1.6. Контрольные вопросы
1. Какая вычислительная задача называется корректно поставленной?
2. Как определяются нормы векторов и матриц?
3. По каким формулам вычисляются абсолютные и относительные погрешности приближенно заданных векторов и матриц?
4. Что такое число обусловленности и как оно вычисляется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)?
5. С помощью какого неравенства оценивается относительная погрешность решения СЛАУ?
6. Каким образом формулируется необходимое условие разрешимости приближенно заданной СЛАУ, содержащего уравнений и неизвестных?
7. Посредством каких формул можно оценить погрешности, допускаемые при вычислении функций многих переменных?
1.7. Практические задания и пояснения к ним. Компьютерный практикум
1.7.1. При решении системы линейных алгебраических уравнений (1.14) надо сначала проверить выполнение необходимого условия ее разрешимости.
Задание
1.1. Пусть элементы
основной квадратной матрицы
системы (1.14) размерности
заданы неточно. Предположим, что известна
матрица
абсолютных ошибок, которые допускаются
при отыскании элементов матрицы
.
В силу этого для
имеют место неравенства
,
где
— точная матрица, которую приближенно
задает матрица
.
Требуется дать с помощью средств пакета
Mathcad и неравенства (1.5)
оценку абсолютной погрешности вычисления
определителя
,
т.е. оценить сверху величину
.
Кроме этого следует найти значение
и сделать вывод о выполнении или
невыполнении необходимого условия
корректности системы (1.14) (в качестве
такого условия выступает выполнение
неравенства
).
Перечень вариантов (N — номер варианта) к заданию 1.1.
Матрица |
Матрица
|
|
|
абсолютных ошибок
Пример решения задания 1.1.
Решение
1°. Вводим элементы исходной матрицы B
,
когда
.
2°. Вводим элементы матрицы ошибок
3°. Задаем размерность матриц
и
4°. Пишем программу вычисления миноров элементов матрицы и их абсолютных величин.
Здесь внутренний символ
означает операцию вычисления определителей,
а вторая пара символов
— операцию отыскания их абсолютных
величин (не путать со знаком нормы
).
5°.Оценка абсолютной ошибки
вычисления определителя:
6°. Вычисление определителя матрицы :
7°. Решение вопроса о выполнении или невыполнении необходимого условия корректности системы (1.14). Необходимым условием корректности системы (1.14) является выполнение отношения:
.
Это отношение выполняется так как
.
1.7.2. Выполнение необходимого условия
корректности системы (1.14) еще не позволяет
судить об эффективности использования
того или иного численного алгоритма
решения этой системы. Очень важной
характеристикой системы (1.14) является
число обусловленности
точной матрицы
,
которую и приближает матрица
.
Без оценки этого числа затруднительно
дать оценку относительной погрешности
полученного с помощью какого-либо
численного алгоритма решения
системы (1.14).
Задание
1.2. С использованием
встроенной подпрограммы
пакета Mathcad и определения
дать оценки числа обусловленности
основных матриц систем линейных
алгебраических уравнений, все коэффициенты
которой заданы с абсолютной погрешностью
10-7. Выяснить с какой абсолютной
погрешностью надо задавать элементы
матрицы
,
чтобы можно было судить об ее однозначной
разрешимости (т.е. следует проверить
выполнение необходимого условия
корректности системы (1.14) (см. пример
решения задания 1.1). Провести исследование
вопроса о достаточности задания всех
числовых коэффициентов системы с
абсолютной погрешностью 10-7 для
того, чтобы относительная погрешность
решения данной системы не превосходила
10-3. Если абсолютная погрешность
задания коэффициентов системы
недостаточна, то надо указать какова
она должна быть, чтобы удовлетворить
данному условию (имеется ввиду
относительная погрешность решения, не
превосходящая 10-3). Решить систему
методом исключения неизвестных. Освоить
схему решения этого задания, приведенную
ниже.