратной величине производной данной
функции.
Пример
6.
Пользуясь правилом дифференцирования
обратной функции,
найти производную
для функции
.
Решение
Находим обратную
функцию. Так как
то y3
= x
– 1. Значит,
.
Обратная функция
имеет производную
Следовательно,
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пример 7.
Найти производную функции
Решение
Логарифмируя
данное равенство по основанию e,
получаем
Дифференцируя
полученное равенство, находим
,
откуда
Подставляем
и получаем
Дифференцирование неявных функций
Если функция задана уравнением y = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.
Под
неявным заданием функции понимают
задание функции в виде уравнения F(x;
y)
= 0, неразрешенного относительно y.
Например,
y
+ 2x
+ cos y
– 1 = 0 или
Для
нахождения производной неявной функции
необходимо продифференцировать это
уравнение по
x,
рассматривая при
этом
y
как функцию
x,
и
затем полученное уравнение
разрешить
относительно
Пример 8. Найти
производную функции y,
заданную уравнением
Решение
Функция у задана неявно. Дифференцируем по x равенство x3 + y3 – – 3xy = 0
Из последнего
соотношения следует, что
.
Производная высших порядков
Производная
функции y
= f(x)
есть также функция x
и называется производной
первого порядка.
Если
функция
дифференцируема, то ее производная
называется
производной
второго порядка
и обозначается
или
Производная от
производной второго порядка, если она
существует, называется производной
третьего порядка
и обозначается
или
Производной n-го
порядка (или n-й
производной) называется производная
от производной (n
–1)
порядка:
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Пример 9.
Найти
вторую производную функции
Решение
Находим первую производную функции
Дифференцируем еще раз
Тест 5.
Производная
третьего порядка функции
равна:
1) 16x;
2) (16х)3;
3)
4)
5) 0.