- •2.23. Плоскость и гиперплоскость
- •Прямая линия
- •Линейные операторы
- •2.26. Матрица линейного оператора в заданном базисе
- •Оператор проектирования (р)
- •Оператор гомотетии6 (н)
- •2.28. Геометрический смысл матрицы линейного оператора
- •2.29. Действия с операторами
- •Сложение операторов
- •Умножение оператора на число
- •Произведение операторов
- •Обратный оператор
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.30. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.31. Самосопряженные операторы. Симметричные матрицы
- •2.32. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.33. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.34. Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный
- •2.35. Квадратичные формы
- •2.35.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.35.2. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду
Оператор проектирования (р)
Если для любого вектора образ
(2.27.4)
то оператор Р называют оператором проектирования.
При этом вектор п - мерного пространства проектируется на т - мерное подпространство этого пространства. Введенное определение обобщает известное геометрическое представление о проектировании в пространствах и .
Очевидно, что (2.27.4) имеет место только в том случае, когда при и при (проверьте самостоятельно). Поэтому матрица оператора проектирования имеет вид
m
( в базисе ).
Оператор гомотетии6 (н)
Если для любого вектора имеет место равенство
(2.27.5)
то оператор Н называется оператором гомотетии (подобия) (рис. 2.18). Поскольку равенство (2.27.5) имеет место лишь при то матрицей оператора гомотетии будет
Задание для самостоятельного решения
Доказать, что оператор проектирования обладает следующим свойством: где
Выяснить геометрический смысл оператора где фиксированный единичный вектор.
2.28. Геометрический смысл матрицы линейного оператора
Рассмотрим оператор Он осуществляет отображение В силу линейности оператора А параллелограмм, постро –
енный на векторах перейдет в параллелограмм, построенный на векторах
Обозначим матрица оператора А в базисе . Тогда, как известно, и
Поскольку площади параллелограммов определяются соответственно формулами
то, вычисляя непосредственно векторные произведения, получим
Следовательно,
т.е. модуль определителя матрицы А является коэффициентом искажения площади в (рис. 2.19).
Если то можно доказать, что
2.29. Действия с операторами
Рассмотрим два оператора А и В, действующие из L в L, где L – линейное пространство.
Над такими операторами вводятся следующие действия:
а) сложение операторов;
б) умножение оператора на число;
в) умножение оператора на оператор.
Приведем определения и рассмотрим свойства каждой из этих операций.
Операторы А и В будем считать равными, если для любого вектора справедливо равенство
(2.29.1)
Сложение операторов
Суммой операторов А и В называется оператор , определяемый равенством
. (2.29.2)
Оператор является линейным. Действительно, из (2.29.2),(2.25.2) имеем
Для n-мерного линейного пространства матрица суммы линейных операторов равна сумме матриц слагаемых (это утверждение докажите самостоятельно).
Умножение оператора на число
Отображение, полученное в результате применения к вектору сначала оператора , а затем умножения полученного вектора на число , называется произведением числа на оператор и обозначается через А:
(2.29.3)
Нетрудно видеть, что – линейный оператор. Действительно, учитывая (25.1), (25.2) и (29.3), получаем
Для n-мерного пространства матрица оператора равна произведению числа на матрицу оператора (докажите самостоятельно).
Нетрудно проверить, что введенные операции над линейными операторами обладают свойствами:
1)
;
;
;
(2.29.4)
где ,
Равенства (2.29.4) полностью соответствуют аксиомам линейного пространства, приведенным в п. 2.18. Поэтому множество всех линейных операторов, действующих из в , есть линейное пространство.