2. Виды измерений физических величин и их погрешности

В зависимости от способа определения значения физической величины, измерения делятся на прямые (непосредственные) и косвенные. Прямыми называются такие измерения, в которых значение измеряемой величины получают сразу из отсчета по прибору или при помощи какого-либо способа сравнения с эталоном.

Косвенные – это такие измерения, при которых значение некоторой физической величины находится как функция нескольких других величин, полученных прямыми измерениями. Одну и ту же величину можно иногда найти как путем прямых, так и косвенных измерений. Например, сопротивление резистора R можно определить по падению напряжения U и силе протекающего через него электрического тока I, используя закон Ома для участка цепи (R = U/I), или измерив непосредственно омметром.

Измеренное значение физической величины обычно отличается от ее истинного значения. Это отличие характеризуется разностью

,

которая называется ошибкой измерения. Причин, приводящих к появлению ошибок измерений, много. Некоторые из них:

- несовершенство измерительных приборов;

- влияние на измерение неконтролируемых изменений внешних условий и самого измеряемого объекта;

- несовершенство органов чувств и действий экспериментатора;

- неполное соответствие измеряемого объекта той теоретической модели, которая принята для измеряемой величины (например, при определении плотности шара считают ее однородной по всему объему, в то время как внутри шара могут быть пузырьки воздуха);

- приближенный характер законов или методов измерения, используемых для нахождения измеряемой величины;

- округления при вычислениях и т.д.

В зависимости от причин, приводящих к появлению погрешностей, они делятся на случайные, систематические и промахи.

Промахами называют грубые ошибки в значении измеряемой величины. Они могут быть вызваны невнимательностью экспериментатора (например, перед измерением стрелка прибора не стояла на нуле, при измерении диаметра отверстия некоторыми штангенциркулями необходимо учитывать толщину его ножек, равную 10 мм), поломкой прибора, резкими изменениями условий эксперимента. Наблюдения, содержащие промахи, отбрасываются.

Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, величина и знак которой сохраняется или изменяется закономерно при повторных изменениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности обусловлены постоянно действующими во время эксперимента причинами, влияющими на результат измерения. При закономерных изменениях условий систематическая погрешность также изменяется закономерно. Причинами систематических погрешностей могут являться несоответствие измерительного прибора эталону (например, неправильный ход секундомера, неточная градуировка шкалы прибора), неправильное использование измерительного прибора, пренебрежение необходимыми поправками, вводимыми для повышения точности (например, при определении азимута с помощью магнитной стрелки компаса вводится поправка на угол магнитного склонения), методом измерений (например, пренебрежением сопротивления соединительных проводов, амперметра и т.д.).

Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, которое нужно прибавить к полученному при измерении значению величины или отнять, чтобы исключить систематическую погрешность. В некоторых случаях используют поправочный множитель – число, на которое умножают результат измерения для исключения систематической погрешности. Поправка или поправочный множитель определяются при помощи поверки измерительных средств, составления и использования соответствующих таблиц и графиков.

Систематические погрешности являются в общем случае функциями измеряемой величины, влияющих величин (температуры, влажности, напряжения питания и т.д.) и времени. Уменьшить вклад систематических погрешностей в результат измерений можно путем совершенствования измерительных приборов и методик измерений и обработки результатов, а также при измерении тех же физических величин принципиально другими методами. В функции измеряемой величины систематические погрешности входят при поверке и аттестации образцовых приборов.

Существуют специальные методы измерений, исключающие систематические погрешности, это метод замещения и метод компенсации погрешности по знаку. Метод замещения заключается в том, что измеряемая величина замещается известной величиной, получаемой при помощи регулируемой меры (магазин сопротивлений, емкостей, индуктивностей и т.п.). Если при таком замещении не происходит никаких изменений в экспериментальной установке и после замещения установлены те же показания приборов, то измеряемая величина равняется известной величине, определяемой по указателю регулируемой меры. Погрешность измерения в этом случае определяется погрешностью меры и погрешностью, возникающей при нахождении значения величины, замещающей неизвестную.

Метод компенсации погрешности по знаку применяется для исключения систематических погрешностей, которые в зависимости от условий измерения могут входить в результат измерения с тем или иным знаком, например, погрешность от влияния постоянных электрических и магнитных полей. В этом случае измерения проводят дважды таким образом, чтобы погрешность входила в результаты измерений один раз со знаком плюс, а другой раз – со знаком минус. Среднее значение из двух полученных результатов является окончательным результатом измерения, не содержащим систематической погрешности.

Применение в современных измерительных средствах микропроцессорных систем позволяет производить исключение или коррекцию многих видов систематических погрешностей.

Случайными погрешностями называют погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности вызываются большим количеством одновременно действующих на результат измерения причин, характер и величина которых изменяются во времени: пульсацией постоянного питающего напряжения, внутренними шумами элементов электронных схем, наводками на входные цепи средств измерений, вибрациями, трением в механизмах, неровностями на поверхности измеряемого предмета и т.д. Эти причины могут сочетаться в различных комбинациях, в результате, даже при строгом соблюдении одних и тех же условий эксперимента, повторные измерения одной и той же величины дают отличающиеся друг от друга результаты. Отклонения измеренной величины от истинного значения могут при этом быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, а величина отклонения не является постоянной. Это не означает, однако, что величина случайной погрешности не подчиняется никаким закономерностям. Законы ее изменения носят статистический характер. Единственно возможный способ объективного учета случайных погрешностей состоит в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в результатах многократных измерений, расчет статистических оценок погрешностей и учет их в окончательном результате измерений физической величины.

Допустим, что при прямом измерении постоянной физической величины получены n ее значений: х₁, х₂ …, х_i,….., х_n. Все измерения выполнены одним прибором с одинаковой степенью тщательности, но измеренные значения величины отличаются друг от друга, хотя среди них могут быть и одинаковые значения. Для определения окончательного результата многократного измерения и оценки его погрешности прежде всего следует выявить промахи и отбросить соответствующие им результаты. Как правило, это значения измеряемой величины, которые резко отличаются от других. Следующим этапом обработки результатов измерений является выявление и учет систематических погрешностей в виде поправок к полученным результатам. Полученные таким образом результаты измерений не свободны от случайных погрешностей.

Влияние случайных погрешностей можно уменьшить, если использовать среднее арифметическое значений, найденных в многократно повторенных измерениях:

.

За меру погрешности конкретного значения х_i, полученного при отдельном измерении принимают разность между этим значением и истинным значением х_ист. Поскольку последнее неизвестно, то вместо него используют среднее значение n измерений. Разность х_i - <х> = Δх_i является абсолютной погрешностью i-го измерения. Абсолютные погрешности Δх_i могут быть как положительные, так и отрицательные. Алгебраическая сумма абсолютных погрешностей равна нулю. Поэтому, для описания степени разброса значений измеримой величины нельзя использовать среднее арифметическое абсолютных погрешностей.

Для оценки погрешности результата отдельного измерения вводят среднюю квадратичную погрешность или стандартное отклонение отдельного измерения:

,

где n – число измерений.

Стандартное отклонение имеет следующий смысл. При большом числе измерений вероятность того, что модуль значения Δх_i не превышает значения σ равна 0,67 ≈ 2/3, или, что с вероятностью 0,67 отклонение Δх_i лежит в интервале [-σ, +σ].

Величина среднего арифметического более точно характеризует значение измеряемой величины, чем результат отдельного измерения. Согласно теории вероятностей средняя квадратичная погрешность σ_п, или стандартное отклонение среднего арифметического определяется по формуле

. (1)

Как следует из (1), с увеличением числа измерений n средняя квадратичная погрешность случайных измерений уменьшается обратно пропорционально . В то же время систематическая погрешность не уменьшается при увеличении n. Поэтому если остаточная систематическая погрешность является преобладающей, то увеличение числа измерений полную погрешность существенно не изменяет. Число измерений нужно выбирать таким, чтобы вклад случайной погрешности в общую погрешность измерения был сравним с вкладом остаточных систематических погрешностей. В учебных лабораториях, как правило, нецелесообразно проводить большое число измерений и обычно n ≤ 10.

За оценку погрешности окончательного результата многократного измерения принимают величину Δх, задающую симметричный относительно <х> интервал значений от <х> – Δх до <х> + Δх, называемый доверительным интервалом. Однако, истинное значение физической величины может не удовлетворять этому интервалу. Вероятность найти его в указанном интервале носит название доверительной вероятности Р или коэффициента надежности. Причем более высокой доверительной вероятности соответствует больший доверительный интервал. Например, доверительной вероятности 0,67 соответствует доверительный интервал от <х> – σ_n до <х> + σ_n. При обычных измерениях в учебных лабораториях ограничиваются вероятностью 0,95, которой соответствует доверительный интервал (<x> - 2σ_n; <x> + 2σ_n). Для некоторых измерений, к которым предъявляются высокие требования по надежности, например, в метрологических и научных лабораториях, следует использовать Р = 0,997 с доверительным интервалом (<х>–3σ; <х>+3σ). Очевидно, что меньшему количеству отдельных измерений будет соответствовать больший доверительный интервал. Доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р и числе измерений n можно найти, умножив стандартное отклонение среднего арифметического на коэффициент Стьюдента t_Pn. Коэффициенты Стьюдента вычислены в статистике для различных значений Р и n и приведены в табл. 1.

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента

n P	0,9	0,95	0,99
2	6,31	12,7	63,7
3	2,92	4,30	9,92
4	2,35	3,18	5,94
5	2,13	2,78	4,60
6	2,02	2,57	4,03
7	1,94	2,45	3,71
8	1,89	2,36	3,50
9	1,86	2,31	3,36
10	1,83	2,26	3,25
15	1,76	2,14	2,98

С учетом коэффициента Стьюдента случайная погрешность результата измерений, определяющая полуширину доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины, высчитывается по формуле:

. (2)

Абсолютная погрешность не полностью описывает точность измерений. Качество измерений лучше описывается относительной погрешностью, которая определяется как отношение абсолютной погрешности ∆х к среднему арифметическому <x>.

. (3)

Эта погрешность дает представление о части, которую составляет абсолютная погрешность от самой величины. Часто относительную погрешность выражают в процентах. Тогда

. (4)