1. Подстановка Бернулли

Ищем решение уравнения (32.1) в виде произведения двух функций от x:

(32.3)

. (32.4)

Подставив (32.3) и (32.4) в (32.1), получим

;

. (32.5)

Выберем функцию v так, чтобы

(32.6)

Так как нам достаточно любого отличного от нуля решения уравнения (32.6), то в качестве функции возьмем Подставляя найденное значение v в (32.5) получим

Подставляя u(x) и v(x) в (32.3) получим решение неоднородного уравнения

(32.7)

Пример

Решить уравнение

Решение

2. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Для решения неоднородного уравнения (32.1) применим метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Предположим, что общее решение уравнения (32.1) имеет форму (32.2), в которой С – не постоянная, а неизвестная функция аргумента х: .

Тогда . Подставив эти выражения в уравнение (32.1), получим: + р(х) = f(x), откуда

(32.8)

Замечание. При решении конкретных задач удобнее не использовать в готовом виде формулу (32.8), а проводить все указанные преобразования последовательно.

Пример

Найдем общее решение уравнения у′ = 2 х (х² + y).

Решение.

Представим уравнение в виде:

y′ - 2xy = 2x³

и решим соответствующее однородное уравнение:

y′ - 2xy = 0.

.

Применим метод вариации постоянных: пусть решение неоднородного уравнения имеет вид:

, тогда .

Подставим полученные выражения в уравнение: . Следовательно, ,

При этом общее решение исходного уравнения .

К линейным уравнениям можно свести с помощью замены некоторые другие дифференциальные уравнения, например, уравнение Бернулли:

(32.9)

Разделив на у^п, получим: , а замена z = y^1-n , приводит к линейному уравнению относительно z:

.

Пример

Решение.

.

Сделаем замену:

. Относительно z уравнение стало линейным: .

Решим однородное уравнение:

.

Применим метод вариации постоянных:

.

Подставим эти результаты в неоднородное уравнение:

Окончательно получаем:

Дополним это общее решение частным решением у = 0, потерянным при делении на у⁴.

3. Уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(32.10)

Если левая часть этого уравнения – полный дифференциал

(32.11)

некоторой функции u(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах.

Для того, чтобы убедиться, что уравнение (32.10) является уравнением в полных дифференциалах, сравним (32.10) и (32.11). В результате получим

Взяв частные производные от М по y, а от N по x и применив теорему о независимости смешанной производной от последовательности дифференцирования, найдем

(32.12)

условие принадлежности (32.10) к уравнениям в полных дифференциалах. Таким образом, решение уравнения (32.10) нужно начинать с проверки условия (32.12).

Пусть условие (32.12) выполняется, тога уравнение (32.10) можно записать в виде , и его общий интеграл т.е. все сводится к нахождению функции u(x,y). Для этого про интегрируем выражение от до x:

Полученное выражение про дифференцируем по y:

и воспользуемся условием (32.12)

откуда Интегрируем полученное выражение от до y:

(32.13)

На основании (32.13) получаем полный интеграл уравнения в полных дифференциалах:

(32.14)

Пример

Найти общее решение уравнения

Решение.

Проверяем выполнение условия (32.12):

после чего на основании (32.14) имеем:

откуда общий интеграл имеет вид