Задача Коши для уравнения первого порядка

Как уже было сказано, общим решением уравнения (29.2) является все множество функций, обращающих при подстановке рассматриваемое уравнение в тождество. Пусть теперь требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию

у (х₀) = у₀ , (29.3)

называемому начальным условием. Если общее решение уравнения (29.2) задается формулой

у = φ (х, С), (29.4)

то значение постоянной С, соответствующее поставленному начальному условию, можно определить, подставив в равенство (29.4) х = х₀ и у = у₀.

Определение Задача выбора из общего решения (29.4) уравнения (29.2) решения, удовлетворяющего начальному условию (29.3), называется задачей Коши, а выбранное решение называется частным решением уравнения (29.2).

Замечание. Если воспринимать множество всех решений уравнения (29.2) как множество интегральных кривых на плоскости, то ставится задача поиска той из них, которая проходит через точку с координатами (х₀ , у₀).

Выясним, при каких условиях такая кривая существует и является единственной.

Теорема существования и единственности задачи Коши

Теорема Коши. Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную у' в области D, то решение дифференциального уравнения при начальном условии существует и единственно, т.е. через точку проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого; условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С= ± ).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде . Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у=1 и у =-1, которые и будут особыми решениями.

Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида

f₂(y)dy = f₁(x)dx (30.1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Тогда любое решение у(х) этого уравнения будет удовлетворять и уравнению

, (30.2)

где с – произвольная постоянная. Если удается найти первообразные функций f₁(x) и f₂(y), выраженные в элементарных функциях, то из (38.2) можно получить конечное уравнение вида

Ф (х , у) = 0, (30.3)

которое определяет решение уравнения (30.1) как неявную функцию х.

Определение Уравнение вида (30.3) называется интегралом уравнения (30.1), а если оно определяет все решения (30.1) – общим интегралом этого уравнения.

Пример.

. Приведем уравнение к виду (30.1): , откуда . Проинтегрируем обе части равенства: . Полученное уравнение можно считать общим интегралом или решением исходного уравнения.

Если требуется найти частное решение уравнения (30.1), удовлетворяющее условию у(х₀)=у₀ , достаточно подставить значения х₀ и у₀ в уравнение (30.3) и найти значение с, соответствующее начальному условию.

Пример.

Найти решение уравнения y′ctg x + y = 2, удовлетворяющее условию у(0) = -1.

Разделим переменные: , -ln | 2 – y | = -ln | cos x | - ln | c |,

2 – y = c• cos x. Подставив в это равенство х = 0 и у = -1, получим, что с = 3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: y = 2 – 3cos x.