6. Критерии оценки знаний Оценка 5 ("отлично") ставится студентам, которые:

• дают полный и развернутый ответ на все вопросы билета.

• показывают всесторонние, систематизированные, глубокие и полные знания программного материала;

• демонстрируют знание современной учебной и научной литературы по физике;

• свободно владеют научной терминологией по физике;

• показывают стилистически грамотное, логически правильное изложение ответа на вопросы, умение делать обоснованные выводы;

• поддерживают дискуссию с преподавателем по всем вопросам билета и по дополнительно задаваемым вопросам;

• демонстрируют способность самостоятельно и творчески решать поставленные преподавателем проблемные ситуации.

Оценка 4 ("хорошо") ставится студентам, которые:

• показывают достаточно полные и глубокие знания программного материала;

• демонстрируют знание основной и наиболее важной дополнительной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

• владеют научной терминологией по физике;

• логически правильно излагают ответы на вопросы, умеют делать обоснованные выводы.

• демонстрируют способность самостоятельно решать поставленные преподавателем проблемные ситуации.

• поддерживают дискуссию с преподавателем по большинству вопросов билета.

• при ответе на вопросы допускают ошибки и незначительные неточности в изложении, которые сильно не влияют на сущность излагаемого материала.

Оценка 3 ("удовлетворительно") ставится студентам, которые:

• демонстрируют достаточный объем знаний по физике в рамках программы;

• показывают усвоение основной учебной литературы по всем разделам программы;

• владеют научной терминологией на уровне понимания;

• пытаются поддержать дискуссию с преподавателем по отдельным вопросам билета;

• при ответе на вопросы экзаменационного билета допускают ошибки и неточности в изложении материала.

Оценка 2 ("неудовлетворительно") ставится студентам, которые:

• показывают фрагментарные знания основного программного материала;

• не владеют всей научной терминологией по физике;

• допускают принципиальные ошибки в ответе на вопросы экзаменационного билета;

• демонстрируют обрывочные знания теории и практики по физике;

• не могут решить знакомую проблемную ситуацию даже при помощи преподавателя.

7. Список основной и дополнительной литературы, нормативных документов Основная литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М. Наука., 1993 . т.1 512 с. – 70 экз. (УБ).

2. Савельев И.В. Курс общей физики. М. Наука., 1993. т.2, 480 с. – 70 экз. (УБ).

3. Савельев И.В. Курс общей физики. М. Наука., 1993. т.3, 304 с.- 70 экз. (УБ)

Дополнительная литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики : Учеб. Пособие для вузов. В 5 т.- %-е изд., стереотип.-: ФИЗМАТЛИТ., 2006.-1 экз. (НА).

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

Теоретическая часть

Тема № 1 Введение. Содержание курса. Роль эксперимента в физике. Физические величины.

1.1 Предисловие

Основное содержание предлагаемого учебного курса составляет курс лекций по физике, который автор читал в течение ряда лет на факультете географии и геоэкологии Балтийского Федерального Университета имени И. Канта. За основу взят фундаментальный «Общий курс физики» Д. В. Сивухина, курс лекций которого автор имел счастье прослушать во время обучения в МФТИ.

Главное внимание в курсе уделено выяснению физического смысла и содержания основных законов и понятий физики, установлению границ применимости этих законов, развитию у студентов навыков самостоятельного физического мышления и умения ставить и решать конкретные задачи. Основные законы физики являются обобщениями опытных фактов, при описании рассматриваемого явления используются только те физические величины, которые наиболее существенны в данном случае. Такие идеализированные модели и схемы широко используются в физике, основоположником этого метода принципов является великий Исаак Ньютон (1643 – 1727). При экспериментальной проверке невозможно охватить всё разнообразие условий, в которых могут протекать явления, а измерения всегда сопровождаются погрешностями. Поэтому опытным путём можно установить справедливость основных принципов лишь в ограниченных пределах и с ограниченной точностью. При расширении круга изучаемых явлений и повышении точности измерений могут изменится и эти пределы, но может случится, что вне определённых границ основные принципы перестанут быть справедливыми. Тогда возникнет необходимость в их обобщении или замене новыми принципами, имеющими более широкую область применимости, однако старые принципы обязательно водят в новые как предельный случай.

В лекциях использована традиционная последовательность изложения разделов физики: механика, термодинамика и молекулярная физика, электричество, оптика, атомная и ядерная физика. Кроме этого включены некоторые сведения из математики..

1.2 Ведение

При изучении всякого круга явлений важно установить основные законы или принципы, с помощью которых можно объяснить все известные явления из рассматриваемого круга, а также предсказать новые. Такой подход к изучению явлений природы получил название метода принципов. Основоположником его в физике является великий Исаак Ньютон (1643 – 1727). Сами основные законы или принципы не могут быть доказаны логически. Их доказательством является опыт. Роль эксперимента в физике состоит не столько в проверке самих принципов, сколько в проверке вытекающих из этих принципов следствий. В этом смысле основные принципы являются обобщением опытных фактов. Но никакие опыты никогда не охватывают всё разнообразие условий, в которых могут протекать явления, а измерения всегда сопровождаются погрешностями. Поэтому опытным путём (а другого пути нет) можно установить справедливость принципов лишь в ограниченных пределах и с ограниченной точностью. Может случится так , что при расширении круга изучаемых явлений и повышении точности измерений возникает необходимость в замене старых принципов новыми, имеющими более широкую область применения. При этом новые принципы должны включать старые как предельный случай.

Для описания различных явлений в физике вводятся физические величины. Они разделяются на скалярные и векторные. Скалярными величинами (скалярами) называются такие, которые характеризуются только числовым значением. Примерами скалярных величин являются время, масса, температура, электрический заряд и т.д. Векторными величинами (векторами) называются такие, котрые характеризуются числовым значением , направлением и точкой приложения. Примерами векторных величин являются скорость, сила, напряжённость электрического поля и т.д. С помощью векторов физические законы формулируются в простой и обозримой форме. Определение физической величины должно содержать принципиальный способ её измерения. Измерение физической величины состоит в сравнении её с однородной ей величиной, принятой условно за единицу измерения.

Тема № 2 Физические основы механики.

2.1 Механика материальной точки

В разделе кинематика рассматриваются физические величины, необходимые для описания механического движения. Под механическим движением понимают перемещение одних тел относительно других. Тело, относительно которого рассматривается движение других тел, называется телом отсчёта. Система отсчёта состоит из тела отсчёта и связанных с ним системы координат и прибора для измерения времени ( часов). Вектор, проведённый из начала координат в данную точку, называют радиусом-вектором этой точки. Проекции радиуса-вектора на координатные оси называют координатами этой точки. Таким образом

r = x i + y j + z k , где i , j и k – единичные векторы координатных осей.

Материальной точкой в физике называют тело, имеющее массу, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки, что существенно упрощает рассмотрение задач механики. Линия, вдоль которой двигается при своём движении тело (материальная точка) называется траекторией. Длина траектории между начальным и конечным положениями тела называется путём, а вектор, проведённый из начального положения в конечное, называется перемещением. Перемещение равно разности радиусов-векторов конечного и начального положения материальной точки, т.е. Δ r = r₂ – r₁.

Отношение достаточно малого перемещения на участке траектории, включающем данную точку, к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, называется скоростью тела в данной точке. Перемещение считается достаточно малым, если на этом участке движение можно считать равномерным и прямолинейным . При равномерном и прямолинейном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Скорость можно также определить как производную радиуса-вектора по времени v = dr/dt. Производные по времени, которые часто встречаются в физике, принято обозначать точкой над соответствующей буквой, например, v = Производную скорости по времени называют ускорением a = Последнее соотношение может быть проинтегрировано, например при равноускоренном движении скорость и радиус-вектор изменяются по формулам:

v = v₀ + a t ; r = r₀ + v₀ t +a t²/2,

где v₀ и r₀ – начальные скорость и координата точки (при t = 0).

В основе динамики материальной точки лежат законы Ньютона:

Закон 1. Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Закон 2. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон 3 Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – воздействие двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

В качестве первого закона Ньютон принял закон инерции Галилея. Системы отсчёта, в которых выполняется закон инерции, называются инерциальными. Строго говоря, инерциальных систем отсчёта в природе не существует, они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устранены или практически компенсируют друг друга, тогда систему отсчёта можно считать практически инерциальной.

Сила в физике количественно характеризует взаимодействие тел и вызывает изменение .скоростей точек тела или его деформацию. В природе существует четыре вида взаимодействий: гравитационное, электромагнитное,.сильное и слабое. Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Основными силами в механике, действующими в инерциальных системах отсчёта, являются гравитационные силы (закон тяготения Ньютона ), силы упругости (закон Гука) и силы трения.

По закону тяготения Ньютона любые две частички материи (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами , прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.

F₁₂ = G m₁ m₂ / r₁₂² . (2.1)

где G=6,67 10^-11 Н м² кг^-2 – гравитационная постоянная .Значение гравитационной постоянной впервые было определено Г.Кавендишем в 1798 г. Если взаимодействующие тела нельзя считать материальными точками, то можно воспользоваться принципом суперпозиции, согласно которому гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. Пользуясь принципом суперпозиции можно доказать, что формулу ( 2.1) можно применять в случае, если одно или оба тела являются шарами со сферически симметричным распределением вещества, в этом случае под r₁₂ следует понимать расстояние между центрами шаров.

При деформации твёрдого тела в нём возникают силы упругости. Деформации бывают упругими и пластичными. Деформация называется упругой, если после прекращения действия силы размеры и форма тела восстанавливаются. В 1660 г. Р. Гук обнаружил, что при упругом растяжении и сжатии стержня длиной l и площадью поперечного сечения S удлинение стержня Δl пропорционально растягивающей силе F - F/S = E Δl/l, где E называют модулем Юнга.Закон Гука можно представить в виде σ = E ε, где σ = F/S –нормальное напряжение в поперечном сечении, а ε = Δl/l – относительное удлинение стержня.

Рассмотрим кратко силы трения, которые могут действовать между соприкасающимися телами как при их относительном движении, так и при их относительном покое. Трение, возникающее между поверхностями двух соприкасающихся твёрдых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки (смазки) называется сухим. Такое трение возникает не только при относительном движении тел, но и при всякой попытке вызвать движение. В последнем случае трение называется трением покоя. В зависимости от вида относительного движения различают силу трения скольжения и силу трения качения. Как экспериментально установил Кулон, сила сухого трения F_тр не зависит от площади , вдоль которой тела соприкасаются, и пропорциональна силе нормального давления F_д. Поэтому можно записать

F_тр = μ F_д .

Постоянная μ называется коэффициентом трения и зависит от природы и состояния трущихся поверхностей. Во многих случаях силы трения оказываются полезными,- они приводят в движение автомобили и поезда, помогают человеку передвигаться по поверхности Земли и т.д.

Однако сплошь и рядом силы трения являются вредными и с ними приходится бороться, для этой цели используется смазка. Однако более эффективна замена трения скольжения трением качения (шарикоподшипники), т.к. коэффициент трения при качении значительно меньше, чем при скольжении.

Рассмотрим систему двух материальных точек, которая настолько удалена от всех остальных тел, что они практически не оказывают никакого действия на рассматриваемую систему. Тела такой изолированной или замкнутой системы могут взаимодействовать только между собой. При взаимодействии точек их скорости изменяются, при этом, как поакывают результаты многочисленных опытов, приращения скоростей материальных точек связаны между собой соотношением

m₁ Δ v₁ = ─ m₂ Δ v₂ , ( 2.2 )

где коэффициенты m₁ и m₂ постоянны и имеют одинаковые знаки. Они называются массами материальных точек 1 и 2. Если условится считать массу какого-либо определённого тела равной единице массы (например в системе СИ 1 кг), то массы всех остальных тел определятся однозначно. Такое тело называется эталоном массы, а а масса произвольного тела численно равна отношению модуля ускорения эталона массы к модулю ускорения данного тела при их взаимодействии в изолированной системе.

Придадим соотношению (2.2) другую форму. Пусть v₁ и v₂ – скорости тел до взаимодействия, а v₁^´ и v₂^´ - после взаимодействия, то

m₁ v₁ + m₂ v₂ = m₁ v₁^´ + m₂ v₂^´ . (2.3)

Назовём импульсом или количеством движения материальной точки вектор, равный произведению массы точки на её скорость:

p = m v (2.4)

Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовём векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит. Как показывает опыт, соотношение (2.3) можно распространить на изолированные системы,

состоящие из любого числа материальных точек. Таким образом импульс изолированной системы материальных точек сохраняется, т.е. остаётся постоянным во времени , каково бы ни было взаимодействие между ними. Этот закон называется законом сохранения импульса.

Второй закон Ньютона можно сформулировать, используя понятие импульса, следующим образом: в инерциальной системе отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе

= F (2.5)

Если рассмотреть систему материальных точек, то , складывая векторно соотношеня (2.5) для отдельных точек, для суммарного импульса получаем

= F^(е) , (2.6)

где F^(е) – геометрическая сумма всех внешних сил, т.к. сумма всех внутренних сил равна нулю по третьему закону Ньютона.

Если сумма внешних сил в системе материальных точек F^(е) равна нулю, то система называется замкнутой, а из формулы (2.6) следует, что количество движения замкнутой системы материальных точек сохраняется.

Важное место в механике занимают понятия работы и энергии. Работа силы F на перемещении dr равна скалярному произведению силы F на перемещение dr :

d А = ( F dr ) (2.7)

Единицей работы в системе СИ является джоуль (Дж), джоуль есть работа силы в один ньютон

на перемещении в один метр при условии, направление силы совпадает с направлением перемещения.

Работа, отнесённая ко времени, т.е. величина N = dА/dt называется мощностью. Её единицей в системе СИ является ватт (Вт)

Подставим в формулу (2.7) F = dp/dt и dr = v dt, тогда

dА = (v dp) = m (v dv).

Дифференцируя теперь обе части соотношения v² = v², получим (v dv) = v dv.

При перемещении тела из положения 1 в положение 2 совершается работа

А₁₂ = m v₂²/2 ─ mv₁²/2.

Величина К = mv²/2 называется кинетической энергией материальной точки. С помощью этого понятия полученный результат запишется в виде :

А₁₂ = К₂ ─ К₂. (2.8)

Таким образом, работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки. Этот результат называют теоремой о кинетической энергии.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые её можно мысленно разделить.

Все силы в механике принято разделять на консервативные (потенциальные ) и неконсервативные. Работа консервативной силы не зависит от пути перехода системы из начального положения в конечное. Такими силами в механике являются гравитационные силы и силы упругости. Для консервативных(потенциальных) сил вводится понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы (U) – физическая величина, убыль которой равна работе консервативных сил, совершаемой при переходе системы из начального состояния в конечное:

А_12к = U₁ - U₂ (2.9)

Сумма кинетической и потенциальной энергий E = К + U называется полной механической энергией системы. Если в системе действуют только консервативные силы, как это следует из формул (2.9) и (2.8)

К₁ + U₁ = К₂ + U₂ .

В системе с одними только консервативными силами полная механическая энергия остаётся неизменной. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.

2.2 Динамика твёрдого тела.

Твёрдым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными. Здесь, как и вообще в классической механике под материальными точками понимают не атомы и молекулы, а достаточно малые макроскопические части, на которые можно мысленно разделить механическую систему.

Центром масс системы материальных точек называется такая воображаемая точка, радиус-вектор которой R_С выражается через радиусы-векторы отдельных точек по формуле

R_С = Σ m_ir_i / m , (2.10)

где m = Σm_i ─ общая масса всей системы.

Если продифференцировать выражение (2.11) по времени и умножить на m, то получится

m v_С = Σ m_i v_i.

Подставим это выражение во второй закон Ньютона (2.6) :

m _С = F^(e)

Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Этот результат называется теоремой о движении центра масс.

Важные законы механики связаны с понятиями момента силы и момента импульса. Для введения определений этих величи мы будем использовать математическую операцию векторного произведения векторов. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c = [a b], модуль которого равен c = a b sin α, где α – угол вежду векторами a и b , а напрвление веторного произведения определяется по правилу буравчика: если вращать рукоятку буравчика от первого вектора a ко второму b по кратчайшему пути, то буравчик будет перемещаться в направлении c.

Моментом силы F относительно точки О называется векторное произведение радиуса- вектора r, проведённого из точки О в точку приложения силы, на силу F :

М = [r F] (2.11)

Моментом М нескольких сил относительно точки О называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно точки О. Так называется векторное произведение

L = [r p] (2.12)

Для системы материальных точек моментом импульса относительно некоторого начала О называется сумма моментов этих точек относительно того же начала.

Дифференцируя (2.12) по времени, получим = [ p] + [r ]. Но при неподвижном начале О импульс частицы коллинеарен с её скоростью, кроме того, по второму закону Ньютона = F. В результате имеем

= M (2.13)

Это уравнение называют уравнением моментов для одной материальной точки. Для системы материальных точек запишем уравнение (2.13) для каждой материальной точки, затем сложим все эти уравнения. При таком сложении моменты внутренних сил исключаются и в результате получается уравнение моментов для системы материальных точек:

= M_внеш , (2.14) \

т.е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала О. Из этого уравнения следует, что если сумма моментов внешних сил относительно неподвижного начала равна нулю, то момент импульса относительно того же начала остаётся постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса.

Если система состоит из одной материальной точки, то момент импульса имеет простой геометрический смысл. Момент импульса материальной точки по определению равен

L = m[r v], с другой стороны радиус-вектор за время dt описывает площадь dS = 1/2 [r v] dt

Производная dS/dt называется секториальной скоростью, в рассматриваемом случае

= L/(2m).

В этом случае закон сохранения момента импульса переходит в закон площадей, - за равные промежутки времени радиус-вектор материальной точки описывает одинаковые по размеру площади.

Применим уравнение моментов к рассмотрению вращательного движения твёрдого тела . Для рассмотрения вращательного движения тела удобно использовать угловую скорость ω. Это понятие вводится при движении материальной точки по окружности, положение точки на окружности можно задать углом α, который образует радиус-вектор с каким-либо неизменным направлением. Производная этого угла по времени ω = dα/dt называется угловой скоростью ω Направим ось координат вдоль оси вращения тела, тогда в проекциях на эту ось из (2.14) получаем скалярное уравнение dL/dt = M_внеш , которое называют уравнением моментов относитено неподвижной оси. Если материальная точка вращается с угловой скоростью ω по окружности радиуса r, то момент её импульса равен L = mvr = mr² ω. Для системы материальных точек L = ω Σ m_ir_i², где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси :

I = Σ m_i r_i² (2.15)

Тогда уравнение моментов относительно оси вращения принимает вид

I = М,

где М- момент внешних сил относительно оси вращения. Это основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением по формуле (2.15), если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

I = ∫ r² dm , (2.16)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Интегрирование должно производится по всей массе тела. Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в случае тел правильной геометрической формы, для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численно.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить используя теорему Гюйгенса-Штейнера.

dm Найдём связь между моментами инерции тела относи-

тельно двух различных параллельных осей. Предполагается,

r_O a r_A что оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересека-

О А ют её в точках О и А. Ради краткости будем называть сами

Рис. 2.1 оси также О и А. Разобьём мысленно тело на элементарные

массы dm. Радиусы-векторы одной из них, проведённые от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим r_О и r_А соответственно. Тогда r_А = r_О ─ а, где а – означает вектор, проведённый из О в А. Следовательно,

r_А² = r_О² + а² ─ 2(аr)

и по формуле (2.16) получаем

∫ r_A² dm = ∫ r_O² dm + a² ∫ dm ─ 2 (a ∫ r dm)/

Интеграл слева есть момент инерции I_А тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции I_О относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ∫ r dm =

= m R_C, где R_С - радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О. Таким образом,

I_А = I_О + m а² ─ 2m(aR_C).

Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. В этом случае R_С = 0 и предыдущая формула упрощается, принимая вид

I_А = I_С + m а² (2.17)

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса – Штейнера : момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельно оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной mа², где а – расстояние между осями.

Вычислим в качестве примера момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длинной l. Пусть ось вращения проходит перпендикулярно стержню через его середину С, т.е. через центр масс. Ось Х направим из середины стержня вдоль него. На расстоянии х от начала оси выделим элемент длинной dх, его масса dm = m dх/dl. Тогда по формуле (2.16_

I_С = m/l x² dx = mL²/3

Моменты инерции относительно других точек стержня могут быть найдены по теореме Гюйгенса- Штейненра.

2.3 Движение тела с переменной массой. Реактивное движение.

Термин «переменная масса» употребляется в этом разделе в том смысле , что масса тела при его движении изменяется за счёт потери вещества. Например, масса ракеты изменяется за счёт истечения газов, образующихся при сгорании топлива.

Пусть масса ракеты в произвольный момент времени t равна m, а скорость в тот же момент равна v. Спустя время dt импульс ракеты станет равным ( m + dm)(v + dv) ( изменение массы ракеты dm < 0). Сюда следует добавить импульс газов, образовавшихся за время dt. По второму закону Ньютона приращение импульса системы равно импульсу внешних сил, т.е.

(m + dm)(v + dv) + dm_гv_г ─ mv = F^(e) dt,

Где dm_г – масса газов, образовавшихся за время dt, а v_г – их скорость. Раскрывая скобки можно пренебречь произведением dm dv, кроме этого dm_г = ─ dm, и v_отн = v_г ─ v есть скорость истечения газов относительно ракеты. После преобразований получаем

m dv/dt = v dm/dt + F^(e) (2/18)

Уравнение (2.18) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским и называется поэтому уравнением Мещерского. По форме уравнение (2.18) совпадает сор вторым законом Ньютона, однако к внешней силе добавляется слагаемое v_отн dm/dt, которое называют реактивной силой.

Если на ракету не действуют никакие внешние силы, то из (2.18) в проекциях на ось направленную вдоль движения ракеты, получаем dv = ─ v_отн dm/m. После интегрирования с начальными условиями, - при t = 0 начальная скорость ракеты равна нулю, а её масса равна m₀ получаем

v = v_отн ln(m₀/m),

или

m₀/m = exp(v/v_отн) (2.19)

Последнее соотношение называется формулой Циолковского. Эта формула позволяет оценить запас топлива, которое должна иметь ракета для достижения необходимой скорости.

2.4 Неинерциальные системы отсчёта.

В природе не существует инерциальных систем отсчёта, Это такая же физическая абстракция, как и материальная точка и т.д. В астрономии используется гелиоцентрическая система отсчёта, предложенная польским астрономом Н. Коперником, иначе называемой системой Коперника. Это есть координатная система, начало которой помещено в центре Солнца, а координатные оси являются прямыми, направленные на три удалённые звезды, не лежащие в одной плоскости. Система Коперника практически является инерциальной системой отсчёта. Условимся называть неподвижной какую-либо произвольно выбранную инерциальную систему отсчёта, а движение относительно неё – абсолютным. Движение относительно неподвижной системы тела , неподвижного относительно движущейся системы, называется переносным.

Возьмём две системы отсчёта: неподвижную систему S₁ с началом координат в точке О₁ и движущуюся систему S с началом координат в точке О. Обозначим через R₀ вектор, проведённый из О₁ в О. В неподвижной системе второй закон Ньютона запишется в виде mа_абс=F. Положение произвольной точки М в неподвижной системе определяется радиусом-вектором R, а в движущейся = радиусом-вектором r. Векторы R, R₀ и r в каждый момент времени связаны соотношением

R = R₀ + r (2.20)

Дважды дифференцируя это соотношение по времени, получим

а_абс = а_отн + а_пер , (2.21)

причём а_пер = а₀ есть ускорение начала О в системе S₁. Тогда из второго закона Ньютона получим

m а_отн = F ─ mа₀ (2.22)

На правую часть этого уравнения формально можно смотреть как на некоторую «силу», которая в рассматриваемом случае не обязательно является результатом взаимодействия тел. «Сила» F ─ mа₀ состоит иэ двух существенно различных слагаемых. Первое слагаемое F есть «настоящая сила» в том смысле, что она является результатом взаимодействия тел. Она не изменяется при переходе от одной системы отсчёта к другой. Совсем другой характер имеет слагаемое ─ mа₀, она возникает не из-за взаимодействие тел, а из-за ускоренного движения системы отсчёта. Она называется силой инерции, точнее поступательной силой инерции. При переходе к другой ускоренной системе отсчёта изменяются и силы инерции. Этим силы инерции отличаются от «настоящих сил». Второе отличие состоит в том, что силы инерции не подчиняются закону равенства действия и противодействия. Если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к другому телу.

Гораздо сложнее обстоит дело при произвольном движении системы S. Если v_О – скорость , с которое двигается начало координат О, а ω – угловая скорость вращения относительно оси, проходящей через О, то абсолютное ускорение определяется в случае ω = const по теореме Кориолиса:

а_абс = а_отн + 2[ω v_отн] + _пер Место для формулы.+ [ω[ω r] (2.23)

В этой формуле второе слагаемое зависит как от относительного, так и от переносного движения и называется кориолисовым ускорением по имени Кориолиса, который впервые ввёл это понятие в механику. Третье слагаемое есть ускорение начала координат О, последнее слагаемое, обозначаемое в дальнейшем а_ц , есть центростремительное ускорение. Если представить радиус-вектор в виде r = r_|| + r_┴ , где r_|| и r_┴ - компоненты этого радиуса-вектора, направленные вдоль оси вращения и перпендикулярно к ней соответственно, то получаем

а_ц = ─ ω² r_┴ (2.24)

Применим полученные уравнения к движению тел относительно Земли. Движущуюся систему отсчёта S свяжем с вращающейся Землёй, начало координат О поместим в центре Земли. Таким образом, под v_о следует понимать скорость, а под dv_о/dt – ускорение центра Земли. Далее, так как речь будет идти об относительном движении, условимся опускать в уравнения индекс «отн». Внешнюю силу представим в виде суммы трёх сил F = F_З + F_Л + F_О , где F_З – сила гравитационного притяжения Земли, F_Л – равнодействующая сил гравитационного притяжения Луны, Солнца и других небесных тел, F_О – геометрическая сумма всех остальных сил, действующих на рассматриваемую материальную точку. В этих обозначениях второй закон Ньютона примет вид

ma = ( F_З + mω²r_┴) + 2m[v ω] + F_О + (F_Л ─ m dv_о/dt ) (2.25)

Используем далее обобщённый закон Галилея, согласно которому все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Если внешних сил нет, а тело неподвижно относительно Земли, то первое слагаемое формулы (2.25) пропорционально только массе материальной точки, т.е.

F_З + mω²r_┴ = mg , (2.26)

где вектор g есть ускорение свободного падения. Мы видим, что ускорение свободного падения состоит из двух слагаемых. Первое из них , F_З/m, есть ускорение, вызванное силой гравитационного притяжения Земли. Второе слагаемое ω²r_┴ есть ускорение, сообщаемое центробежной силой инерции и связанное с вращением Земли.

Весом тела называется приложенная к нему сила Р, равная силе, с которой тело действует на подставку, на которой оно лежит, или тянет за подвес, к которому оно подвешено. При этом тело, подставка и подвес неподвижны относительно Земли.

Основной вклад в силу Fл вносят гравитационные поля Солнца и Луны, которые, в особенности гравитационное поле Луны, неоднородны. При рассмотрении движений вблизи поверхности Земли эту неоднородность можно не учитывать, тогда внешние гравитационные поля сообщают рассматриваемой материальной точке такое же ускорение, что и центру Земли, т.е.

F_л ̶ m dv_o/dt = 0.

Пусть тело свободно падает в поле тяжести Земли, тогда из формулы (2.25) получаем

а = g + 2[v ω].

Это уравнение описывает свободное падение тел с учётом вращения Земли. При палении тел без начальной скорости ускорение Кориолиса проявляется в отклонении свободно падающих тел к востоку от направления отвеса. Это отклонение невелико, например, на широте Москвы при падении с высоты 500 м восточное отклонен ие составляет всего 13,8 см. Несмотря на малость эффекта, его с уверенностью удалось наблюдать в опытах с падением тел в глубоких шахтах уже в середине 19 века. Опыты по отклонению к востоку свободно падающих тел были первыми экспериментальными доказательствами вращения Земли, однако для этой цели более подходящим является маятник Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на длинной нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Опыты, проведенные в 1850 г. Фуко, показали, что плоскость качаний маятника медленно поворачивается в том же направлении, в каком совершают суточное вращение Солнце и звёзды на небесной сфере.

З Приливы и отливы, наблюдаемые у берегов

В О А Л океанов и морей, объясняются неоднородностью

поля тяготения Луны и отчасти Солнца. Для прос-

Рис.2.2 тоты будем считать Землю твёрдым шаром, покры-

тым океаном постоянной глубины (Рис.2.2)

Рассмотрим точки океана А и В, расположенные по разные стороны от Земли. Точка А, для которой Луна находится в зените, расположена ближе к Луне, чем точка В. Под влиянием гравитационного притяжения Луны точка А будет приближаться к Луне с большим ускорением, чем центр Земли О, а точка В – с меньшим ускорением. В результате на поверхности океана образуются два диаметрально противоположных горба, которые при вращении Земли бегут по поверхности океана, следуя за движением Луны. Время между следующими друг за другом положениями максимального уровня воды составляет 12 ч 25 мин, т.е. ровно половину промежутка времени, в течение которого Луна совершает полный оборот вокруг Земли. Причина возникновения приливов была объяснена ещё Ньютоном, Однако длительное время ученые не могли объяснить тот факт, что между кульминацией Луны и последующей полной водой проходит значительный промежуток времени, составляющий несколько часов. Объяснение этому факту было дано в динамической теории, разработанной Эйри.

Солнечные приливы накладываются на приливы лунные. Они усиливают друг друга, когда Солнце и Луна находятся на одной прямой с Землёй, т.е. в полнолуние и новолуние. Наступающие толгда приливы называют большими (сизигийными) приливами. На открытых островах в океане амплитуда приливов составляет порядка 1 м, у берегов океана – около 2 м. Наиболее значительные приливы наблюдаются в заливе Фунди на восточном побережье Канады, где величина обычных приливов достигает 16 м, а при сизигийных приливах превышает 20 м.

2.5 Механика движения жидкостей и газов.

Изучение движения реальных жидкостей и газов, вообще говоря, представляет очень сложную задачу. Для её упрощения пренебрегают силами вязкости и изменением плотности. Рассмотрим стационарное течение такой жидкости в поле силы тяжести. Применим к этому случаю закон сохранения механической энергии. Введём для описания движения среды понятие линии тока, -касательная, проведённая к линии тока в данный момент времени, _{указывает} направление скорости среды в данной точке. Возьмём произвольный контур С и через каждую его точку проведём линии тока. Они расположатся на некоторой поверхности, называемой трубкой тока. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим

P₁ часть жидкости, занимающую объём MNDC (Рис. 2.3). Пусть

N эта часть переместилась в бесконечно близкое положение

M M₁N₁D₁C₁. Вычислим работу, совершаемую при этом силами

N₁ давления. При перемещении границы MN в положение M₁N₁

M₁ совершается работа A₁ = P₁S₁l₁, где l₁ = MM₁ – величина пере-

D мещения. Если Δ₁m – масса жидкости в объёме MNN₁M₁, a ρ₁-

C D₁ её плотность, то A₁ = P₁ Δ₁m/ρ₁. При перемещении границы

C₁ СD в положение C₁D₁ жидкость совершает работу против дав-

P₂ ления Р₂, равную A₂ = P₂ Δ₂m/ρ₂. Стационарном случае Δ₁m=

=Δ₂m, а работа внешнего давления А=А₁̶ А₂ должна равнять-

Рис.2.3 ся приращению полной механической энергии массы жидкос-

ти Δm. В результате получаем

P/ρ + v²/2 + gh = const (2/27)

Это соотношение называется уравнением Бернулли. Допустим теперь, что ось трубки горизонтальна, а её сечение изменяется. Тогда h = const и уравнение Бернулли принимает вид:

P/ρ + v²/2 = const/

Отсюда видно, что в широких частях трубки, где скорость течения меньше, давление больше.

В случае неподвижной несжимаемой жидкости давление растёт по мере погружения в неё. На глубине h давление равно Р₀ + ρgh, где Р₀ – давление над поверхностью жидкости. Наличие гидростатического давления приводит к появлению выталкивающей силы, действующей на тела, погруженные в жидкость полностью или частично. В результате мы приходим к закону Архимеда. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равновесии, то со стороны окружающей жидкости оно подвергается выталкивающей силе гидростатического давления, численно равной весу жидкости в объёме, вытесненном телом. Эта выталкивающая сила направлена вверх и проходит через центр масс жидкости, вытесненной телом.

При движении тел внутри жидкости возникают силы вязкого трения. Рассмотрим две параллельные длинные пластины, между которыми находится слой жидкости. Пусть одна из пластин неподвижна, а вторая движется относительно неё с постоянной скоростью v₀. Для поддержания этой скорости постоянной к движущейся пластине необходимо прикладывать постоянную силу F, направленную в сторону движения. Как было экспериментально установлено ещё Ньютоном, сила F пропорциональна v₀, площади S пластины и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами:

F = η S v₀/h.

Здесь η – постоянная, называемая вязкостью, или коэффициентом внутреннего трения жидкости. Для данной жидкости коэффициент η зависит от параметров. характеризующих её внутреннее состояние, и в первую очередь от температуры.

Тема № 3 Механические колебания и волны

Колебаниями называется процесс, в котором значения какой-либо физической величины повторяются точно или приблизительно точно через равные или приблизительно равные промежутки времени. Такое движение играет важную роль в самых разнообразных вопросах физики. Важнейшим среди колебательных движений является так называемое гармоническое колебательное движение. Аналитически гармонические колебания описываются формулой

x = A cos(ωt + φ₀). (3.1)

В этой формуле х – смещение изменяющейся величины от положения равновксия; А – амплитуда колебаний, которая равна максимальному смещению; ω – циклическая частота; а аргумент косинуса называют фазой колебаний, φ₀ – начальной фазой. Время одного полного колебания называется периодом колебаний Т. Число колебаний, совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний ν. Очевидно, что ω = 2πν; а также Т = 1/ν = 2π/ω.

Продифференцируем выражение (3.10) два раза по времени:

= ̶ ω² A cos(ωt + φ₀) = ̶ ω² x.

Таким образом, уравнение (3.1) является одним из решений дифференциального уравнения:

+ ω² x = 0. (3.2)

Рассмотрим колебания твердого тела относительно неподвижной горизонтальной оси (Рис.3.1).

На рисунке ось вращения обозначена буквой О, С-центр масс

О тела. Положение тела можно характеризовать углом отклоне-

а α ния его от положения равновесия α. Основно уравнение дина-

С. С₁ мики вращательного движения в рассматриваемом случае

имеет вид:

I = ̶ mga sin α (3.3)

где I – момент инерции тела относительно оси О, а – расстоя-

Рис. 3.1 ние от оси вращения до центра масс, m – масса тела.

Для малых отклонений можно принять sin α = α и формула (3.3) принимает вид:

+ mga α/I = 0. (3.4)

При сравнении формул (3.4) и (3.2) видно, что малые колебания нашего тела (физического маятника) будут гармоническими с циклической частотой

ω =

и периодом

Т = 2π (3.5)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити длиной l.

В этом случае а = l. I = ml² и формула (3.5) переходит в

Т = 2π (3.6)

Напомним без вывода формулу для периода колебаний груза массой m на пружине жёсткостью k из курса физики средней школы

Т = 2π (3.7)

Процесс распространения колебаний (возмущений) в пространстве, несущий с собой энергию, называют волной. Волны бывают продольными и поперечными. В продольной волне частицы среды, создающие волну, совершают колебания в направлении распространения волны. В поперечной волне частицы среды смещаются перпендикулярно к направлению распространения волны. Смещение точек одномерной волны, распространяющейся вдоль оси х, обычно описывают уравнением:

у = А cos (ωt kx + φ₀), (3.8)

где k – волновое число. Аргумент косинуса в формуле (3.8) называется, как и в случае колебаний, фазой. Минимальное расстояний между точками волны, совершающими колебания в одинаковой фазе называется длиной волны λ. Если х = λ. то сдвиг фазы равен 2π, поэтому

k = 2π/λ (3.9)

Скорость распространения волны

v = λ/Т = λν (3.10)

Жидкости и газы обладают только объёмной упругостью, поэтому в них могут распространяться только продольные волны.

Тема № 4 Молекулярная физика.

4.1 Молекулярно-кинетическая теория

Идея об атомном строении вещества возникла в глубокой древности, однако молекулярно-кинетическая теория (МКТ) в окончательном виде была построена в XIX веке. Обоснованием этой теории послужили закон кратных отношений в химии, работы Авогадро, Ломоносова, Максвелла, Больцмана и др. Убедительным доказательством МКТ является броуновское движение открытое английским ботаником Броуном в 1827 г., которое заключается в том, что все мельчайшие частицы , взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном дрожании. Взвешенными называются макроскопические тела, которые падают в вязкой среде со скоростью, практически незаметной для человеческого глаза. Будем считать для простоты, что частица имеет форму шара радиусом а, с плотностью ρ, которая больше плотности среды ρ₀. На неё действуют сила тяжести, сила Архимеда и сила сопротивления среды. Сила тяжести направлена вниз, остальные две силы – вверх. Сумму сил тяжести и Архимеда называют кажущимся весом

P* = mg ̶ ρ₀gm/ρ = mg(1 ̶ ρ₀/ρ) (4.1)

Т.к. сила сопротивления среды зависит от скорости частицы. То через определенный промежуток времени движение частицы становится равномерным. Скорость установившегося движения частицы зависит от её радиуса а. Если считать, что сила сопротивления пропорциональна площади сечения частицы (~а²) и её скорости v, а масса пропорциональна а³. то скорость установившегося движения частицы пропорциональна её радиусу, т.е. чем меньше размеры частицы, тем медленнее она падает.

Броуновское движение никогда не прекращается. Оно было обнаружено в жидких включениях кварца, которым тысячи лет. Интенсивность броуновского движения возрастает при увеличении температуры и уменьшении вязкости жидкости. Теория броуновского движения была разработана в начале ХХ века Эйнштейном и Смолуховским.

Наиболее простым агрегатным состоянием вещества является газообразное. Для описания состояния газа используются такие физические величины, как давление, объём и температура.

Давление в механике определяется как отношение модуля силы, действующей перпендикулярно некоторой площадке к площади S этой площадки:

Р = F_n/S (4.2)

Единицей измерения давления в системе СИ является паскаль (Па). Давление атмосферы было измерено в начале XVII Э. Торричелли по высоте поднятия ртути в вертикальной трубке, введённая тогда единица измерения давления – мм рт. ст. используется и в настоящее время.

1 мм рт. ст. 133,3 Па (4/3 гПа).

Для выяснения молекулярно- кинетического смысла давления рассмотрим очень упрощенную модель газа. Будем считать, что все молекулы имеют одинаковую скорость v и могут двигаться только вдоль трех координатных осей в положительном и отрицательном направлениях. Кроме этого, будем считать , что молекулы сталкиваются только со стенками сосуда, а друг с другом не сталкиваются. Силы притяжения между молекулами учитывать не будем. В этом приближении в положительном направлении .например, оси Х, перпендикулярной одной из стенок, будет перемещаться 1/6 часть всех молекул. Выделим на этой стенке площадку ΔS, за промежуток времени Δt об эту площадку ударится 1/6 ΔS v Δt n молекул ( n-концентрация молекул), каждая из которых сообщит площадке импульс 2 mv (m-масса одной молекулы). Тогда давление равно отношению суммарного импульса, сообщенного площадке ΔS к Δt и ΔS

Р = 1/3 n m v² (4.3)

Т.к. кинетическая энергия одной молекулы ε_к = mv²/2, то формула (4.3) примет вид:

Р = 2/3 n ε_к (4.4)

Соотношение (4.4) называют иногда основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Если учесть, что молекулы имеют разные скорости и сталкиваются друг с другом, то получается такая же формула, только под ε_к понимается средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Это обстоятельство, конечно, не оправдывает простоту рассматриваемой модели газа. Если в этих же предположениях определить число

ударов молекул z об единицу площади стенки в единицу времени, то получится формула

z = 1/6 n v (4.5)

В точной формуле, полученной с учётом того, что все молекулы имеют разные скорости и сталкиваются друг с другом, численный множитель равен 1/4.

Выясним теперь молекулярно-кинетический смысл температуры. Для этого умножим (4.4) на объём V:

P V = 2/3 N Е_к (4.6)

Таким образом произведение давления на объём пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа. С другой стороны. Для идеального газа справедливо уравнение Клапейрона –Менделеева:

Р V = ν RT (4.7)

Сравнивая формулы (4.6) и (4.7) можно сделать однозначный вывод о том, что произведение давления и объёма для данной массы газа определяется с одной стороны температурой газа, а с другой стороны – кинетической энергией поступательного движения молекул, поэтому кинетическую энергию _к или любую монотонную функцию её можно принять за меру температуры. попробуем суммировать наши сведения о температуре.

1.Температура –макроскопический параметр, характеризующий термодинамическую систему в состоянии термодинамического равновесия, т. Е. нет смысла спрашивать о температуре одной молекулы или температуре кипятка, в котором плавает кусок льда.

2. С точки зрения МКТ температура характеризует интенсивность теплового движения молекул, например для идеального газа она пропорциональна кинетической энергии поступательного движения молекул.

3. Для количественного измерения температуры используются температурные шкалы. Шкала Цельсия строится по двум реперным точкам – нормальной точке плавления льда и нормальной точке кипения воды. Нормальная точка плавления льда – равновесная температура чистого льда и насыщенной воздухом воды при нормальном давлении (760 мм рт. ст.). Вторая точка – температура кипения воды при нормальном давлении. Первой точке присваивается температура 0 ⁰С, - второй – 100 ⁰С.

Удобно за меру температуры взять величину

Θ = 2/3 _к/N, (4.8)

При этом формула (4.6) принимает вид

PV = N Θ, (4.9)

напоминающий уравнение Клапейрона-Менделеева. Величина Θ называется энергетической температурой и должна измеряться в джоулях, однако о историческим причинам для измерения температуры в термодинамике используется кельвин ( К). Отношение Θ/T называется постоянной Больцмана k=1,38 10^‒23 Дж/К. Основное уравнение МКТ теперь принимает вид:

P = n kT (4.10)

4.2 Статистические распределения.

При тепловом движении в состоянии термодинамического равновесия все направления скоростей молекул равновероятны, но модули всех скоростей молекул не могут быть одинаковыми, т.к. молекулы часто сталкиваются друг с другом. Задача о распределении молекул газа по скоростям была решена в 1859 г. Максвеллом. Примем произвольную точку пространства О за начало координат, отложим от неё в некоторый момент времени векторы скоростей всех молекул газа. Концы векторов образуют пространство скоростей. Возьмём в пространстве скоростей малый элемент объёма , имеющий, например, форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами dv_х, dv_у, dv_z и с центром в точке v_х, v_у, v_z. Объём этого параллелепипеда равен dω = dv_х dv_у dv_z, число скоростных точек в нём обозначим через dN. Среднее значение зависит от N, dω и от скорости ν, т.е.

= N f(v) dω (4.11)

Величина f(v) называется функцией распределения молекул по скоростям. Если проинтегрировать по всему пространству скоростей, то, очевидно, получится полное число молекул N. Отсюда следует условие нормировки. которому должна удовлетворять функция f(v)

(4.12)

Приведём без вывода вид функции распределения, полученный Максвеллом:

f(v) = 4π (m/(2πkT))^3/2 v² exp ( ‒ mv²/(2kT)) (4.13)

Прямое измерение скоростей молекул в атомном пучке впервые было проведено в 1920 г. О. Штерном в опытах, ставших классическими. Упрощённая схема опыта изображена на рис.4.2.

Платиновая нить А, покрытая серебром, располагалась

вдоль оси цилиндра С. Пространство внутри цилиндра

D₁ откачивалось до давления порядка 10^-5 мм рт. ст. При

С пропускании электрического тока нить А разогрева-

А . D лась, серебро испарялось и его атомы через узкую щель

В В двигались равномерно и прямолинейно к цилиндру С

и при конденсации на его поверхности образовывали

узкую полоску D. При вращении системы с большой

скоростью на цилиндре С появлялось размытое изобра-

Рис.4.2 жение щели D₁, что указывает на то, что атомы серебра

Двигаются с различными скоростями. Полученные при обработке результатов значения скорости в пределах погрешностей совпадали с результатами вычислений по формулам Максвелла.

Pассмотрим идеальный газ в однородном поле тяжести при постоянной температуре.

Рассмотрим вертикально расположенный цилиндрический столб

h газа площадью S. В этом цилиндре выделим объём толщиной dh,

находящийся на высоте h. Для его равновесий необходимо, чтобы

разность давлений снизу и сверху уравновешивала вес газа в выделеном

dh объёме, т.е.

‒ dP S = n mg S dh,

где n – концентрация молекул на высоте h. При постоянной температуре

g S из (4.10) dP = kT dn и после разделения переменных получаем

dn/n = ‒mg dh/kT (4.14)

После интегрирования с начальными условиями n = n₀ при h = 0 получаем:

ln(n/n₀) = ‒ mgh/kT (4.15)

и после потенциирования получаем распределение Больцмана:

n = n₀ exp (‒ mgh/kT) (4.16)

Для изменения давления из (4.16) получаем барометрическую формулу:

P = P₀ exp (‒ Мgh/RT) (4.17)

Применим распределение Больцмана к уединенной планете, окружённой изотермической газовой атмосферой. Потенциальная энергия молекулы с учётом закона всемирного тяготения на расстоянии r равна

Е_п = ²dr =  GMm/r (4.18)

Распределение Больцмана принимает вид

n = n₀ exp ( GMm/(rkT)) (4/.19)

Как видно из (4.19) на бесконечном расстоянии от планеты Концентрация не равна нулю. Это является следствием того, что атмосфера не равновесна. Молекулы, имеющие скорости большие второй космической скорости, могут покидать атмосферу. Для массивных планет процесс рассеивания атмосферы происходит крайне медленно В учебнике Д. В. Сивухина подробно исследован этот процесс., в частности там приводятся результаты расчёта температуры газа (К), при которой концентрация молекул различных газов уменьшается в e раз за время τ = 10¹⁰ лет, которое больше чем в 2 раза превышает возраст Земли.

ПЛАНЕТА / ГАЗ	N2	O2	H2	H2O	He
Земля	5 540	6 340	396	3 560	792
Луна	252	288	18	162	36
Марс	1 130	1 300	81	729	162
Венера	4 690	5 360	335	3 010	670
Юпитер	168 000	192 000	12 000	108 000	24 000

Из таблицы видно , что Земля надёжно удерживает в атмосфере все газы, кроме водорода и гелия, а Луна практически лишена атмосферы.

Рассмотрим явления переноса в газах. В эту группу явлений включают внутреннее трение. диффузию и теплопроводность. Объединяет эти явления механизм передачи каких-либо микроскопических характеристик молекул, - через столкновения\ молекул друг с другом. Для количественного описания этих явлений Клаузиус ввёл понятие средней длины свободного пробега, т.е. среднего расстояния, которое пролетает молекула от одного столкновения до следующего. Для упрощения задачи предположим, что движется только одна молекула с постоянной скоростью v, а остальные молекулы неподвижны Назовём эффективным диаметром молекулы d минимальное расстояния между центрами масс сталкивающихся молекул. Вообразим, что с движущейся молекулой жестко связана сфера радиуса d, эта сфера при движении молекулы описывает ломаный цилиндр, очевидно, что движущаяся молекула столкнётся со всеми другими молекулами, центры которых находятся внутри цилиндра. Объём цилиндра за единицу времени равен πd²v. Если концентрация молекул равна n, то в единицу времени произойдёт

z = nπd² v

столкновений, а среднее расстояние между столкновениями равно

λ = 1/n πd² (4.20)

Строгий расчёт, проведённый Максвеллом с учётом распределения молекул по скоростям, даёт

λ = 0,71/n πd² (4.21)

Рассмотрим две параллельные пластинки, между которыми находится газ. Одна из пластин неподвижна, а вторая двигается со скоростью u. Чтобы поддерживать эту скорость постоянной, к движущейся пластинке необходимо прикладывать силу F. Если расстояние между пластинами равно l, а площадь одной пластины – S, то, как это экспериментально установлено Ньютоном,

F = η S u/ll (4.22)

Коэффициент η в этой формуле называется коэффициентом внутреннего трения или вязкостью. Если направить ось х перпендикулярно пластинам, то формулу (4.22) можно записать так

F = η S du/dх (4.23)

Как показала МКТ, вязкость газа связана с микроскопическими величинами, характеризующими движение молекул, формулой

η = 1/3 ρ v λ (4.24)

1Явление теплопроводности описывается экспериментально установленным законом Фурье. Плотность потока тепла пропорциональна в одномерном случае производной температуры по координате

q = ‒ æ dТ/dх , (4.25)

где коэффициент теплопроводности æ выражается через микроскопические величины следующим образом:

æ = 1/3 ρ v λ с_V (4.26)

Диффузией называется проникновение молекул одного газа среди молекул другого газа. Если молекулы обоих газов мало отличаются друг от друга, то диффузию принято называть самодиффузией. Для наблюдения самодиффузии нужно как-то «пометить» часть молекул. Если

Концентрация «меченых» молекул равна n_1, то для одномерной самодиффузии выполняется закон Фика, диффузионный поток (количество «меченных» молекул через единичную площадку в единицу времени) пропорционален производной концентрации по координате

Г₁ = ‒ D dn₁/dх , (4.27)

а коэффициент диффузии

D = 1/3 v λ (4.28)

Расчет взаимной диффузии для газов, молекулы которых сильно отличаются друг от друга, представляет собой непростую задачу.

Тема № 5 Термодинамика

5.1 Первое начало термодинамики

В основе термодинамики лежат так называемые начала, которые являются обобщением большого числа опытов. Термодинамика, в отличии от молекулярной физики, опирается на макроскопические параметры, характеризующие термодинамическую систему в состоянии равновесия. При рассмотрении изменения состояния систем широко используются квазистатические роцессы, состоящие из непрерывно следующих друг за другом состояний равновесия. Такие процессы, строго говоря, никогда не реализуются в природе они являются физическими абстракциями. Однако многие реальные процессы, идущие с конечными скоростями, часто могут считаться приблизительно квазистатическими. В термодинамике часто используются следующие квазистатические процессы: 1) изотермический процесс , происходящий при постоянной температуре (Т = const ); 2) изобарический процесс ( Р = const); 3) изохорический процесс ( V = const).

Рассмотрим газ в цилиндре под поршнем площадью S. Если давление газа равно Р. то при перемещении поршня на расстояния dl совершается элементарная работа δА = РS dl. Поскольку изменение объёма в этом случае равно dV = S dl, то газ совершает работу

δА = Р dV (5.1)

Чтобы от элементарной работы перейти к работе для конечного процесса, надо вычислить интеграл

А = ∫ Р dV

Так как давление зависит не только от объёма, но и от температуры, то работа зависит не только от начального и конечного состояния, но и от пути перехода. Про величины такого рода говорят, что они являются функциями состояния. Из геометрического смысла интеграла следует, что работа численно равна площади фигуры под графиком процесса в переменных V, Р.

Важным понятием термодинамики является адиабатическая оболочка. Состояние системы, заключённой в адиабатическую оболочку, остаётся неизменным при любых изменениях температур окружающих тел, если только значения внешних параметров поддерживаются постоянными. В опытах Джоуля по определению механического эквивалента теплоты было доказано, что работа внешних сил, совершенная над системой, заключенной в адиабатическую оболочку, не зависит от пути перехода системы из начального состояния в конечное.

Внутренней энергией U системы называется функция состояния, приращение которой во всяком процессе, совершаемой системой в адиабатической оболочке, равно работе внешних сил над системой при переводе её из начального состояния в конечное.

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется кинетической энергией его молекул. Как следует из формулы (4.8),

U = 3/2 ν RТ (5.2)

Внутреннюю энергию системы можно изменить не только производством работы, но и путём теплообмена. Процесс обмена внутренними энергиями между телами, не сопровождающийся совершением макроскопической работы, называется теплообменом.\Энергия, переданная телу окружающей средой в результате теплообмена, называется количеством тепла.

Сформулируем теперь первое начало термодинамики. Оно утверждает, что теплота Q, полученная системой, идёт на приращение её внутренней энергии и на производство внешней работы

Q = ΔU + А (5.3)

Для элементарных процессов первое начало записывают в виде

δQ = dU + δА (5.4)

Такая запись подчёркивает, что только внутренняя энергия является функцией состояния.

Из первого начала термодинамики следует, что невозможно совершить работу большую, чем полученная теплота, невозможно построить вечный двигатель первого рода, имеющий коэффициент полезного действия, большим единицы.

Теплоёмкостью тела С называется отношение бесконечно малого количества тепла δQ, полученного телом, к соответствующему приращению dТ его температуры:

С = δQ/dТ (5.5)

Особое значение имеют теплоёмкости при постоянном объёме С_V и постоянном давлении С_Р.

При постоянном объёме dV = 0 и

С_V = (∂U/∂Т)_V (5.6)

При постоянном давлении

С_Р = (∂Q/∂Т)_Р (5.7)

Для идельного газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому

С_Р = С_V + Р dV/dT ,

Тогда

С_Р ‒ С_V = νR (5.8)

Полученная формула называется уравнением Майера.

Получим уравнение адиабатического процесса. Так как δQ = 0, тодля одного моля

С_V dТ + Р dV = 0

.

Из уравнения Клапейрона - Менделеева

dT = (P dV + V dP)/R,

отсюда с учётом уравнения Майера

С_V V dP + C_P P dV = 0

Разделим полученное соотношение на С_P P V и обозначим γ = С_Р/С_V

dP/P + γ dV/V = 0

Отсюда после интегрирования и потенциирования получаем

Р V^γ = const (5.9)

Полученное соотношение называется уравнением Пуассона или уравнением адиабаты, а показатель степени при V в этом уравнении – показателем адиабаты.

Рассмотрим коротко классическую теорию теплоёмкостей идеального газа. В основе этой теории лежит теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Число степеней свободы системы i равно минимальному числу независимых координат, необходимых для однозначного описания системы. По этой теореме на каждую степень свободы одной молекулы приходится энергия, равная 1/2 kТ. Тогда внутренняя энергия ν молей идеального газа равна

U = i/2 ν RT , (5.10)

где число степеней свободы равно: 3 для одноатомных молекул, 5 -для двухатомных молекул и 6 – когда i ≥ 3. В этом случае

С_V = i/2 νR; С_Р = (i + 2)/2 νR; γ = (i + 2)/i. (5.11)

Например для воздуха, состоящего в основном из двухатомных молекул, показатель адиабаты при расчётах по формулам (5.11) равен 1,40, а табличное значение при нормальных условиях равно 1.41.

5.2 Второе начало термодинамики

Второе начало термодинамики позволяет судить о направлении процессов, которые могут происходить в системе. Вильям Томсон (лорд Кельвин) дал такую формулировку постулата второго начала термодинамики: «Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого быпо бы производство работы за счёт охлаждения теплового резервуара». В такой формулировке второе начало термодинамики отрицает возможность построения вечного двигателя второго рода, имеющего коэффициент полезного действиям η = 1. Клаузиус дал существенно иную формулировку второго начала термодинамики: «Теплота не может самопроизвольно переходить от тела менее нагретого к телу более нагретому». Несмотря на кажущееся различие, обе формулировки эквивалентны. В термодинамике различают обратимые и необратимые процессы. Если в результате какого-либо процесса система перешла из состояния 1 в состояние 2 и если можно хотя бы одним способом вернуть её в состояние 1 так, чтобы во всех остальных телах не произошло никаких изменений, то процесс называется обратимым. Если же обратный процесс невозможен, переход из 1 в 2 считается необратимым. Анализируя работу тепловых машин в своей знаменитой работе « Размышления о движущей силе огня и машинах, способных развивать эту силу», Сади Карно рассмотрел работу идеальной машины, работающей по знаменитому циклу Карно. Эта машина получает от первого теплового резервуара (нагревателя) количество тепла Q₁ и отдает второму резервуару (холодильнику) количество тепла Q₂, совершая работу А = Q₁ ‒ Q₂. Карно доказал две теоремы: 1) «Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур Т₁ и Т₂ нагревателя и холодильника но не зависит ни то устройства машины, ни от вида используемого рабочего вещества»; 2) «Коэффициент полезного действия всякой тепловой машины не может превосходить к.п.д. идеальной машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника». Обе теоремы Карно можно объединить неравенством

(Q₁ ‒ Q₂)/Q₁ ≤ (T₁ ‒ T₂)/T₁ (5.12)

Для идеальной машины

Q_1//Q₂ = Т₁/Т₂ (5.13)

В 1848 г. Вильямс Томсон (лорд Кельвин) указал, что теоремой Карно можно воспользоваться для построения температурной шкалы, совершенно не зависящей от индивидуальных особенностей термометрического вещества и устройства термометра. Для этого можно приписать какой – либо реперной точке определённое значение температуры, а температуру любого другого тела определить по формуле (5.13). Построенная таким образом шкала называется абсолютной термодинамической шкалой температур. За реперную точку такой шкалы принята тройная точка воды, ей приписано значение температуры 273,16 К точно. Из такого определения температуры следует, что она не может быть отрицательной.

Из неравенства (5.12) следует интересное соотношение

Q₁/Т₁ ‒ Q₂/Т₂≤ 0 (5.14)

Клаузиус обобщил это неравенство на случай произвольного числа тепловых резервуаров. Количество тепла, отданного тепловым резервуаром, считается положительным Отношение Q/Т называется приведённым количеством тепла. Тогда для кругового процесса

∮δQ/Т ≤ 0 (5.15)

Это фундаментальное соотношение называется неравенством Клаузиуса. Если круговой процесс, совершаемый системой, - квазистатический, то неравенство Клаузиуса переходит в равенство

∮ δQ/Т = 0 (5.16)

квст

На этом равенстве основано введение фундаментального в термодинамике понятия энтропии.

Энтропия системы есть функция её состояния, убыль которой равна приведённому количеству тепла, которое необходимо сообщить системе для её перевода из начального состояния 1 в конечное состояние 2 по любому квазистатическому путии Таким образом по определению

S₂ ‒ S₁ = ∫ δQ/Т (5.17)

1→2

Если система переходит из состояния 1 в состояние 2 по любому пути, а возвращается назад по квазистатическому, то из неравенства Клаузиуса получаем

S₂ ‒ S₁ ≥ ∫ δQ/Т.

1→2

Если система адиабатически изолирована, то δQ = 0, тогда

S₂ ≥ S₁. (5.18)

Таким образом, энтропия адиабатически изолированной системы не может убывать. Это – закон возрастания энтропии.

Наряду с энтропией, в термодинамике используются множество других, связанных с ней функций состояния. Особо важное значение имеют две функции: свободная энергия или потенциал Гельмгольца Ψ, и термодинамический потенциал или потенциал Гиббса Ф. Эти функции состояния определяются выражениями

Ψ = U ‒ Т S, (5.19)

Ф = Ψ + Р V. (5.20)

Для их дифференциалов легко получить

dΨ ≤ ‒ S dT ‒ P dV (5.21)

dФ ≤ ‒ S dT + V dP (5.22)

При изотермическом процессе dТ = 0 и dΨ ≤ ‒ δА, т.е. убыль свободной энергии при изотермическом процессе даёт максимальную работу, которую может произвести система.

А убыль термодинамического потенциала даёт максимальную полезную работу, которую может произвести система.

Дальнейшие исследования в этой области привели к появлению важнейшей термодинамической функции – энтропии. Энтропия системы есть функция состояния, определённая с точностью до произвольной постоянной. Разность энтропий в двух равновесных состояниях 2 и 1, по определению, равна приведённому количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути. S₂ – S₁ = . Энтропия адиабатически изолированной системы не может убывать; она либо возрастает, либо остаётся постоянной. Это – закон возрастании энтропии.

Важную роль в природе занимает играет поверхностное натяжение на поверхности жидкости. Силы поверхностного натяжения резко возрастают при увеличении кривизны поверхности жидкости. В тонких цилиндрических капиллярах при наличии смачивания вода может подниматься вверх на высоту в десятки метров.

В учении о фазах выясняются условия, при которых система, состоящая и нескольких фаз, находится в равновесии, а также анализируется влияние различных факторов на фазовые превращения.

5.3 Поверхностное натяжение

На молекулу жидкости действуют силы притяжения со стороны окружающих молекул. Если молекула находится внутри жидкости, эти силы в среднем уравновешиваются, если же она находится вблизи поверхности, то появляется результирующая сила, направленная внутрь жидкости. Поэтому для извлечения молекулы из внутренних частей жидкости на её поверхность требуется затрата работы. Величина, численно равная работе, которую необходимо совершить, чтобы изотермически и квазистатически увеличить поверхность жидкости на единицу при сохранении её объёма неизменным, называется коэффициентом поверхностного натяжения σ жидкости. Изотермическая работа, как известно, равна убыли свободной энергии системы, которую можно представить в виде суммы объёмной и поверхностной составляющих

Ψ = Ψ_об + Ψ_пов (5.23)

Так как объём не изменяется, то

σ = Ψ_пов/F, (5.24)

где F - площадь поверхности жидкости. Таким образом ,, коэффициент поверхностного натяжения можно также определить как свободную поверхностную энергию жидкости, приходящуюся на единицу её поверхности.

В состоянии равновесия свободная энергия системы должна быть минимальной, т.к. при постоянных Т и V из (5.21) следует, что dΨ ≤ 0. Поэтому в отсутствии внешних полей жидкость должна принять форму шара, т.к. из всех тел данного объёма шар имеет наименьшую поверхность, а потому и наименьшую свободную энергию. Получению шаровой формы капли мешает сила тяжести.

Принцип минимума свободной поверхностной энергии в применении к растворам приводит к интересному заключению. Состав поверхностного слоя может существенно отличаться от состава основной массы жидкости. Дело в том, что различные чистые вещества имеют разные коэффициенты поверхностного натяжения, поэтому минимум свободной энергии может достигаться путём укомплектования поверхностного слоя такими молекулами, чтобы Ψ была минимальной. Вещества, адсорбирующиеся на поверхности жидкости с понижением σ, называются поверхностно-активными. Наиболее известным примером поверхностно-активного вещества является мыло. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости уменьшается также при её нагревании.

Если поместить каплю жидкости на горизонтальную поверхность, то между касательной к поверхностью жидкости и поверхностью твердого тела образуется два угла. Тот угол, который заключает в себе жидкость , называется краевым углом θ . Если краевой угол острый, то говорят, что жидкость смачивает поверхность, если θ – тупой угол, то говорят, что жидкость не смачивает поверхность. Если поверхность жидкости изогнута, то давление по разные стороны её разные. Разность давлений для астигматической поверхности определяется формулой Лапласа

ΔР = σ (1/R₁ + 1/R₂), (5.25)

где R₁и R₂ радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости. Если поверхность жидкости – сферическая, то (5.25) переходит в

ΔР = 2σ/R (5.26)

Внутри мыльного пузыря, оболочка которого имеет две поверхности, разность давлений

ΔР = 4σ/R. (5.27)

Будем считать поверхность жидкости

Применим формулу Лапласа для расчёта высоты h поднятия жидкости в капилляре ( от лат. Capillary – волос) радиуса r. Будем считать поверхность жидкости к капилляре сферической с радиусом кривизны R = r/cos θ, где θ – краевой угол. Тогда, приравнивая ΔР и ρgh, получаем

h = 2σ cos θ/ρgr (5.28)

Если краевой угол θ тупой, величина h отрицательна, т.е. уровень жидкости в капилляре ниже, чем в жидкости.

5.4 Фазовые превращения.

Фазой называется макроскопическая, физически однородная часть вещества, отделённая от остальных частей системы границами раздела, так что она может быть извлечена из системы механическим путём. Фаза более мелкая категория, чем агрегатное состояние вещества, - в любом агрегатном состоянии, кроме газообразного, может быть многофазная система. Важнейшим вопросом в учении о фазах является выяснение условий, при которых система, состоящая из двух или нескольких фаз, находится в равновесии. Равенство давлений и температур ещё не означает, что система находится в равновесии, необходимо ещё равновесие по отношению к взаимным превращениям фаз. Как следует из (5.22) при постоянных температурах Т и давлениях Р термодинамический потенциал может только уменьшаться, т.к.

dФ ≤ 0. В состоянии равновесия значение Ф должно быть минимально. Рассмотрим систему, состоящую из двух фаз 1 и 2 , которые могут превращаться друг в друга. Пусть m₁ и m₂ массы первой и второй фаз, а φ₁ и φ₂ – их удельные термодинамические потенциалы. Тогда для всей системы

Ф = m₁φ₁ + m₂φ₂ (5.29)

Если φ₁ > φ₂ , то всякое превращение фазы 1 в фазу 2 сопровождается уменьшением Ф, это превращение будет происходить, пока вся фаза 1 не перейдёт в фазу 2. Наоборот, если φ₁ < φ₂, то фаза 2 в конце концов превратится в фазу 1. Только при условии φ₁ = φ₂ возможно равновесие. Таким образом, условием равновесия фаз является равенство их удельных термодинамических потенциалов. При изменении давления температура фазового равновесия также изменяется. Примерами фазовых превращений являются изменения агрегатного состояния вещества. Найдем, например, наклон кривой испарения. При смещении вдоль кривой испарения

dφ₁ = dφ₂ , т.е.

v₁ dP – s₁ dT = v₂ dP – s₂ dT,

или

dP/dT = (s₁ – s₂)/(v₁ – v₂) (5/30)

где v и s - удельные объём и энтропия. При переходе из газообразного состояния 1 в жидкое состояние 2 выделяется количество тепла, - удельная теплота испарения q₁₂, поэтому

s₁ – s₂ = q₁₂/Т,

тогда

dP/dT = q₁₂/(T(v₁ – v₂)/ (5/31)

Это важное соотношение называется уравнением Клапейрона - Клаузиуса. Для кривой испарения воды dP/dT = 36 гПа/К.

Процесс интенсивного испарения, происходящий по всему объёму жидкости, называется кипением. Чтобы пузырёк, находящийся внутри жидкости на глубине h, расширялся, необходимо, чтобы давление насыщенного пара превышало сумму атмосферного, гидростатического и лапласова давления

Р_Н > Р_А + ρgh + 2σ/r (5.32)

При кипении жидкости , в неглубоком сосуде, если в ней имеются достаточно крупные пузырьки, вторым и третьим слагаемыми в правой части (5.32) можно пренебречь.