1.6.3. Коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (назначение, свойства)
Если измерения происходят в шкале отношений или интервалов и наблюдается линейная форма взаимосвязи, для количественной оценки тесноты взаимосвязи используется коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона. Обозначается буквой r. Вычисляется по формуле:
,
где
и
-- средние арифметические значения
показателей x
и y;
σx
и σy
– средние квадратические отклонения;
n
– число измерений (испытуемых).
Его свойства:
1. Значения r могут изменяться от –1 до 1.
2. В случае r=-1 и r=1 взаимосвязь функциональная, соответственно, отрицательная и положительная.
3. При r=0 взаимосвязь отсутствует.
При r<0 взаимосвязь отрицательная, при r>0 – положительная.
1.6.4. Условия выбора коэффициента корреляции
Прежде, чем начать механическую процедуру вычисления коэффициента корреляции, необходимо ответить на некоторые вопросы:
1. В какой шкале измеряется изучаемый показатель?
2. Как много измерений этого показателя выполнено?
3. Можно ли считать ряд измерений показателя выборкой, имеющей нормальный закон распределения?
И т.д.
От ответов на эти вопросы зависит, какой именно коэффициент взаимосвязи будет вычисляться.
В частности, в том случае, когда измерения проводятся в шкале интервалов или отношений, для оценки тесноты взаимосвязи вычисляют коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона; в ранговой шкале вычисляют ранговый коэффициент корреляции Спирмэна; а в шкале наименований, когда интересующие признак варьирует альтернативно (см. п. 16), используют тетрахорический коэффициент сопряженности.
1.6.5. Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна
Ранговые коэффициенты корреляции используются для определения взаимосвязи показателей, измеренных в шкале порядка.
Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна вычисляют по формуле:
,
где d=dx-dy – разность рангов данной пары показателей X и Y; n – объем выборки.
Пример. Оценим взаимосвязь показателей: X – место, занятое в лыжной гонке с общим стартом: Y – число стартов до настоящих соревнований в подобных гонках этого сезона. Все прочие условия (спортивный стаж, возраст, квалификация и др.) примерно одинаковы.
Показатели вычислены в шкале порядка.
№ п/п |
X |
Y |
Dx |
dy |
dx-dy=d |
d2 |
1 |
1 |
9 |
1 |
2,5 |
-1,5 |
2,25 |
2 |
2 |
10 |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
8 |
3 |
4 |
-1 |
1 |
4 |
4 |
7 |
4 |
5 |
-1 |
1 |
5 |
5 |
9 |
5 |
2,5 |
2,5 |
6,25 |
6 |
6 |
4 |
6 |
7,5 |
-1,5 |
2,25 |
7 |
7 |
4 |
7 |
7,5 |
-0,5 |
0,25 |
8 |
8 |
3 |
8 |
9,5 |
-1,5 |
2,25 |
9 |
9 |
5 |
9 |
6 |
3 |
9 |
10 |
10 |
3 |
10 |
9,5 |
0,5 |
0,25 |
Сумма |
|
|
|
|
|
25,5 |
Алгоритм вычисления:
1. Упорядочить и переписать порядковые номера показателям X и Y и записать в столбцы dx и dy.
2. Вычислить разность рангов d=dx-dy и записать в соответствующий столбец.
3. Вычислить квадрат разности d2 и записать в соответствующий столбец.
Вычислить сумму квадратов разностей Σ d2 и записать под столбцом.
Вычислить ранговый коэффициент корреляции Спирмэна ρ по формуле:
.
Такое значение коэффициента характеризует сильную положительную взаимосвязь. Таким образом, опыт, накопленный в подобных гонках, определяет успешность выступления при прочих равных условиях.