- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления
- •2.7. Функции нескольких переменных
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Предел функции
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Дифференцирование сложных и неявных функций Случай одной независимой переменной
- •Случай нескольких независимых переменных
- •Дифференциал сложной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Решение
Считая постоянным, найдем производную по x
Считая постоянным и дифференцируя по y, находим
Полный дифференциал:
Пример 12. Вычислить 1,073,97.
Решение
Число есть частное значение функции f(x; y) = xy при x = 1,07, y = 3,97. Известно, что f(1; 4) = 1. Поэтому принимаем x0 = 1, y0 = 4. Тогда y = y – y0 = 3,97 – 4 = –0,03.
Так как то
Тест 7. Частная производная функции равна:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 8. Полный дифференциал функции z = x2 – 4y равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка
Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков. Запись означает, что функция z k раз продифференцирована по переменной x и раз по переменной y.
Частные производные и называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.
Полный дифференциал второго порядка d 2z функции z = f(x; y) выражается формулой
Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии
Пример 13. Найти частные производные второго порядка функции
Решение
Вначале найдем частные производные первого порядка
Продифференцировав их еще раз, получим
Сравнивая последние два выражения, видим, что
Пример 14. Найти полный дифференциал второго порядка функции
Решение
Находим частные производные второго порядка
Следовательно,
Тест 9. Частная производная второго порядка функции равна:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 10. Частная производная второго порядка функции z = 7x2y – 4y2 равна:
1) 0;
2) 14xy;
3) 14x;
4) 7x2y;
5) –8y.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть M0(x0; y0; z0) – фиксированная точка на поверхности, заданной функцией z = f(x; y) или уравнением F(x; y; z) = 0.
Касательной плоскостью к поверхности в точке M0 называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности через точку M0.
Нормалью называется прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно касательной плоскости.
Из определений следует, что нормальный вектор касательной плоскости и направляющий вектор нормали совпадают.
Если поверхность задана уравнением z = f(x; y), то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0; y0; z0) к данной поверхности имеет вид
(1)
а канонические уравнения нормали, проведенной через точку M0(x0; y0; z0) поверхности, имеют вид
(2)
В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде: F(x; y; z) = 0 и F(x0; y0; z0) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0; y0; z0) имеет вид
(3)
а уравнение нормали
(4)
Пример 15. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке M0(1; 2; –1).
Решение
Вычисляем значения частных производных в точке M0(1; 2; –1)
Подставляя их в уравнения (3) и (4), получаем соответственно уравнение касательной плоскости: канонические уравнения нормали:
Тест 11. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке P0(2; –3; 2) имеет следующий вид:
1)
2)
3)
4)
5)