Глава 1. Погрешности измерений

1. Точные и приближенные числа

Каждое измерение некоторой величины в общем случае не является абсолютно точным, а дает лишь ее приближенное значение. Так же приближенные значения чисел получают и при обработке данных физического эксперимента. Не каждое действительное число можно представить в виде конечной цифровой последовательности. Поэтому приходится применять приближенные значения представляемого числа, содержащие ограниченное число цифр (например, для числа приближенными значениями будут 0,3; 0,33 и т.д.). Приближенные значения чисел появляются также в результате обрыва (отбрасывания цифр в его точном значении, начиная с некоторого разряда) и округления, когда точное число содержит конечное, но слишком большое число цифр. Очевидно, что при обрыве числа погрешность приближения, т.е. разность между точным значением х_т и его приближением х, всегда положительна и не превосходит единицы разряда последней сохраненной цифры. При округлении числа по основным правилам с избытком или недостатком, погрешность округления не превышает половины единицы последнего сохраняемого в числе разряда.

Значащими цифрами приближенного значения числа называют все верные цифры кроме нулей, стоящих слева от первой отличной от нуля цифры. Так, например, числа 28,7; 6,054; 0,056491 имеют соответственно три, четыре и пять значащих цифр. Значащей цифра называется потому, что она представляет или, другими словами, означает соответствующий десятичный разряд. Так для числа 28,7 сотые и более мелкие доли неизвестны, т.е. неозначены.

В стандартной форме записи приближенного числа первую значащую цифру ставят в разряд единиц, а остальные – в десятичные разряды после запятой. При записи приближенных чисел, больших 10 или меньших 1, нужно выделять множитель вида 10^K, где K – соответствующее целое положительное или отрицательное число. Например, число 26975,1, округленное до трех значащих цифр, записывается в виде 2,70·10⁴, а число 0,002431 – в виде 2,43·10^-3.

При обработке результатов физического эксперимента, наряду с приближенными, могут встречаться и точные числа. Точными числами являются числовые коэффициенты и показатели степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения, числа заданные определениями и т.п.

Приближенные числа, получаемые в результате измерений и вычислений, определенные из таблиц и другими способами, могут содержать разное число цифр, среди которых есть верные, сомнительные и неверные цифры.

Цифры в десятичной записи приближенного числа называются верными, если ошибка представления числа в приближенном виде не превосходит по абсолютной величине половины единицы разряда последней сохраненной цифры. Таким образом, все цифры, полученного при округлении числа будут верными, хотя некоторые из них могут отличаться от соответствующих цифр самого числа. Цифра, стоящая в разряде за последней верной, содержит погрешность и называется сомнительной, а все цифры приближенного числа стоящие после сомнительной, являются неверными. Неверные цифры не содержат никакой информации и должны быть отброшены.