M_zadania_1_2
.docxТеоремы
-
Теорема о единственности сходящейся последовательности
Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он единственен
Предположим, что существуют и конечны и . Пусть , тогда интервалы и , где, например, должны одновременно содержать все члены числовой последовательности, кроме конечного их числа, что невозможно, так как эти интервалы не имеют общих точек. Предположение неверное
-
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
Любая сходящаяся последовательность ограничена
По условию сходится существует конечный для для для . . Тогда для ограничена
-
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел
Если существует и конечен , то функция - локально ограниченная
По условию существует и конечен для для . Пусть для . для для - локально ограниченная.
-
Теорема о сохранении функцией знака своего предела
Если существует и конечен и , то такая, что для
По условию существует и конечен для для .
-
Пусть по условию . Возьмём , тогда ; для
-
Пусть по условию . Возьмём , тогда ; для
-
Теорема о предельном переходе в неравенстве
Если существуют и конечны и и для выполняется неравенство , то
По условию для для (По теореме о сохранении знака своего предела)
-
Теорема о пределе промежуточной функции
Если существуют и конечны и и такая, что для выполняется неравенство , то
По условию существуют и конечны для для ; для для . Рассмотрим . Тогда для выполняется неравенство
для для
-
Теорема о пределе произведения функций
Если существуют и конечны и , то
По условию существуют и конечны (По теореме о связи функций, её предела и бесконечно малой) , где
- бесконечно малая при функция; , где - бесконечно малая при функция.
-
Теорема о пределе сложной функции
Если существует и конечен , причём в и существует и конечен , то существует и конечен
По условию существуют и конечны для для ; для для для . Для для
-
Доказательство первого замечательного предела
- чётная пределы слева и справа совпадают.
Рассмотрим предел функции справа: .
-
Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой
Если существует и конечен , то , где - бесконечно малая при функция и наоборот, если , где - бесконечно малая при функция, то
Необходимость: По условию существует и конечен для для для
, где
Достаточность: По условию , где для для , где для
-
Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную
Если - бесконечно малая при функция, - ограниченная функция, то - бесконечно малая при функция
По условию - бесконечно малая при функция для для - ограниченная функция , где - , для для
- бесконечно малая при функция
-
Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой
Если - бесконечно малая при функция, , то - бесконечно большая при функция. Если - бесконечно большая при функция, то - бесконечно малая при функция
-
По условию - бесконечно малая при функция для для ; . для - бесконечно большая при функция
-
По условию - бесконечно большая при функция для
для . Рассмотрим : для - бесконечно малая при функция
-
Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела
Если бесконечно малые функции при и при , не равные нулю в , то при
По условию при ; при
.
при
-
Теорема о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых
(Бесконечно малые функции при ) ⇔ и
Необходимость: По условию при
; . По условию при ; .
Достаточность: По условию ; ; при . По условию ; ; при .
-
Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков
Если - бесконечно малые при функции, то при , где
Рассмотрим
при
-
Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций
Если функции и непрерывны в точке , то функции , где в последнем , непрерывны в точке
По условию непрерывна в точке . По условию непрерывна в точке .
непрерывна в точке
непрерывна в точке
-
непрерывна при в точке
-
Теорема о непрерывности сложной функции
Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то сложная функция непрерывна в точке
По условию непрерывна в точке . По условию непрерывна в точке . непрерывна в точке
-
Теорема о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки
Если функция непрерывна в точке и , то , в которой
По условию непрерывна в точке конечный .
-
Пусть для для
, где пусть, например,
для .
-
Пусть конечный . Заменим , тогда для для
, где пусть, например, . Вернёмся к прежней записи: для .
-
Теорема о непрерывности элементарных функций. Доказательство непрерывности функции
Основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.
Функция непрерывна в
По определению , где , - точка . .
непрерывна в
-
Свойства функций, непрерывных на отрезке
-
Первая теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке
-
Вторая теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на , то она достигает хотя бы в одной точке этого отрезка свои максимальное и минимальное значения
-
Первая теорема Больцано - Коши: Если функция непрерывна на и , то существует хотя бы одна точка , в которой
-
Вторая теорема Больцано - Коши: Если функция непрерывна на и , то существует точка такая, что или
-
Теорема о непрерывности обратной функции: Если функция непрерывна и строго монотонна на , то существует обратная функция строго монотонная на
-
Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва
Точка , в которой нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции , а сама функция называется разрывной в этой точке.
-
Точка называется точкой разрыва I рода, если не существует, но существуют и конечны
-
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует, но или , или
-
Точка , в которой хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует (в частности равен ∞), называется точкой разрыва II рода
-
Точка , в которой хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен ∞, называется точкой разрыва II рода с бесконечным скачком
-
Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты
Прямая есть правая (левая) наклонная асимптота графика функции тогда и только тогда, когда существуют и конечны и
Необходимость: По условию - правая наклонная асимптота
при
, где
. Из первого предела:
Достаточность: По условию существует и конечен
- правая наклонная асимптота
-
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела конечную производную, то есть существует конечный
Необходимость: По условию функция дифференцируема в точке
, где (По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой)
Достаточность: По условию существует конечный (По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой) , где дифференцируема в точке
-
Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции
Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке
По условию функция дифференцируема в точке
непрерывна в точке
-
Теорема о производной произведения двух дифференцируемых функций
Если функции и дифференцируемы в точке , то функция дифференцируема в точке и
По условию и дифференцируемы в точке существуют и конечны и .
.