M_zadania_1_2
.docx-
Теорема о производной частного двух дифференцируемых функций
Если функции и дифференцируемы в точке , то функция дифференцируема в точке и , где
По условию и дифференцируемы в точке существуют и конечны и .
. , где
-
Теорема о производной сложной функции
Если функция дифференцируема в точке и функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и
По условию дифференцируема в точке существует конечный ; дифференцируема в точке существует конечный .
, где из (По определению непрерывности функции)
-
Теорема о производной обратной функции
Если строго монотонная в функция дифференцируема в точке , то обратная функция дифференцируема в точке и
По условию дифференцируема в точке существует конечный
, где (По определению непрерывности функции)
-
Свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка
Дифференциал функции не зависит от того, является ли независимой переменной или функцией другой независимой переменной
-
Пусть , где - независимая переменная. (По опр.)
-
Пусть , где . По правилу дифференцирования сложной функции: ;
-
Теорема Ферма
Если функция дифференцируема в точке и точка - точка локального экстремума функции, то
По условию функция дифференцируема в точке существует конечный . Пусть - точка локального максимума для
-
Пусть . (По теореме о предельном переходе в неравенстве)
-
Пусть . (По теореме о предельном переходе в неравенстве)
, так как по условию дифференцируема в точке
-
Теорема Ролля
Если функция непрерывна на , дифференцируема в и , то существует по крайней мере одна точка , в которой
По условию непрерывна на (По второй теореме Вейерштрасса) функция достигает на этом отрезке свои минимальное и максимальное значения. ; . Возьмём случаи: и .
-
для
-
:
-
своё максимальное значение функция достигает в точке - точка локального экстремума. По условию функция дифференцируема в точке (По теореме Ферма)
-
своё минимальное значение функция достигает в точке - точка локального экстремума. По условию функция дифференцируема в точке (По теореме Ферма)
-
своё минимальное и максимальное значения функция достигает внутри отрезка - точки локального экстремума. По условию функция дифференцируема в точке и (По теореме Ферма)
-
Теорема Лагранжа
Если функция непрерывна на и дифференцируема в , то существует хотя бы одна точка такая, что
Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию
. непрерывна на , дифференцируема в , , (По теореме Ролля) существует хотя бы одна точка такая, что . ; ;
-
Теорема Коши
Если функции и непрерывны на , дифференцируемы в и для , то существует хотя бы одна точка такая, что
Пусть так как если бы , то функция удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля существует точка , , что противоречит условию теоремы: по условию .
Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию
. непрерывна на , дифференцируема в , , (По теореме Ролля) существует хотя бы одна точка такая, что . ;
-
Теорема Лопиталя - Бернулли для предела отношения двух бесконечно малых функций
Если функции и удовлетворяют условиям:
-
Бесконечно малые при (бесконечно большие при )
-
Дифференцируемы в , кроме, быть может, самой точки
-
для , кроме, быть может, самой точки
-
Существует
то существует
Пусть по условию , . Доопределим функцию до непрерывности в : . Пусть и , тогда и непрерывны на , дифференцируемы в и в по условию (По теореме Коши) , где , ,
; если , то ; по условию существует
-
Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности
При : , ,
растёт быстрее при
-
растёт медленнее любой положительной степени
-
растёт медленнее на функции
36-37. Формула Тейлора
Пусть функция раз дифференцируема в
- разложение многочлена по степеням
, то есть
- многочлен Тейлора
- формула Тейлора
-
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Если функция имеет в непрерывное производное до
-го порядка, то для существует точка такая, что
Обозначим ,
запишем в следующем виде:
Рассмотрим вспомогательную функцию, где , - фиксированные. Вместо подставляем :
После сокращений остаётся выражение:
дифференцируема в ; ; (По теореме Ролля)
существует точка ;
Таким образом
-
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
По теореме о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа , или , где
Уменьшая получим, что функция непрерывна на
(По первой теореме Вейерштрасса) ограничена на этом отрезке, то есть , где - число, не зависящее от , но зависящее от . Тогда . Исследуем при :
-
Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа
, где ,
-
Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа
;
;
;
;
;
;
,
где ,
-
Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа
;
;
;
;
;
;
где ,
-
Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа
;
;
;
;
;
;
;
, где ,
-
Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа
;
;
;
;
,
где ,
-
Необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции
Для того, чтобы дифференцируемая в функция не убывала, необходимо и достаточно, чтобы для
Необходимость: По условию функция не убывает в
при ; при ; по условию дифференцируема в существует конечный для
Достаточность: Пусть по условию для . Возьмём
такие, что . По условию дифференцируема в
непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при не убывает в
-
Необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции
Для того, чтобы дифференцируемая в функция не возрастала, необходимо и достаточно, чтобы для
Необходимость: По условию функция не возрастает в
при ; при ; по условию дифференцируема в существует конечный для
Достаточность: Пусть по условию для . Возьмём
такие, что . По условию дифференцируема в
непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при не возрастает в
-
Достаточное условие возрастания дифференцируемой функции
Если функция дифференцируема в и для , то функция возрастает в этом интервале