2.6.3. Переведення чисел у неканонічну двійкову систему

з цифрами {1, }

Двійкова система з цифрами {1, } відрізняється від канонічної двійкової системи з цифрами {0, 1} тим, що серед використовуваних символів відсутній нуль. Ця обставина робить неможливим представлення в системі {1, } деяких цілих і дробових чисел у вигляді скінченої множини символів даної системи. Зокрема, неможливість представлення у вигляді скінченої множини цифр парних цілих чисел, наприклад приводить до використання нескінчених дробів, що зумовлює похибку при представленні цих чисел в системі {1, }.

В той же час існують числа, які не мають єдиного зображення, наприклад, число 1 може бути представлено у вигляді

, . (2.8)

Співвідношення (2.8) виражає зв’язок між канонічною двійковою системою і системою {1, }.

Для переведення додатного непарного числа (числа, молодший розряд якого є 1) потрібно спочатку представити його в двійковій канонічній системі з цифрами {0,1}. Потім, переглядаючи отримане представлення зліва направо, необхідно виділити всі групи цифр вигляду 00...01, навіть якщо вони включають тільки один нуль. Ці групи заміняють на групи вигляду , а інші одиниці залишають без зміни.

Для переведення від’ємного непарного цілого числа можливі два варіанти:

1. всі групи цифр вигляду 00...01 необхідно замінити на групи 1...11, а інші цифри 1 замінити на ;

2. всі цифри 1 замінюються на , а потім групи цифр вигляду необхідно замінити на групи 1...11.

Приклад 2.13. Перевести двійкові числа і в систему з основою 2 і цифрами {1, }.

Розв’язання. Використовуючи співвідношення (2.8), процес переведення додатного числа зводимо до заміни комбінацій 001, 01 комбінаціями відповідно і , тобто .

Переведення від’ємного числа здійснимо двома способами:

1) ;

2) .

Легко бачити, що з додатного числа відповідне відємне число (і навпаки) можна одержати шляхом заміни 1 на і на 1.

Парні числа (додатні чи від’ємні) можна перевести тільки наближено, тобто з певною похибкою або нескінченим дробом.

В зв’язку з цим для одержання скінченого подання як парних, так і непарних додатних чисел в системі { } пропонується наступний запис чисел в системі {0,1}:

, (2.9)

де , – адитивна добавка, яку можна розглядати як похибку представлення чисел, яка вноситься перед переведенням чисел. Якщо , то маємо парне число і тоді адитивна добавка береться із знаком “+”, якщо , то маємо непарне число і тоді адитивна добавка береться із знаком “–”.

На основі (2.9), для переведення чисел в систему {1, } пропонується наступний алгоритм:

• при переведені парного числа, в розряд , записують цифру 1 (що відповідає додаванню в (2.9) величини ) і роблять заміни комбінацій на з дописуванням в кінці (в розряд ) цифри ;

• у випадку непарного числа до заданого числа, в розряд , дописують цифру (що відповідає відніманню в (2.9) величини ) і роблять заміни комбінацій на , а комбінацію на з дописуванням в кінці (в розряд ) цифри 1;

Можна показати, що похибка перетвореного числа буде обчислюватись за формулами:

• для парного числа ;

• для непарного числа .

Приклад 2.14. Перевести в систему цілі додатні числа ( ): і при .

Розв’язання. Згідно з описаним вище алгоритмом будемо мати:

При :

, ;

, .

При :

, ;

, .

При :

, ;

, .

З одержаних результатів бачимо, що абсолютна похибка переведення однакова як для непарних, так і парних чисел. Непарні числа переводяться з недостачею, а парні – з надвишком.

Приклад 2.15. Перевести в систему {1, } дробові числа: при .

Розв’язання. Спочатку підготуємо числа до перетворення, згідно із заданим параметром s. Після цього замінюємо в зображені числа комбінації на , а комбінацію на з дописуванням в кінці (в розряд з номером ) цифри і 1, відповідно. В результаті одержуємо:

, ;

, .

У зв’язку з тим, що деякі числа в системі представляються неоднозначно, формулу (2.9) можна узагальнити, дописавши нулів перед старшим розрядом числа

, (2.10)

де .

Приклад 2.16. Перевести в систему числа і при , і .

Розв’язання. Спочатку підготуємо числа до перетворення, згідно із заданими параметрами k і s. Після цього перетворюємо їх і обчислюємо похибку:

1. ,

,

;

,

.

2. ,

,

;

,

.

Аналогічні результати можна дістати і для переведення від’ємних чисел, скориставшись правилом переведення від’ємних чисел.