M_zadania_1_2
.docx
Пусть по условию для . Возьмём такие, что . По условию дифференцируема в непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при возрастает в
-
Достаточное условие убывания дифференцируемой функции
Если функция дифференцируема в и для , то функция убывает в этом интервале
Пусть по условию для . Возьмём такие, что . По условию дифференцируема в непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при убывает в
-
Первое достаточное условие экстремума (по первой производной)
Если функция непрерывна в и дифференцируема в , кроме, быть может, самой точки , - критическая точка функции, и для , для ( меняет знак с + на - при переходе через точку ) ( для , для ( меняет знак с - на + при переходе через точку )), то - точка локального максимума (минимума)
-
Пусть по условию при и при
-
По условию - критическая точка функции или . Возьмём такие, что
-
По условию непрерывна в и дифференцируема в кроме, быть может, самой точки непрерывна на и , дифференцируема в и (По теореме Лагранжа)
, , где , .
Рассмотрим : по условию ,
для ; рассмотрим : по условию , для для - точка локального максимума. Аналогично для точки локального минимума
-
Второе достаточное условие экстремума (по второй производной)
Если в стационарной точке функция дважды дифференцируема и (), то - точка локального минимума (максимума)
Пусть по условию функция возрастает в , - стационарная точка по условию при , при (По первому достаточному условию экстремума) - точка локального минимума. Аналогично для точки локального максимума
-
Достаточное условие выпуклости функций
Если функция дважды дифференцируема в и
для , то график функции имеет выпуклость, направленную вверх (вниз) в
По условию дифференцируема в существует касательная к кривой в точках . Пусть по условию для . Возьмём . Докажем, что график функции лежит под касательной, проведённой к кривой в точке . Уравнение касательной: , . Вычитаем из : .
Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа
, где
. Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа , где
.
-
Рассмотрим : . ; ; по условию для
-
Рассмотрим : . ; ; по условию для
Таким образом для график функции находится под касательной, проведённой в точке график функции имеет выпуклость, направленную вверх в точке , а так как
график функции имеет выпуклость, направленную вверх в .
Аналогично для
-
Необходимое условие точки перегиба
Если функция дважды дифференцируема в , кроме, быть может, самой точки и - точка перегиба графика функции, то или .
-
Пусть по условию дважды дифференцируема в точке . Предположим, что или (По достаточному условию выпуклости функции) график функции имеет определённое направление выпуклости в , что противоречит условию теоремы, так как по условию - точка перегиба
-
По условию не является дважды дифференцируема в точке
-
Достаточное условие точки перегиба
Если функция непрерывна в точке и дважды дифференцируема в , кроме, быть может, самой точки и или и существует касательная к графику функции в точке и меняет знак при переходе через точку , то - точка перегиба
-
По условию меняет знак. Пусть, например, для ; для кривая выпукла вверх в и кривая выпукла вниз в - точка перегиба.
-
Аналогично при для ; для
Определения
-
Число a называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного существует номер такой, что для всех номеров выполняется неравенство .
-
Пример предела по Коши:
Пример предела по Гейне:
-
Окрестностью точки называют любой интервал, содержащий эту точку.
-окрестностью точки (при положительном ) называют интервал
-
Окрестностью точки называют интервал вида , где - произвольное действительное сколь угодно большое число.
Окрестностью точки называют интервал вида , где - произвольное действительное сколь угодно большое число.
Окрестностью точки называют объединение двух бесконечных интервалов вида , где - произвольное действительное сколь угодно большое число.
-
Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он называется сходящейся.
Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Числовая последовательность называется возрастающей, если
.
Числовая последовательность называется убывающей, если
.
Числовая последовательность называется невозрастающей, если
.
Числовая последовательность называется неубывающей, если
.
Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.
Последовательность называется фундаментальной, если для любого существует номер такой, что при любых выполняется неравенство .
-
Функция называется бесконечно малой при , если .
Функция называется бесконечно большой при , если .
-
Две бесконечно малые при функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если , где - , , .
Две бесконечно малые при функции и называются несравнимыми, если при не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения .
Две бесконечно малые при функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, если .
-
Если и бесконечно малые при функции и ,
где - , , , то функция называется бесконечно малой функцией порядка относительно , а число - порядком малости.
-
Если и бесконечно большие при функции и ,
где - , , , то функция называется бесконечно большой функцией порядка относительно , а число - порядком роста.
-
Приращением функции называют .
-
Функция называется непрерывной в точке , если: определена в точке и в , существует .
-
Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и непрерывна в точке справа и в точке слева.
-
Точка называется точкой разрыва функции , если данная функция не является непрерывной в точке
Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел существует, но функция не определена в этой точке или
.
Точка называется точкой разрыва I рода, если - точка разрыва функции , и существуют конечные пределы .
Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности равен ∞).
-
Пусть функция определена при , и пусть при , где - бесконечно малая функция при . Тогда прямая называется правой (левой) наклонной асимптотой графика функции .
-
Пусть функция определена в окрестности точки , и пусть таково, что принадлежит указанной окрестности. Если существует предел , то он называется производной функции в точке .
-
Пусть функция определена в правосторонней (левосторонней) окрестности точки , то в точке можно рассмотреть предел , который в случае его существования называется правосторонней (левосторонней) производной функции в точке . Левая и правая производные называются односторонними.
-
Пусть функция определена в окрестности точки . Эта функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение может быть представлено в виде , где - некоторое число не зависящее от .
-
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда приращение этой функции может быть записано в виде . Дифференциалом функции в точке называется .
-
Производная n-го порядка определяется по индукции. Пусть , и пусть в окрестности этой точки определена производная (n-1)-го порядка . Тогда производная n-го порядка в точке по определению есть .
-
Дифференциал n-го порядка определяется по индукции. Пусть дифференциал (n-1)-го порядка уже определён, то дифференциал n-го порядка по определению есть .
-
Функция , определённая на промежутке , называется возрастающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .
Функция , определённая на промежутке , называется невозрастающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .
Функция , определённая на промежутке , называется убывающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .
Функция , определённая на промежутке , называется неубывающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .