Практическое занятие № 1

Тема занятия: Простейшие понятия теории погрешностей. Корректность и обусловленность вычислительной задачи. Обусловленность задачи решения систем линейных алгебраических уравнений (обусловленность матрицы)

1.1. Истоки и общая классификация погрешностей

При решении разнообразных научно-технических проблем практически всегда приходится оперировать с величинами, конструкциями и моделями, которые не полностью отражают свойства реальных явлений и процессов или которые задаются неточно (т.е. с некоторыми погрешностями). Источниками возникновения погрешностей решения той или иной задачи могут являться самые разнообразные причины. При решении данных задач с использованием компьютерной техники можно выделить следующие три основные причины:

a) математическое описание задачи (математическая модель) по сути является приближенным, т.е. в математической модели не учтены существенные факторы, присущие ее реальному прообразу, или исходные данные заданы неточно;

b) используемый для решения метод является приближенным (т.е. для получения точного решения математической задачи нужно использовать бесконечное или неприемлемо большое число операций, что реально осуществить невозможно);

c) при вводе исходных данных в компьютер, при осуществлении арифметических операций и при выводе полученных результатов по тому или иному алгоритму производятся округления, усечения чисел.

Погрешности, соответствующие пп. a), b), c), обычно называют неустранимой погрешностью, погрешностью метода и вычислительной погрешностью. Погрешность, которая отражена в п. a), состоит из суммы двух частей. Первая часть порождается неточностью задания исходных числовых данных, фигурирующих в математической модели. Вторая часть отражает несоответствие самой математической модели реальному прототипу.

Определение 1.1. Пусть — точное значение величины, подлежащей отысканию; — значение этой величины, соответствующее выбранной математической модели, — значение величины (она соответствует ), получаемое посредством численного метода в рамках отсутствия погрешностей, вызванных округлениями, усечениями; — приближенное значение величины , полученные при реальных вычислениях. Тогда под неустранимой погрешностью, погрешностью метода и вычислительной погрешностью понимают соответственно величины .

Определение 1.2. Под полной погрешностью понимают величину , которая равна разности между реально получаемым и точным значениями величины. Эта погрешность удовлетворяет равенству .

Замечание 1.1. При решении конкретных задач зачастую под погрешностью того или иного типа понимают не разности , а определенные меры близости между ними. В частности, при рассмотрении скалярной величины используют соответствующие абсолютные погрешности, определяемые соотношениями , , , . При этом имеет место неравенство .

Следует отметить, что при рассмотрении векторных и иных математических объектов меры близости могут конструироваться и более сложным образом по сравнению с абсолютными погрешностями, указанными в замечании 1.1.