§ 7.2. Принятые допущения

В предлагаемом методе аналитического определения напряжения волочения сплошного профиля через коническую волоку, кроме допущений о направлениях траекторий главных нормальных напряжений, приняты следующие:

1. Во всех точках, расположенных на одной и той же траектории радиальных главных нормальных напряжений σ_r (рис.20, кривые l₁, l₂, ..., l₅), их принимают одинаковыми (на контактной поверхности направление σ_r совпадает с направлением σ_пол). Это допущение вместе с условием пластичности (2-9) приводит к равенству в этих точках всех продольных главных нормальных напряжений σ_l. Опыты с отпечатками координатных сеток такого равенства не подтверждают, но осесимметричность деформационной зоны позволяет использовать для расчётных целей такое допущение.

2. Расчётное сопротивление деформации S_т по всей длине деформационной зоны принимают постоянным, равным его среднему значению в пределах этой зоны, т.е. S_тс. Это допущение не соответствует действительности, но на основании известной "теоремы о среднем" оно приемлемо для расчётных целей. Кроме того, это допущение заметно упрощает математические операции при решении задачи. В связи с таким допущением и на основании (2-9) условие пластичности принимает следующий вид: σ_l + σ_r = σ_тс. (7-2)

3. Силы внешнего трения учитывают коэффициентом трения по нормальному давлению, т.е. T = f_nN. При этом коэффициент трения считается независящим от нормального давления. Обосновывается это тем, что волочение – такой вид ОМД, при котором нормальные напряжения на контактной поверхности, кроме возможного небольшого участка трехосного сжатия, всегда меньше сопротивления деформации, и, следовательно, напряжения трения на этой поверхности не достигают своего максимума.

4. Коэффициент трения на контактной поверхности принимают неизменным по всей её длине. В действительности, коэффициент трения изменяется, большей частью увеличиваясь к выходу, но закон такого изменения пока неизвестен, поэтому в расчётах приходится пользоваться некоторым средним значением этой величины f_{n ср}.  Уместно отметить, что волочение – это процесс, в котором при практически применяемых деформациях потери на трение составляют не более 50% от всей затрачиваемой работы, поэтому ошибки в выборе величины f_{n ср} оказывают сравнительно небольшое влияние на результаты расчёта сил волочения.

5. Все последующие рассуждения и выводы относятся к установившемуся процессу волочения, при котором деформационная зона находится на таком расстоянии от заднего конца полосы, когда его влияние на поле напряжений и сдвигов исключено.

Контрольный вопрос.

1. Что служит базой аналитических методов?

Лекция 7

§ 7.3. Основная формула напряжения волочения

Связь между главными радиальными (σ_r) и нормальными (σ_n) напряжениями

Пусть на элементарную площадку dF контактной поверхности в окрестности точки A действует нормальное σ_n и касательное τ_f напряжения. Соответствующие

элементарные силы будут равны (рис.115, а)      (7-3)

Рис. 115. Связь между главными радиальными и нормальными напряжениями на контактной поверхности: а – деформационная зона; б – элементарные силы, действующие у точки А

Равнодействующая этих двух элементарных сил  dR  будет

, (7-4)

а её направление III-III, совпадающее с направлением σ_пол, определится углом трения  ρ.

В гл.II была обоснована возможность принять направление dR за направление главного радиального напряжения в точке A и, следовательно, допустить отсутствие касательных напряжений на элементарной площадке в плоскости II-II, перпендикулярной направлению III-III.

Проекция рассматриваемой площадки dF  на плоскость  II-II равна dF cosρ, отсюда главное радиальное напряжение определится

выражением   .   (7-5)

Подставляя полученное значение σ_r в уравнение (7-2), можно представить условие пластичности для процесса волочения в следующем виде

. (7-6)

Определение суммы проекций на ось канала элементарных продольных сил, действующих на поверхности равных радиальных напряжений

Пусть дуга AB (рис.116) с центром в точке а и центральным углом β_a является траекторией главных радиальных напряжений и одновременно представляет собой пересечение поверхности шарового сегмента деформационной зоны, находящегося на расстоянии x от выхода, с осевой плоскостью, а стрелки σ_lx представляют собой главные продольные напряжения, действующие на поверхности этого шарового сегмента. Элементарная сила dP_б, действующая на элементарную площадку dF_б, находящуюся у точки б, равна dP_б = dF_б σ_lx .   (7-7)

Рис. 116. Определение суммы проекций элементарных продольных сил, действующих на поверхности равных радиальных напряжений, на ось волочильного канала

Сила dX_б, являющаяся осевой составляющей силы  dPб,  равна

dX_б= dP_бcosβ_б = dF_бσ_lxcosβ_б. (7-8)

При суммировании осевых составляющих по поверхности шарового сегмента получается сила X, действующая на эту поверхность в осевом

направлении:    .   (7-9)

Но есть не что иное, как проекция поверхности шарового

сегмента на плоскость, перпендикулярную оси канала, т.е. круг  D = AB.  Отсюда X = σ_lx π/4 D ²_AB.     (7-10)

Величина продольного главного нормального напряжения  σ_lк  у выхода из деформационной зоны

В общем случае волочения круглого сплошного профиля через коническую волоку напряжения и силы, действующие на металл, находящийся в деформационной зоне, могут быть представлены следующим образом.

Деформационная зона (рис.117) ограничена каналом и двумя сферическими поверхностями A_нB_н и A_кB_к с действующими на неё противонатяжением Q = σ_qF_н и силой волочения P_об = K_с.обF_к, где K_с.об – среднее напряжение волочения у выхода из обжимающей части канала, т.е. без учёта сил трения в калибрующей части канала.

Напряжения противонатяжения σ_q создают на поверхности A_нB_н продольные главные напряжения σ_lq, метод определения которых указан далее. Напряжения K_с.об создают на поверхности A_кB_к продольные главные напряжения σ_lк.

Выделим из деформационной зоны элементарный объём, образованный контактной поверхностью и двумя бесконечно близкими поверхностями равных главных радиальных и продольных напряжений, находящимися на расстоянии x от выхода из обжимающей части деформационной зоны. Эти две поверхности являются поверхностями шаровых сегментов, образованных дугами A₁B₁ и A₂B₂, примыкающими к контактной поверхности под углами (90º – ρ) и имеющими своими центрами точки a₁ и a₂. На этот элементарный объём действуют на контактной поверхности нормальные напряжения σ_nx и касательное напряжение f_nσ_nx.

Эти два напряжения создают главное радиальное напряжение σ_rx, определяемое выражением (7-5). Направление этого напряжения совпадает с направлением касательных A₁C₁ и A₂C₂ к дугам A₁B₁ и A₂B₂, поэтому образованные этими дугами шаровые поверхности можно считать поверхностями равных главных нормальных напряжений. В соответствии с этим, на рис.117 показаны действующие по направлению радиусов дуг A₁B₁ и A₂B₂ продольные главные напряжения  σ_lx  и  σ_lx + dσ_lx,  величины которых зависят от расстояния  x.

Рис. 117. Силы и напряжения, действующие в деформационной зоне при волочении круглого сплошного профиля через коническую волоку

Обозначив через D_x хорду дуги A₂B₂, представляющую собой  поперечного сечения деформационной зоны, проходящую через точки A₂ и B₂, а через F_x = π/4 D_x² это поперечное сечение и принимая во внимание связи(7-6–9), можно составить следующее дифференциальное уравнение равновесия рассматриваемого элементарного объёма в осевом направлении:

. (7-11)

Но     и (7-12)

и . (7-13)

Поэтому, разделив обе части уравнения (7-11) на π/4 D_x², получим

. (7-14)

Условие пластичности (7-6) может быть переписано следующим образом:

. (7-15)

Принимая во внимание это условие и разделив переменные, дифференциальному уравнению (7-14) можно придать следующий вид:

. (7-16)

Обозначив  cos²ρ (1+f_nctgα) – 1 = a , (7-17)

уравнение (7-16) можно представить в виде   ,  (7-18)

а после интегрирования ,  (7-19)

где lnC – постоянная интегрирования.

При D_x = D_н, т.е. на дуге A_нB_н   σ_lx = σ_lq.  Тогда

(7-20)

или .     (7-21)

При D_x = D_к, принимая во внимание (7-19) и (7-21), продольное напряжение σ_lк  у выхода из деформационной зоны, т.е. на дуге  A_кB_к,

определяется выражением    ,  (7-22)

откуда ,  (7-23)

или .  (7-24)

При этом следует иметь в виду, что σ_lк не является напряжением волочения, т.к. на разных расстояниях от оси канала оно имеет разные направления, не совпадающие с осью канала.

Лекция 8

Напряжения волочения без учёта калибрующей зоны канала

Это напряжение определяется выражением     . (7-25)

Для его определения необходимо найти P_об. Пусть на площадку dF в окрестности точки δ (рис.118), находящейся на шаровом сегменте A_кB_к, ограничивающем выходную сторону деформационной зоны, действует продольная элементарная сила

dP_δl = σ_lкdF.      (7-26)

Чтобы создать эту элементарную силу, необходимо в осевом направлении приложить элементарную силу dP_δx. Связь между силами dP_δl и dP_δx можно установить, исходя из следующих положений:

1. Направления этих сил определяются траекторией главных продольных напряжений CδD, проходящей через точку δ. (Траектория главных напряжений не может быть ломаной, т.к. в противном случае в точке излома появилось бы вместо трёх бесконечное число главных направлений, поэтому поворот рассматриваемой траектории происходит в окрестности точки δ непрерывно с каким-то радиусом  r ).

2. Если разделить угол β_δ между направлениями dP_δl и dP_δx на n частей (рис.118, справа вверху), обозначить γ = β_δ/n (7-27)

и предположить, что изменение направления траектории CδD в окрестности точки δ происходит скачками через каждый угол γ, то можно считать, что рассматриваемая элементарная сила dP_δl переходит в силу dP_δ1, затем в dP_δ2, и т.д., и, наконец, в силу  dP_δx.

3. Учитывая, что активной силой является сила dP_δx, на основании элементарных законов механики можно считать, что для возникновения силы dP_δl в направлении δ_l следует в этом направлении приложить силу

. (7-28)

Для возникновения силы  dP_δ1  необходимо в направлении  δ₂  иметь

силу  (7-29)

и т.д., и, наконец, для возникновения силы dP_δn-1 необходимо в направлении δ_x

создать силу . (7-30)

Рис. 118. Связь между продольными и осевыми силами и напряжениями

4. Т.к. скачкообразный переход направлений сил невозможен, то угол γ следует предположить бесконечно малым, т.е. при n→  определить предел функции

.    (7-31)

Прологарифмировав выражение (7-31) и переписав его в виде

, (7-32)

Применив правило Лопиталя, получитм . (7-33)

Но, если    , то (7-34)

и dP_δl = dP_δx . (7-35)

Это равенство показывает, что сила волочения P_x = P_об должна представлять собой сумму элементарных сил  dP_σl,  взятых по поверхности  F_шс

шарового сегмента A_кB_к, т.е., что . (7-36)

Отсюда среднее значение напряжения волочения . (7-37)

Согласно схеме (рис.118, внизу), , (7-38)

и β = α + ρ , (7-39)

откуда . (7-40)

Отметим, что σ_с.об является средним значением напряжения по поперечному сечению профиля. Действительные растягивающие напряжения в концентрических слоях профиля неодинаковы. Они зависят от расстояния слоя до оси профиля, определяемого положением бесконечно малой конической кольцевой поверхности, проходящей через точку δ, т.е. углом β_δ, и отношением этой поверхности к её проекции на поперечное сечение профиля. Действительно, элементарная сила волочения dP_δ, проходящая через площадку шарового сегмента A_кB_к в окрестности точки δ, создаёт после его поворота напряжение в соответствующей площадке плоского поперечного сечения профиля, равное

. (7-40а)

Это напряжение увеличивается с удалением точки δ от оси к периферии, т.е. с увеличением угла β_δ. Для периферийных слоёв β_δ = α + ρ. Таким образом,

. (7-40б)

Соответствующая эпюра действительных напряжений волочения по сечению профиля частично выравнивается по мере удаления от выхода из волочильного канала (рис.118).

Учёт сил трения в калибрующей зоне канала

Изложенные выводы, определяющие напряжения волочения, относятся лишь к обжимающей зоне волочильного канала. В действительности почти каждый волочильный канал имеет и калибрующую зону, на поверхности которой во время волочения возникают нормальные давления, и, следовательно, силы внешнего трения, препятствующие процессу. Эти силы должны быть уравновешены соответствующей долей общей силы волочения.

Чтобы определить рост напряжения волочения в результате действия сил трения в калибрующей зоне, необходимо знать величину нормального напряжения σ_{n кал}, возникающего на контактной поверхности этой зоны. Эта величина не постоянна. Она уменьшается от входа в калибрующую зону к выходу из неё в соответствии с обратным характером изменения напряжения волочения, которое повышается от входа к выходу. Закон изменения σ_{n кал} в калибрующей зоне неизвестен, однако можно с уверенностью сказать, что это напряжение не превышает то нормальное напряжение, при котором в калибрующей зоне могли бы возникнуть пластические деформации. Отсюда, принимая во внимание использованное ранее условие пластичности, можно

записать, что           , (7-41)

где  S_тк – сопротивление деформации протягиваемого металла в состоянии выхода из обжимающей зоны канала;  σ_{lx кал} – среднее значение растягивающего напряжения в калибрующей зоне канала в сечении, находящемся на расстоянии x от выхода (рис.119).

Ввиду неясности закона изменения σ_{n кал} в калибрующей зоне канала, расчёты приходится вести по максимально возможным значениям σ_{n кал}, т.е. приняв, что   σ_{n кал} = σ_тк – σ_{lx кал} . (7-41а)

При таком допущении несколько завышается величина сил трения на контактной поверхности, однако, ввиду того, что длина калибрующей зоны волочильного канала сравнительно невелика, это завышение не может сильно исказить общие результаты.

На основании этого допущения и схемы сил и напряжений в калибрующей зоне (рис.119), составим уравнение равновесия сил, действующих на элементарный

объём в этой зоне: , (7-42)

или . (7-42а)

Рис. 119. Силы и напряжения в калибрующей зоне волочильного канала

Принимая во внимание уравнение(7-41), получаем .(7-43)

Разделив переменные и интегрируя,    ,     (7-44)

откуда , (7-45)

или . (7-46)

Постоянная интегрирования C определится граничным условием,  по которому

при x = l_к   σ_{lx кал} = K_с.об, т.е. , (7-47)

а при x = 0   σ_{lx кал} = K_пол, где K_пол – полное напряжение волочения с учётом сил трения на калибрующем участке. Следовательно,

.    (7-48)

Отсюда составляющая напряжения волочения, идущая на преодоление сил трения в калибрующей зоне канала, определится выражением

. (7-49)

Формула (7-49), предложенная П.Т.Емельяненко и Л.Е.Альшевским, показывает, что σ_кал растёт с увеличением длины калибрующей части l_к и с уменьшением σ_с.об, т.к. при этом растёт σ_{n кал}, что правильно отражает влияние основных условий на напряжение волочения. Однако сложность техники вычислений по этой формуле не компенсируется точностью получаемых результатов и значимостью величины σ_кал. Поэтому И.Л.Перлин предложил более простой метод учёта сил трения в калибрующей части канала, условно названный «методом приведённого угла».

Сущность этого метода заключается в том, что силы, действующие на контактной поверхности, учитывают не по действительному, а по условному профилю канала, контактная поверхность которого представляет собой поверхность усеченного конуса высотой H (рис.120), равной сумме высот обжимающей h и калибрующей l_к зон канала. Такая условность не только не вызывает каких-либо дополнительных неточностей по сравнению с формулой (7-49), но из-за уменьшения контактной поверхности, по сравнению с фактической, несколько компенсирует завышение σ_кал, внесённое допущением, что в калибрующей зоне канала выполняется условие пластичности. Величина угла наклона α_п образующей условного (приведённого) профиля к оси канала определяется из следующих соотношений (рис.120):

, (7-50)

откуда ,  (7-51)

или, т.к. длину калибрующей зоны часто выражают через конечный  профиля,

l_к = mD_к , (7-52)

где  m = 0,1...1,5,  то   . (7-53)

Рис. 120. Учёт сил и напряжений в калибрующей части волочильного канала

Эта ф-ла показывает, что длина калибрующей зоны заметно влияет на tgα_п, особенно при небольших деформациях; например, при m = 1, α = 6º и μ = 1,10 имеем tgα_п 0,65 tgα.  При увеличении α это влияние, а с ним и влияние длины калибрующей зоны канала на силу волочения возрастает. Это особенно следует учитывать при расчётах, относящихся к волочению профилей средних, тонких и тончайших размеров, когда калибрующие зоны канала отличаются значительной длиной при сравнительно небольших деформациях. Положительная сторона применения приведённого угла α_п – возможность его экспериментального определения. Для этого определяют общую длину контактной поверхности H (рис.120), что обычно не представляет трудностей; между тем экспериментальное определение l_к, особенно на волоках тончайших , может представлять большие трудности. При использовании метода приведённого угла следует иметь в виду, что замена в формуле (7-40) угла α на α_п не должна влиять на направления главных продольных напряжений и величину их поворотов у выхода из обжимающей части, поэтому предлагаемая замена должна быть проведена только в уравнении равновесия (7-11) и, следовательно, только в выражении (7-17), определяющем параметра a.

В выражении (7-40) при определении параметра ,  такую замену делать нельзя.

Лекция 9

Величина продольного напряжения в начале пластической зоны

Для определения полного напряжения волочения K_пол необходимо знать напряжение σ_lq, возникающее на поверхности, ограничивающей зону начала пластических деформаций у входа в канал, т.е. на поверхности шарового сегмента A_нB_н (рис.117). По соображениям, аналогичным изложенным ранее,

. (7-54)

Напряжение σ_lq имеет минимум, отличный от нуля и зависящий от степени предварительной деформации протягиваемого металла и условий процесса (α и f_n). При отсутствии внешнего противонатяжения этот минимум идёт на создание упругих деформаций, возникающих перед пластической зоной. При внешнем противонатяжении этот минимум остаётся неизменным до момента, когда напряжение противонатяжения достигает своей критической величины. При дальнейшем увеличении противонатяжения  σ_lq, а с ним и напряжение волочения повышаются. Минимум σ_lq находят экспериментально для заданного состояния металла и условий процесса по величине критического противонатяжения, которое определяется моментом начала роста напряжения

волочения (7-6): , (7-55)

где σ_{l уп} – напряжение, возникающее у входной границы зоны пластических деформаций при отсутствии внешнего противонатяжения или в тех случаях, когда напряжение внешнего противонатяжения не достигло своей критической величины; σ_{q крит} – критическое противонатяжение. Если σ_q > σ_{q крит} , то  σ_lq определяется формулой (7-54).

Формула для определения полного напряжения волочения

На основании изложенного можно считать, что выражение, определяющее полное напряжение волочения σ_пол, получается из формулы (7-40) заменой в параметре a (7-17) угла α на приведенный угол α_п и подстановки вместо σ_lq его значений, определяемых формулами (7-54) и (7-55).

Принимая во внимание, что   , в окончательной записи  σ_пол определится выражением

,   (7-56)

или    , (7-56а)

где σ_тс – среднее значение сопротивления деформации в пределах деформационной зоны;

 – параметр; f_nи ρ – коэффициент и угол трения;

α_п – приведенный угол;  α – действительный угол образующей канала (полуугол); σ_q – напряжение противонатяжения, возникающее на задней поперечной границе пластической зоны, либо от действия внешнего противонатяжения σ_{q внеш}, либо от того и другого вместе. Это напряжение равно σ_{q крит} или больше него. Если σ_{q внеш} < σ_{q крит} , то s_q = σ_{q крит} . Если σ_{q внеш} > σ_{q крит} , то σ_q = σ_{q внеш} .

Величина σ_{q крит} определяется из экспериментов (гл.6). При отсутствии данных эта величина приближённо может быть определена по следующей

эмпирической формуле: ,  (7-57)

где:

μ_σпред – общая вытяжка металла от последнего отжига (предварительная);

μ_σmax – возможная максимальная общая вытяжка от отжига до отжига;

σ_0,2пред – условный предел текучести до волочения.

Формула (7-57) основана на том, что при μ_σmax равномерное удлинение при одноосном растяжении близко к нулю, т.е. на диаграммах деформация – условный предел прочности и деформация – условный предел текучести разность σ_в – σ_0,2 становится минимальной.

Если σ_{q внеш} превышает предел текучести металла в его состоянии до входа в канал, что может быть при волочении малоупрочнённых металлов, следует учесть возможную внеконтактную деформацию от противонатяжения. Для этого по кривой зависимости сопротивления деформации от степени деформации определяют деформацию, вызванную напряжением σ_{q внеш} , а по ней, зная поперечное сечение полосы до волочения, определяют действительное сечение F_н полосы у входа в деформационную зону. В этом случае при определении σ_тс сопротивлением деформации, соответствующим состоянию металла в начале деформационной зоны, будет σ_q.  Для облегчения расчётов в табл.17 и табл.18 приведены значения

параметров    и   a.  Согласно формуле (2-11),

ctgα_{п max} = f_n = tgρ  (7-58)

и соответственно из формулы (7-17) a_max = cos²ρ (1 + tg²ρ) – 1. (7-59)

Значения параметра  . Т а б л и ц а 1 7.

α + ρ (º)		α + ρ  (º)		α + ρ  (º)
0	1,00	25	1,06	50	1,19
5	1,01	30	1,08	60	1,30
10	1,015	35	1,10	70	1,50
15	1,02	40	1,12	80	1,70
20	1,04	45	1,15	90	2,00

Т а б л и ц а 1 8.

Значения параметра  a = cos²ρ (1 + tgρ ctgα_п) - 1

tg ρ = fn	Значения коэффициента а при αп (º)
	1	2	4	5	6	7	8	9
0,03	1,7	0,8	0,43	0,286	0,17	0,11	0,082	0,064
0,05	2,9	1,34	0,7	0,47	0,27	0,18	0,134	0,11
0,075	4,3	2,0	1,06	0,70	0,42	0,26	0,20	0,16
0,10	5,68	2,64	1,4	0,93	0,55	0,36	0,26	0,21
0,15	8,43	3,96	2,10	1,40	0,83	0,52	0,40	0,32
0,20	10,9	5,05	2,70	1,80	1,05	0,68	0,50	0,38