1.5.1. Нормальный закон распределения (сущность, значение).
Закон распределения результатов измерений – один из основных факторов, которым определяется выбор статистических характеристик.
Закон распределения – закон, по которому распределяются вероятности непрерывных случайных величин.
При анализе распределения результатов измерений делают предположение о том распределении, которое имела бы выборка, если бы число измерений было бы очень большим (бесконечно большим). Такое распределение (бесконечно большой выборки) называют распределением генеральной совокупности или теоретическим, а распределение экспериментального ряда измерений – эмпирическим. При увеличении объема выборки эмпирическое распределение будет приближаться к теоретическому.
Теоретическое распределение большинства результатов измерений описывается формулой нормального распределения, которая впервые была найдена английским математиком Муавром в 1733 г.:
г
де
π и e
– математические постоянные: π=3,141;
e=2,718;
–
среднее арифметическое; σ – среднее
квадратическое отклонение; x
– результаты измерений; f(x)
– так называемая функция
плотности распределения.
Для статистической обработки случайных величин, распределение которых подчиняется нормальному закону, были разработаны специальные критерии, которые являются достаточно точными и потому предпочтительны для использования. Знание того, что данное распределение подчиняется нормальному закону, позволяет нам использовать эти критерии.
1.5.2. Кривая нормального распределения и ее свойства
М
атематическое
выражение плотности нормального
распределения (см. формулу в п.8) позволяет
получить в виде графика кривую
нормального распределения:
Свойства кривой нормального распределения:
она симметрична относительно среднего значения (моды, медианы):
при x=
при
;площадь под кривой равна единице:
кривая имеет две точки перегиба при
;
при уменьшении σ кривая нормального распределения становится более островершинной, а при увеличении σ – плосковершинной.
1.5.3. Правило трех сигм и его практическое применение.
Для оценки варьирования результатов измерений, распределенных по нормальному закону, используют следующие данные:
95%
всех результатов попадает в интервал
;
99%
всех результатов попадает в интервал
;
99,9%
всех результатов попадает в интервал
.
В интервал попадает 68,27% результатов.
В
интервал
попадает
95,45% результатов.
В
интервал
попадает
99,73% результатов.
Другими словами, отклонение от среднего значения более, чем на 3σ произойдет только в 3-х случаях из 1000. Это соотношение называется правилом трех сигм.
Практические применения правила трех сигм:
1.
Для оценки нормальности распределения
выборочных данных: вычисляют σ и смотрят,
если результаты измерений выходят за
пределы
,
то распределение приближенно считают
нормальным.
2. Для выявления ошибочно полученных результатов: если результат измерения более, чем на 3σ отличается от среднего значения, то такой «выброс» считают ошибочно полученным.
3. Для грубого определения σ:
.