- •2.23. Плоскость и гиперплоскость
- •Прямая линия
- •Линейные операторы
- •2.26. Матрица линейного оператора в заданном базисе
- •Оператор проектирования (р)
- •Оператор гомотетии6 (н)
- •2.28. Геометрический смысл матрицы линейного оператора
- •2.29. Действия с операторами
- •Сложение операторов
- •Умножение оператора на число
- •Произведение операторов
- •Обратный оператор
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.30. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.31. Самосопряженные операторы. Симметричные матрицы
- •2.32. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.33. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.34. Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный
- •2.35. Квадратичные формы
- •2.35.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Задание для самостоятельного решения
- •2.35.2. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду
Задание для самостоятельного решения
Для n-мерного евклидова пространства доказать, что , если Аобратимый оператор.
Выписать матрицу оператора , если матрица оператора А имеет вид
а) б)
Для n-мерного евклидова пространства доказать, что
2.31. Самосопряженные операторы. Симметричные матрицы
Если оператор А совпадает с сопряженным оператором, то его называют самосопряженным оператором. В этом случае
(2.31.1)
Самосопряженные операторы обладают следующими свойствами.
Сумма самосопряженных операторов и произведение самосопряжен –
ного оператора на действительное число являются также самосопряжен –
ными операторами.
Произведение двух самосопряженных операторов является самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны (т.е. когда ).
Докажем лишь второе из приведенных утверждений.
Итак, пусть операторы А и В перестановочны и таковы, что , . Тогда, учитывая (2.30.2), получим
т. е. АВсамосопряженный оператор.
Наоборот, пусть теперь . Легко видеть, что в этом случае
т. е. операторы перестановочны.
Используя теорему, приведенную в предыдущем пункте, нетрудно доказать еще одно свойство самосопряженных операторов.
Для того, чтобы оператор А в n-мерном пространстве был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была симметричной (т.е. такой, что ). Докажите это утверждение самостоятельно.
В качестве упражнения докажите, что сумма самосопряженных операторов и произведение самосопряженного оператора на действительное число есть самосопряженный оператор (для случая n-мерного евклидова пространства).
2.32. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор А: .
Под действием этого оператора каждый вектор изменяется вполне определенным образом. Особый интерес представляет собою случай, когда некоторый вектор преобразуется в коллинеарный ему , т.е. когда
(2.32.1)
Вектор х называют тогда собственным вектором, а число , при котором имеет место равенство (2.32.1) - собственным значением оператора А.
Найдем ненулевые решения уравнения (2.32.1), считая что . Перепишем для этого уравнение (2.32.1) следующим образом:
В матричной форме последнее уравнение принимает вид
(2.32.2)
где
Поэтому имеем
(2.32.3)
Матричное уравнение (2.32.3) эквивалентно однородной системе трех линейных алгебраических уравнений
(2.32.4)
с тремя неизвестными и параметром . Ненулевые решения эта система имеет тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда
. (2.32.5)
Уравнение (2.32.5) называется характеристическим уравнением матрицы и является в данном случае уравнением третьей степени относительно . Оно, как известно, может иметь не более трех действительных различных корней.
Для каждого из этих корней можно составить систему вида (2.32.4) и найти собственный вектор с точностью до скалярного множителя.
Если пространство является n-мерным, то уравнение (2.32.1) также эквивалентно матричному уравнению (2.32.2), в котором
(2.32.6)
Поэтому координаты вектора являются решениями однородной системы линейных алгебраических уравнений вида
(2.32.7)
которая имеет ненулевые решения лишь при условии
. (2.32.8)
Уравнение (2.32.8) является характеристическим уравнением для матрицы и может иметь не более действительных различных корней , которые являются собственными значениями оператора А.
Аналогично рассмотренному случаю находят собственные векторы оператора А: , отвечающие различным собственным значениям .
Еще раз подчеркнем, что собственные векторы для каждого собственного значения определяются не единственным образом, а лишь с точностью до скалярного множителя.
Таким образом, для отыскания собственных значений и собственных векторов оператора А следует:
составить и решить характеристическое уравнение;
решить соответствующую систему линейных алгебраических уравнений.
Особый интерес представляют собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов в евклидовом пространстве. Рассмотрим этот случай более подробно.
Теорема 1. В евклидовом пространстве собственные векторы самосопря –
женного оператора, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Действительно, пусть и – различные собственные значения оператора А, а и – отвечающие им собственные векторы. Тогда
Теорема 2. Для всякого самосопряженного оператора в n-мерном евкли –
довом пространстве существуют взаимно ортогональных собственных векторов.
Эту теорему примем без доказательства. Из нее следует, что собственные векторы самосопряженного оператора образуют ортогональный базис.
Теорема 3. Всякий самосопряженный оператор в n-мерном евклидовом пространстве имеет в базисе из собственных векторов матрицу диагонального вида, причем на главной диагонали ее стоят собственные значения оператора.
Для доказательства рассмотрим самосопряженный оператор с матрицей
Собственные векторы такого оператора, отвечающие различным собственным значениям попарно ортогональны. Примем их за базис, который обозначим через
Поскольку - собственные векторы, то
Обозначим образы базисных векторов через .
Тогда из предыдущих равенств находим
Напомним, что элементы столбцов матрицы оператора совпадают с координатами образов базисных векторов. Поэтому матрица оператора А в базисе из собственных векторов будет иметь следующий вид:
П р и м е р
Найти собственные значения и собственные векторы оператора, матрица которого имеет вид
Записать эту матрицу в базисе из собственных векторов.
Составим и решим характеристическое уравнение
Составим соответствующую систему линейных уравнений, из которой найдем собственные векторы оператора
Положив , получим
откуда . Считая , найдем собственный вектор .
Положив , получим
т.е. . Считая , найдем второй собственный вектор
Если векторы и нормировать, то получим ортонормированный базис
И з теоремы 3 следует, что в базисе из собственных векторов матрица оператора А примет простейшую (диагональную) форму
Очевидно, что оператор А осуществляет гомотетическое преобразование (рис.2.20).