2. Переходный процесс в фильтре

Для построения графика переходного процесса в фильтре необходимо умножить передаточную функцию (3.14) фильтра на величину (подача единичного ступенчатого входного воздействия) и применить к полученному выражению обратное преобразование Лапласа:

, откуда после расчёта:

(3.26)

Подставляя в (3.26) различные значения , получаем конкретный вид передаточной функции:

t

y

Рисунок 3.15: Переходный процесс в фильтре при различных значениях .

По полученным графикам видно, что значение параметра определяет установившееся значение выхода фильтра. При этом с ростом установившееся значение выхода увеличивается. Так же видно, что существенно влияет на время переходного процесса.

4. Проектирование цифровой системы управления

   1. Проектирование цифрового фильтра

      1. Общее

Структурная схема цифрового фильтра изображена на рисунке 4.1:

Рисунок 4.16: Структурная схема цифрового фильтра в составе системы управления.

Заданный в техническом задании метод цифровой реализации фильтра с общей передаточной функцией вида (3.1), где числовые коэффициенты определены (3.13) и (3.25), предполагает численное решение дифференциального уравнения

. (4.1)

Решение же дифференциального уравнения (4.1), по существу, сводится к решению вспомогательного дифференциального уравнения с промежуточной переменной :

, (4.2)

которому соответствует промежуточная передаточная функция

. (4.3)

Имея решение по и её производным, легко сформировать решение по , которое имеет вид:

. (4.4)

Решение уравнения (4.2) на шаге с заданными начальными условиями и можно представить в виде:

, где: (4.5)

— общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (4.2),

— частное решение уравнения (4.2).

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (4.2):

, его корни:

, (4.6)

Т.к. корни действительные, то общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (4.2), имеет вид:

, где (4.7)

, — константы, определяемые начальными условиями.

Частное решение уравнения (4.2) зависит от вида внешнего возмущения , которое можно представить в виде ряда Тейлора:

. (4.8)

При такой форме входного возмущения частное решение уравнения (4.2) можно искать в виде:

(4.9)

Подставляя (4.9) и (4.8) в (4.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях до второго порядка включительно, получаем систему:

(4.10)

Решая (4.10), находим:

(4.11)

Подставляя (4.9) и (4.7) в (4.5), получаем:

(4.12)

Подставляя в первые два уравнения (4.12) начальные условия ( ), получаем систему:

(4.13)

Решая (4.13), находим коэффициенты и :

(4.14)

Полученные выше соотношения позволяют построить алгоритм вычисления выхода фильтра на шаге :

1. Из предыдущих шагов известны , , а также измеренная величина .

2. По заданному в техническом задании алгоритму вычисляем приближённые значения производных по входу и .

3. По (4.11) вычисляем , и .

4. По (4.14) вычисляем и .

5. По (4.12) вычисляем , и .

6. По уравнению (4.4) вычисляем искомое значение выхода фильтра.

Для проверки корректности полученного алгоритма, построим по нему график переходного процесса в цифровом фильтре при шаге на количестве отсчётов и сравним его с графиком переходного процесса в аналоговом фильтре.

Сплошной линией обозначим график переходного процесса в аналоговом фильтре, точками — график переходного процесса в цифровом фильтре.