- •2.23. Плоскость и гиперплоскость
- •Прямая линия
- •Линейные операторы
- •2.26. Матрица линейного оператора в заданном базисе
- •Оператор проектирования (р)
- •Оператор гомотетии6 (н)
- •2.28. Геометрический смысл матрицы линейного оператора
- •2.29. Действия с операторами
- •Сложение операторов
- •Умножение оператора на число
- •Произведение операторов
- •Обратный оператор
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.30. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.31. Самосопряженные операторы. Симметричные матрицы
- •2.32. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.33. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.34. Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный
- •2.35. Квадратичные формы
- •2.35.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.35.2. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду
Задание для самостоятельного решения
Найти собственные значения и собственные векторы оператора проектирования на плоскость Охy в пространстве .
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:
а) б)
2.33. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса
Как известно, матрица линейного оператора А однозначно определяется совокупностью образов базисных векторов. При изменении базиса матрица оператора также может изменяться. Выясним, как это происходит.
Пусть некоторый базис в n-мерном линейном пространстве , а другой базис того же пространства. Условимся называть базис старым, а новым.
Запишем разложение векторов нового базиса в старом базисе
(2.33.1)
Равенства (2.33.1) можно записать в матричной форме
где (2.33.2)
Матрица является матрицей перехода от старого базиса к новому, причем, , поскольку векторы должны однозначно выражаться через .
Обозначим координаты одного и того же вектора в старом базисе через , а в новом через . Учитывая разложение в старом и новом базисах, имеем
(2.33.2)
Используя разложения (2.33.1) в виде , перепишем равенство (2.33.2) следующим образом:
.
Из последнего следует, что
т.е. . (2.33.3)
В матричной форме соотношение (33.3) принимает вид
, (2.33.4)
где и матрицы-столбцы с элементами и соответственно. Из формулы (2.33.4) находим
(2.33.5)
Матрицу называют контраградиентной7 по отношению к матрице .
Учитывая полученные формулы преобразования координат вектора при изменении базиса, найдем формулу преобразования матрицы оператора А.
(2.33.6)
Таким образом, оператору, имеющему в старом базисе матрицу , в новом базисе соответствует оператор с матрицей . Если новый базис (т.е. матрицу ) выбрать удачно, то в новом базисе матрица может принять более простой вид (см. пример из п. 2.32).
Задание для самостоятельного решения
Найти матрицу оператора А, заданного в базисе матрицей
в новом базисе
В пространстве оператор А в базисе имеет матрицу
Оператор в базисе имеет матрицу
Найти матрицу оператора в базисе
В базисе оператор А имеет матрицу
.
Записать матрицу этого оператора в новом базисе
2.34. Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный
Пусть теперь и ортонормированные старый и новый базисы в евклидовом пространстве. Тогда имеем
(2.34.1)
Отсюда следует, что
т.е. матрица обладает свойством ортонормированности по строкам:
. (2.34.2)
Очевидно, что
. (2.34.3)
Запишем теперь обратное по отношению к (2.34.1) преобразование:
(2.34.4)
где .
Очевидно,что
(2.34.5)
Сравнивая (2.34.5) с (2.34.3), получим
т.е. , или
. (2.34.6)
Так как матрица ортогональна по строкам (см. (2.34.4)), то матрица ортогональна по столбцам. Таким образом, свойство ортогональности имеет место одновременно и по строкам, и по столбцам. На этом основании введем понятие ортогональной матрицы.
Квадратная матрица называется ортогональной, если для ее элементов выполняются условия
Замечательное свойство ортогональных матриц выражено формулой (2.34.6): обратная матрица для ортогональной матрицы совпадает с транспонированной матрицей.
Другое замечательное свойство ортогональных матриц сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 1. При преобразовании ортонормированного базиса в ортонор –
мированный скалярные произведения векторов не изменяются.
Для доказательства рассмотрим координаты двух произвольных векторов х и у в старом и новом базисе
Связь координат вектора в старом и новом базисе определяется формулой (2.33.5), которая с учетом (2.34.6) принимает вид , т.е.
(2.34.7)
Отсюда имеем
Таким образом, при ортогональном изменении базиса сохраняются модули векторов и углы между ними, т.е. пространство «поворачивается» как одно целое (слово «поворачивается» взято в кавычки, т.к. наряду с обычными поворотами возможны еще преобразования симметрии).
П р и м е р ы
П усть в ортогональная система координат поворачивается на угол (рис.2.21).
Так как согласно (2.34.3)
то
С помощью (2.33.4) запишем выражение координат вектора в старом базисе через его координаты в новом базисе:
В все выглядит аналогично:
Теорема 2. Если самосопряженному оператору в ортонормированном базисе соответствует матрица , то существует ортогональное изменение базиса с матрицей , приводящее матрицу к диагональному виду:
Для доказательства достаточно выбрать в качестве новых базисных векторов нормированные собственные векторы оператора. Тогда матрица Т может быть построена в соответствии с (2.34.3). В новом базисе оператор А будет задавать отображение вектора на вектор , т.е. матрица оператора в новом базисе будет диагональной.