Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 29 6

Лекция 35 тема: Дифференциальные уравнения

План.

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины.

3. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши.

4. Уравнения с разделяющимися переменными.

5. Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.

При решении большинства задач математики, естествознания и техники непосредственно установить закон, связывающий искомые и данные переменные величины, как правило, не удается вследствие его сложности или отсутствия информации о поведении искомых величин, но зато удается получить связи между производными или дифференциалами этих переменных, выражаемые уравнениями или системами уравнений

Определение. Уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Подобными уравнениями описываются многие физические явления и процессы.

Дифференциальное уравнение - мощное средство математического моделирования процессов окружающей нас действительности, широкое использование которых обусловлено как относительной простотой установления дифференциальных связей между исследуемыми величинами (в основном благодаря линеаризации этих связей), так и универсальность их применения

Примеры.

1) - уравнение радиоактивного распада ( k – постоянная распада, х – количество неразложившегося вещества в момент времени t, скорость распада пропорциональна количеству распадающегося вещества).

2) - уравнение движения точки массы т под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки, определяемого радиус-вектором r, и ее скорости . Сила равна произведению массы на ускорение.

3) - уравнение Пуассона, задающее зависимость между многими физическими величинами. Например, можно считать, что u(x,y,z) – потенциал электростатического поля, а ρ(x,y,z) – плотность зарядов.

Мы будем рассматривать уравнения, где неизвестная функция является функцией одной переменной. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Определение Уравнение вида

(29.1)

называется обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка. При этом порядком уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной.

Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независмых переменных две или больше , то уравнение называется уравнением в частных производных.

Определение Функция, которая при подстановке в уравнение (29.1) обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнения вида .

Если это уравнение можно решить относительно у', то его можно записать в виде

_(29.2) .

Определение Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области D называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству;

2) для любого начального условия такого, что , существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Таким образом, общему решению на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра - произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию , - кривая этого семейства, проходящая через заданную точку.