Глухов Ю.П. Конспект
лекций по высшей математике. Лекция
№ 36
Лекция 36 тема: Дифференциальные уравнения. Однородные уравнения
План.
Однородные уравнения.
Подстановка Бернулли.
Метод Лагранжа
Уравнение в полных дифференциалах
Особые точки и особые решения.
1. Однородные уравнения
Определение. Функция f(x,y) называется однородной функцией n-порядка относительно переменных x и y, если при любом t выполняется тождество
Пример. -однородная функция первого порядка, т.к.
Пример. -однородная функция второго порядка, т.к.
Пример. -однородная функция нулевого порядка, т.к.
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид:
. (31.1)
Действительно, замена или y = xt приводит к
Еще одной формой однородного уравнения является уравнение
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, (31.2)
если М(х,у) и N(x,y) – однородные функции одинаковой степени однородности. При этом .
Пример
y² + x²y′ = xyy′.
Решение.
Преобразуем уравнение к виду (31.1): y′(xy – x²) = y², ,
. После замены y = xt получим:
, t – ln | t | = ln | x | + ln |C| , , .
В однородные можно преобразовать и уравнения вида
(31.3)
с помощью замены Х = х – х1 , Y = y – y1 , где х1 , у1 – решение системы уравнений
a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0.
(C геометрической точки зрения производится перенос начала координат в точку пересечения прямых a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0). Тогда, поскольку , в новых переменных уравнение примет вид:
или - однородное уравнение.
Пример
(у + 2) dx = (2x + y – 4)dy.
Решение.
Запишем уравнение в виде . Решением системы у + 2 = 0, 2х + у – 4 = 0 будут х1 = 3, у1 = -2. В новых переменных Х = х – 3,
Y = y + 2 получим однородное уравнение , которое можно решить с помощью обычной замены Y = Xt. Тогда , ,
, и после обратной замены общий интеграл выглядит так: . Заметим, в это общее решение входит при С=0 и частное решение у = 1 – х, которое могло быть потеряно при делении на у + х –1.
Линейные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
, (32.1)
линейное относительно неизвестной функции у(х) и ее производной. При этом будем предполагать, что р(х) и f(x) непрерывны.
В случае, когда f(x) ≡ 0, уравнение (32.1) называется однородным. Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
, откуда . (32.2)
При делении на у могло быть потеряно решение у = 0, но оно входит в общее решение при С = 0.