1.4.2. Основные статистические характеристики рассеивания.

К характеристикам вариации, или колеблемости, результатов измерений относят размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и др.

Все средние характеристики дают общую характеристику ряда результатов измерений. На практике нас часто интересует, как сильно каждый результат отклоняется от среднего значения. Однако, легко можно представить, что две группы результатов измерений имеют одинаковые средние, но различные значения измерений. Например, для ряда 3, 6, 3 среднее значение = 4; для ряда 5, 2, 5также среднее значение = 4, несмотря на существенное различие этих рядов.

Поэтому средние характеристики всегда необходимо дополнять показателями вариации, или колеблемости. Самой простой характеристикой вариации является размах варьирования. Его определяют как разность между наибольшим и наименьшим результатами измерений. Однако он улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений всех результатов.

Чтобы дать обобщающую характеристику, можно вычислить отклонения от среднего результата. Например, для ряда 3, 6, 3 значения (x_i - ) будут следующими: 3 - 4 = -1; 6 - 4 = 2; 3 - 4 = -1. Сумма этих отклонений (-1) + 2 + (-1) всегда равна 0. Чтобы избежать этого, значения каждого отклонения возводят в квадрат:

(-1)² + 2² + (-1)² = 6.

Значение (x_i - )² делает отклонения от средней более явственными: малые отклонения становятся еще меньше (0,5²=0,25), а большиееще больше

_n

(5² = 25). Получившуюся сумму  (x_i - )² называют суммой квадратов

ⁱ⁼¹

отклонений. Разделив эту сумму на число измерений, получают средний квадрат отклонений, или дисперсию. Она обозначается ² и вычисляется по формуле:

_n

 (x_i - )²

ⁱ⁼¹

² =  .

n

Если число измерений не более 30, т.е. n < 30, используется формула:

_n

 (x_i - )²

ⁱ⁼¹

² =  .

n - 1

Эти формулы применяются, когда результаты представлены неупорядоченной (обычной) выборкой.

Из характеристик колеблемости наиболее часто используется среднее квадратическое отклонение, которое определяется как положительное значение корня квадратного из значения дисперсии, т.е.:

Среднее квадратическое отклонение (оно называется также стандартным отклонением) имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения, т.е. характеризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах. Однако для сравнения колеблемости двух и более совокупностей, имеющих различные единицы измерения, эта характеристика не пригодна.

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах. Вычисляется он по формуле:



V =  * 100%.

В спортивной практике колеблемость результатов измерений в зависимости от величины коэффициента вариации считают небольшой (010%), средней (1120%) и большой (V>20%).

Коэффициент вариации имеет важное значение в спортивной метрологии, т. к., будучи величиной относительной (измеряется в процентах), позволяет сравнивать между собой колеблемость результатов измерений, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации можно использовать лишь в том случае, если измерения выполнены в шкале отношений.

Упомянем еще об одном показателе рассеиваниястандартной (средней квадратической) ошибке среднего арифметического. Этот показатель (обычно он обозначается символами m или S) характеризует колеблемость средней. Поясним примером. Предположим, что нас интересуют результаты в беге на 100 м учеников 10-ых классов Минска. Мы проводим с этой целью выборочное обследование, и на выборке объемом 100 юношей находим, что в среднем 10-классники показывают результат 13,7  0,4 с.

Предположим, что мы проведем такие обследования много раз на разных выборках. Как будет варьировать в них средняя арифметическая? Ясно, что чем больше объем выборки, тем меньше будет вариация средних величин. Если, например, мы возьмем в одном случае две выборки по 10 человек, а во втором по 10 000 человек, средние результаты во втором случае, вероятнее всего, будут ближе друг к другу (и одновременно ближе к средней генеральной совокупностисреднему результату в беге всех 10-классников Минска).

Стандартная ошибка средней арифметической вычисляется по формуле:



S_x =  ,

где стандартное отклонение результатов измерений, nобъем выборки. В приведенном выше примере стандартная ошибка средней арифметической равна S_x = 0,4/ = 0,04 с, т.е. она в десять раз меньше, чем среднее квадратическое отклонение результатов измерений.

1.5. Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин