Вычисление вероятностей событий

Задачи.

1. Сколько надо произвести независимых испытаний, с вероятностью появления события А в каждом испытании равной 0,2 так, чтобы наивероятнейшее число появления события А в этих испытаниях было равно 20.

2. На участке АВ для мотоциклиста имеются 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки.

3. В лотерее 30 билетов, из которых 4 выигрышных. Приобретено З билета. Найти вероятность всех исходов.

4. В лотерее на каждые 100 билетов падает 5 выигрышных. Найти вероятность от двух до четырех выигрышей на 6 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышей на 6 билетов.

5. Вероятность соблюдения правил при прохождении пассажиров через автоматический контрольный пост метрополитена равна 0,9. Сколько пассажиров должно пройти через автоматический контрольный пост, чтобы с вероятностью равной 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты соблюдения правил от вероятности не более, чем на 0,03

6. Изделия изготовляются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станков равна 0,04, на другом - 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5 на каждом станке, будет не менее 9 годных.

7. Вероятность изготовления стандартной детали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии и вероятность его.

8. В круг радиуса вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что 4 наудачу поставленные точки в данном круге окажутся внутри треугольника.

9. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятность попадания первыми выстрелами для них равна соответственно 0,4; 0,5, а вероятность попадания при последних выстрелах для каждого увеличивается на 0,05. Каждый стрелок производит не более 5 выстрелов. Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень.

10. Производится 4 независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие А произошло не менее 2 раз; не может наступить, если событие А не имело места и наступает с вероятностью 0,6, если событие А имело место один раз. Определить вероятность появления события В.

11. Мишень состоит из 2 концентрических кругов с радиусами и , меньше . Считая равновозможным попадание в любую часть круга , определить вероятность того, что при 2 выстрелах будет одно попадание в круг радиуса .

12. Игральная кость бросается 20 раз. Какова вероятность того, что тройка выпадет не более 5 раз.

13. Ящик содержит 90 стандартных и 10 бракованных деталей, Найти вероятность того, что среди 3 наугад вынутых из ящика деталей нет стандартных.

14. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на 1-м автомате равна 0,06, на втором 0,09. Производительность второго автомата в 2 раза больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие с конвейера нестандартно.

15. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) 5 мальчиков, б) мальчиков не менее 3, но не более 8.

16. В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

17. Из партии деталей, среди которых 10 штук доброкачественных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 10 штук. При контроле оказалось, что первые 4 детали доброкачественные. Определить вероятность того, что следующая деталь будет доброкачественная.

18. При слиянии двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,7, если директор поглощаемой фирмы уйдет в отставку и 0,37 в противном случае. Вероятность ухода в отставку директора равна 0,65. Найти вероятность успеха сделки.

19. Экономист – аналитик подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает наличие этих ситуаций в данный момент времени как 0,2; 0,65 и 0,15 соответственно. Один из индексов экономического состояния растет с вероятность 0,65, если ситуация «хорошая»; с вероятность 0,3, если ситуация «посредственная» и 0,1 в «плохой» ситуации. В настоящий момент наблюдается рост этого индекса. Определить вероятность того, что ситуаций «хорошая»

20. Покупатель может приобрести акции двух компаний А и В. Надежность компании по оценкам экспертов равна 0,9, надежность компании В – 0,85. Определить вероятности того, что: а) обе компании не станут банкротами; б) хотя бы одна из компаний обанкротится.

21. В фирме 1000 работников. 750 имеют среднее специальное образование, 400 имеют высшее образование и 250 имеют высшее и средне специальное образование. Найти вероятность т0го, что случайно выбранный работник не имеет ни средне специального, ни высшего образования.

22. В результате проверки качества семян гороха установлено, что в среднем 96% семян всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени, не более чем на 0,03 ( по абсолютной величине)?

23. У страховой компании имеется 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 600 рублей. Вероятность несчастного случая 0,005. Страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему в среднем равна 55000 рублей. Какова вероятность того, что : а0 страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов.

24. Контрольную работу по вероятности с первого раза выполняют 55%. Найти вероятность того, что из 150 студентов выполнят работу с первого раза: а) 75 студентов; б) не менее 70 студентов.

25. В среднем по 20% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 6 договоров будет выплачено страховых обязательств для : а) трех договоров; б) мене двух договоров.

26. Вероятность опоздания к поезду пассажира 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 400 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

27. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки в первое отделение равна 0,95, во второе 0,9, в третье 0,85. Найти вероятность: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

28. Каждый пакет акций приносит доход владельцу с вероятностью 0,55. Сколько пакетов акций различных фирм надо приобрести, что бы с вероятностью 0,96 можно было ожидать, что доход будет хотя бы по одному пакету акций.

29. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: 1 – малый риск, 2 – средний риск, 3 – большой риск. Среди клиентов 50% первого класса риска, 30% второго класса риска, 20% третьего. Вероятность возникновения ситуации для выплаты страхового обязательства 0,01 – для первого класса риска, 0,03 – второго, 0,1- третьего класса. Какова вероятность того, что :а) застрахованный получит вознаграждение за период страхования; б) клиент получивший денежное вознаграждение относится к группе малого риска.

30. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны 0,6 и 0,65 соответственно. Найти вероятность того, что а) у обоих будет одинаковое количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.